专题限时集训18　利用导数证明不等式

3/3专题限时集训(十八)利用导数证明不等式1．(2021·衡水模拟)已知f(x)＝(x＋3)ln(x＋1)－3x(0<x<3)．(1)证明：f(x)<0；(2)证明：eq\f(3,4)＋eq\f(3,7)＋…＋eq\f(3,3n＋1)>ln(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*)).[证明](1)要证f(x)<0，即证ln(x＋1)－eq\f(3x,x＋3)<0，令g(x)＝ln(x＋1)－eq\f(3x,x＋3)(0<x<3)，则g′(x)＝eq\f(1,x＋1)－eq\f(9,x＋32)＝eq\f(xx－3,x＋1x＋32)<0，故g(x)为减函数，g(x)<g(0)＝0，故f(x)<0.(2)由(1)可知：0<x<3时，eq\f(3x,x＋3)>ln(x＋1)，令x＝eq\f(1,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))，则eq\f(3·\f(1,n),\f(1,n)＋3)>lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)＋1))，化为eq\f(3,3n＋1)>lneq\f(n＋1,n)，故eq\f(3,4)＋eq\f(3,7)＋…＋eq\f(3,3n＋1)>lneq\f(2,1)＋lneq\f(3,2)＋…＋lneq\f(n＋1,n)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)·\f(3,2)·…·\f(n＋1,n)))＝ln(n＋1)，所以原式得证．2．(2021·湖南师大附中三模)已知函数f(x)＝x－eq\f(1,2)sinx－eq\f(m,2)lnx＋1.(1)当m＝2时，试判断函数f(x)在(π，＋∞)上的单调性；(2)存在x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))，求证：x1x2<m2.[解](1)法一：当m＝2时，f(x)＝x－eq\f(1,2)sinx－lnx＋1，f′(x)＝1－eq\f(1,2)cosx－eq\f(1,x)，当x∈(π，＋∞)时，f′(x)＝1－eq\f(1,2)cosx－eq\f(1,x)≥1－eq\f(1,2)－eq\f(1,π)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,π)>0，所以，当m＝2时，函数f(x)在(π，＋∞)上单调递增．法二：当m＝2时，f(x)＝x－eq\f(1,2)sinx－lnx＋1，f′(x)＝1－eq\f(1,2)cosx－eq\f(1,x)，由1－eq\f(1,2)cosx－eq\f(1,x)＝0⇔cosx＝2－eq\f(2,x)，结合函数y＝cosx与y＝2－eq\f(2,x)图象可知：当x∈(π，＋∞)时，cosx≤1,2－eq\f(2,x)>2－eq\f(2,π)>1，所以两函数图象没有交点，且2－eq\f(2,x)>cosx.所以当x∈(π，＋∞)时，f′(x)＝1－eq\f(1,2)cosx－eq\f(1,x)>0.所以，当m＝2时，函数f(x)在(π，＋∞)上单调递增．(2)证明：不妨设0<x1<x2，由feq(\a\vs4\al\co1(x1))＝feq(\a\vs4\al\co1(x2))得，x1－eq\f(1,2)sinx1－eq\f(m,2)lnx1＋1＝x2－eq\f(1,2)sinx2－eq\f(m,2)lnx2＋1，∴eq\f(m,2)eq(\a\vs4\al\co1(lnx2－lnx1))＝x2－x1－eq\f(1,2)eq(\a\vs4\al\co1(sinx2－sinx1)).设g(x)＝x－sinx，则g′(x)＝1－cosx≥0，故g(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴x2－sinx2>x1－sinx1，从而x2－x1>sinx2－sinx1，∴eq\f(m,2)eq(\a\vs4\al\co1(lnx2－lnx1))＝x2－x1－eq\f(1,2)eq(\a\vs4\al\co1(sinx2－sinx1))>eq\f(1,2)eq(\a\vs4\al\co1(x2－x1))，∴m>eq\f(x2－x1,lnx2－lnx1)，要证x1x2<m2只要证m>eq\r(x1x2)，下面证明：eq\f(x2－x1,lnx2－lnx1)>eq\r(x1x2)，即证eq\f(\f(x2,x1)－1,ln\f(x2,x1))>eq\r(\f(x2,x1))，令t＝eq\f(x2,x1)，则t>1，即证明eq\f(t－1,lnt)>eq\r(t)，只要证明：lnt－eq\f(t－1,\r(t))<0，设h(t)＝lnt－eq\f(t－1,\r(t))，h′(t)＝－eq\f(\r(t)－12,2t\r(t))<0，则h(t)在(1，＋∞