专题34 导数中的构造必刷100题(解析版)

专题34导数中的构造必刷100题类型一:单选题1-50题1．已知定义在上的函数的导函数为，且，若对任意，恒成立，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据题意，构造函数，然后计算，可知函数的单调性，简单判断可得结果.【详解】由题可知：，，所以，即令，则又对任意，恒成立所以，可知函数在单调递增又，所以所以即的解集为即不等式的解集为故选：C2．设是定义在上的恒大于0的可导函数，且，则当时有（）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，根据题意求得，得到在为单调递减函数，由，得到，根据，即可求解.【详解】令，可得，因为，所以，所以在为单调递减函数，又因为，所以，即，又由，所以.故选：C.3．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．【详解】解：令，则，

故g（x）在R递增，

不等式，

即，

故，

故x＜2x−1，解得：x＞1，

故选：D.4．已知是定义在R上的函数，是的导函数，满足：，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导数求得的单调性，由此求得不等式的解集.【详解】令，则，所以在R上单调递增，不等式可化为，而，则，即，所以，即不等式解集为.故选：D5．设定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先设，从而得到在上为增函数，将等价于，再利用单调性解不等式即可.【详解】设，，所以在上为增函数.又因为，所以，所以.故选：B6．设是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】令，可得，当时，有，可得，即函数在上单调递增．又是上的奇函数，可得函数为奇函数，又，可得，，再分类讨论即可解出不等式．【详解】令，则，当时，有，即，，即函数在上单调递增．又是上的奇函数，，，故函数为奇函数，由奇函数的对称性可得在上单调递增．又，，，．所以当时，当时，当时，当时，由可得，，即要使成立，只需成立；所以的解集为故选：D．7．设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，根据因为，得到，得出函数为上的单调递增函数，由题设条件，令，求得，把不等式转化为，结合单调性，即可求解.【详解】令，可得，因为，可得，所以，所以函数为上的单调递增函数，由不等式，可得，所以，即因为，令，可得，又因为，可得，所以所以不等式等价于，由函数为上的单调递增函数，所以，即不等式的解集为.故选：A.8．已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，构造出，会得到在上单调递增，再将待解不等式的形式变成和相关的形式即可.【详解】设，因为为上奇函数，所以，即为上奇函数对求导，得，而当时，有，故时，，即单调递增，所以在上单调递增不等式，又是奇函数，则，即所以，解得，即.故选：A.9．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用定义分析出函数为奇函数，由得，分别、、三段解不等式，综合可得出该不等式的解集.【详解】当时，，令，则函数在上单调递增，函数为上的奇函数，则函数的定义域为，，所以，函数为奇函数.则函数在区间上为增函数.①当时，，合乎题意；②当时，，由得，可得；③当时，，由得，可得，此时.综上所述，不等式的解集为.故选：B.10．设奇函数，的导函数为，且，当时，，则使得成立的x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据所给不等式，构造函数，由导数与单调性关系可知在时单调递增，由函数奇偶性的性质可知为偶函数，画出函数示意图，即可求得成立的x的取值范围.【详解】令，则，当时，，则当时，为单调递增函数，为奇函数，则为偶函数，且由，可知，所以，则的函数关系示意图如下图所示：当时，若，则，此时；当时，若，则，此时；综上可知，的解集为，故选：D.11．函数的定义域为，为其导函数，若且，则的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，由已知可得在上单调递减，在单调递增，且，，，结合图象即可得到答案.【详解】设，由已知，得，显然当时，，当时，，故在上单调递减，在单调递增，且，，作出示意图如图，所以只需即可，解得.故选：D12．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数，当x≥0时，恒有+f（﹣x）＜0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1） B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞） D．（﹣∞，）【答案】A【分析】根据函数f（x）为偶函数，则函数g（x）也是偶函数，利用导数判断函数在[0，+∞）上的单调性，则不等式g（x）＜g（1﹣2x）等价于g（|x|）＜g（|1﹣2x|），解不等式即可.【详解】因为g（x）＝x2f（x），当x≥0时，g′（x）＝2x[+f（﹣x）]≤0，∴函数g（x）在[0，+∞）上单调递减．∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴函数g（x）是定义在R上的偶函数，则不等式g（x）＜g（1﹣2x）即g（|x|）＜g（|1﹣2x|），∴|x|＞|1﹣2x|，解得：＜x＜1．∴不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（，1）．故选：A13．已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立（为自然对数的底），则（）A． B．C． D．与大小不确定【答案】C【分析】由题设条件可知，需构造函数，求导，得出在上单调递减，经过运算变形，从而推得结果.【详解】由题意可知，对于恒成立，且为定义在上的可导函数，∴可构造函数，在上可导∴对于恒成立∴在上单调递减∴∴经过运算化简可知选C故选：C14．若对任意，恒成立，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，转化条件为对任意恒成立，设，，求导后求得的最小值即可得解.【详解】设，则对任意恒成立，设，则，且，设，则，所以在上是减函数，在上是增函数，所以，所以的最小值为，即的最小值为，所以.故选：C．15．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求解即可得到结论.【详解】构造函数，，当时，∵，即，∴，所以，∴在上单调递减，又∵，因为定义域为正实数，∴，即，∴，∴，∴，解之得：，∴不等式的解集为.故选：D．16．设函数是奇函数的导函数，，当时，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导数得到，在是增函数，再根据为奇函数，根据，解得的解集．【详解】令，，时，,在上是增函数，奇函数,为偶函数,在上单调递增,在上单调递减,,因此，,因此使得成立的的取值范围是,故选：D.17．已知的定义城为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由坐标结构特点想到构造函数并得到其单调性，再对两边同乘，得到，结合单调性可得不等式，解出答案.【详解】解：构造函数则所以在上单调递减又因为所以所以解得或（舍）所以不等式的解集是故选:C18．已知定义在上的函数满足且，其中是函数的导函数，是自然对数的底数，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式等价为，进行求解即可．【详解】解：，，则不等式等价为，设，则，即在，上为减函数，（4），（4）（4），则不等式等价为，即，在，上为减函数，，即不等式的解集为，，故选：．19．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，求导并利用得到在上是减函数，利用单调性可解得结果.【详解】令，则，∵，，∴，即，∴在上是减函数，∴可化为：，∴，即，解得，所以不等式的解集为.故选：A20．已知函数（）的导函数是，且满足，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由给定条件构造，求可得单调性，并根据判断和的解，从而求得时以及的解集；根据条件可知关于点中心对称，从而求出函数以及在上的解集，进而求出的解集.【详解】解：，则关于点中心对称，当时，令，则，所以在上单调递增，又，则当时，，且，所以，当时，且，所以.因为关于点中心对称，所以当时，，若，当时，，则，当时，，则.所以的解为.故选：D.21．定义在上的函数满足，为的导函数，且，对恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，，利用导数分析函数、的单调性，由、的大小关系，以及、的大小关系可得出的取值范围.【详解】构造函数，其中，，所以，函数在上为增函数，由，可得，对任意的，，所以，；构造函数，其中，，所以，函数在上为减函数，由，可得，所以，.综上，.故选：A.22．已知且，且，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，设，对三个式子变形可得，，，求出的导数，分析其单调性，可得的大致图象，分析可得答案．【详解】解：根据题意，设，且，变形可得，即，且，变形可得，即，且，变形可得，即，，其导数，在区间上，，则为减函数，在区间上，，则为增函数，其草图如图：则有，故选：．23．若定义在上的函数满足，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，利用导数证明在上单调递增，不等式，等价于，利用单调性解不等式得解.【详解】由题意知.令，则，所以在上单调递增，且.不等式，等价于，故.故选：B24．若，则下列不等式正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数,利用导数研究函数单调性，从而可判断AB；构造函数,利用导数研究函数单调性，从而可判断CD.【详解】构造函数，则，又当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，的大小不确定．所以A、B均不正确；构造函数，则，所以在上为增函数，所以，即，所以．故选:D．25．函数在定义域内恒满足，其中为导函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别构造函数，，，，利用导数研究其单调性即可得出．【详解】令，，，，恒成立，，，，函数在上单调递增，，即，；令，，，，恒成立，，函数在上单调递减，，即，，综上可得.故选：C26．已知定义在，上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合已知可构造，，结合已知可判断的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断．【详解】解：令，，则，因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，因此，即，即，故A错；，所以，所以在上恒成立，因为，所以，故B错；又，所以，即，故C正确；又，所以，即，故D错；故选：C．27．设为上奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，设，对其求导分析可得函数在上为减函数，由函数奇偶性的性质分析可得为奇函数，结合函数的特殊值可得在上，，上，，在上，，上，，进而由分析可得，即可得答案．【详解】解：根据题意，设，其导数，又由当时，，则有，即函数在上为减函数，又由函数为奇函数，则，所以函数为奇函数，则函数在上为减函数，又由，则（1），则（1），则有在上，，上，，在上，，上，，若，即，则有，则不等式的解集为，，；故选：C．28．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，并结合函数的奇偶性，求解的解集，即可求解的解集.【详解】设，，由条件可知时，，即函数单调递减，因为函数是奇函数，所以也是奇函数，且在也是减函数，因为，所以，所以函数的解集是，而，又因为是定义在上的奇函数，，所以的解集是故选：D29．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据为奇函数，即可求出，令，根据，即可判断出的单调性，再根据，即可求出，则的解集等价于的解集，求解即可.【详解】解：为奇函数，，即，令，，则，在上单调递减，，的解集等价于的解集，即的解集为.故选：C．30．设是定义在R上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题令,进而根据题意得在上是增函数，故,进而得答案.【详解】因为满足，令，则，所以在上是增函数，所以，即，所以.故选:D31．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则使得成立的的取值范围是（）．A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根据条件，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合函数的零点，以及和的关系，解不等式.【详解】设，，由条件可知当时，，函数在单调递增；因为是奇函数，所以也是奇函数，且在单增，因为，所以，所以函数的解集是，而，是上的奇函数，，所以的解集是．故选：C32．已知是自然对数的底数，是圆周率，则，，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由在R上是增函数，得到与，和与的大小，构造函数，利用其单调性得到与的大小，构造函数，利用其单调性得到与的大小即可.【详解】因为在R上是增函数，所以，设函数，则，当时，，则是增函数，又，所以，即，则，设函数，则，当时，，则是减函数，所以，即，即，则，所以，故选：B33．已知函数是连续可导函数，其导函数是，若时，，令，则以下正确的是（）A． B． C． D．T的符号不能确定【答案】A【分析】时，，令，求导，分析的单调性，由可推出的正负，进而可推出的正负情况，即可求解【详解】时，，所以，令，则，因为时，，所以在上单调递增，又当时，，因为时，，，所以时，，所以，又因为时，，，所以时，，所以，所以，故选：A34．若定义在上的函数满足，，则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，求导结合题干条件可证明在R上单调递增，又，故，即得解【详解】令，则所以在R上单调递增，又因为，所以，即不等式的解集是故选：C35．定义在R上的可导函数的导数为，满足且是偶函数，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知不等式和所求不等式的形式构造新函数，结合导数，利用新函数的单调性，以及偶函数的性质进行求解即可.【详解】构造函数，所以，因为，所以，因此函数是实数集上的增函数，因为函数是偶函数，所以有，令，有，因此，于是由，因为函数是实数集上的增函数，所以有，故选：C36．若对任意的，，且，都有，则的最小值是（）（注：为自然对数的底数）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根据题意，化简得到，令，可得，得出在上是减函数，结合，即可求解.【详解】由题意知，可得，则等价于，即，所以，所以，令，可得，又由，所以在上是减函数，所以，解得，则，即的最小值为.故选：A.37．已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，然后结合已知可判断的单调性及奇偶性，从而可求．【详解】解：设，由为奇函数，可得，故为上的奇函数，当时，，，单调递增，根据奇函数的对称性可知，在上单调递增，则不等式可转化为，即，即，即．故选：A38．已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】可构造函数，由已知可证在单增，再分别代值检验选项合理性即可【详解】设，则，则在单增，对A，，化简得，故A错；对B，，化简得，故B错；对C，，化简得，故C正确；对D，，化简得，故D错，故选：C39．已知是定的奇函数，是的导函数，，且满足：，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令对函数求导可得到函数单调递减，再结合，和的奇偶性，通过分析得到当，，，，故不等式等价于或，求解即可.【详解】令，则，故函数单调递减，定义域为，（1），时，；时，．时，；时，．当，时，，又（1）．当，，又为奇函数，当，．不等式等价于或解得或者故答案为：D.40．已知函数在恒有，其中为函数的导数，若，为锐角三角形两个内角，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，求导可知函数在上为增函数，由已知条件可知，即，再根据函数在上的单调性即可得解.【详解】设，则所以函数在上单调递增.，为锐角三角形两个内角,则所以，由正弦函数在上单调递增.则所以，即所以故选：B41．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（）．A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数，则由题可知，所以在时为增函数；由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；又，即即又为开口向上的偶函数所以，解得或故选：D42．已知f(x)是定义在R上的可导函数，对于任意实数x，均有，当时，，若，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据进行变形，构造易得为偶函数利用单调性解不等式即可.【详解】令，则，当时，，即函数在上单调递增,又为偶函数，所以在上单调递减.解得：故选：A43．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，设，利用导数求得在上单调递减，且为偶函数，再把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，设，则，当时，因为，则有，所以在上单调递减，又因为在上是偶函数，可得，所以是偶函数，由，可得，即，即又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得或，即不等式的解集为，故选：B.44．定义在上的函数，其导函数是，且恒有成立，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把给出的等式变形得到，由此联想构造辅助函数，由其导函数的符号得到其在上为增函数，则，整理后即可得到答案．【详解】解：因为，所以，．由，得．即．令，，则．所以函数在上为增函数，则，即，所以，即．故选：D．45．已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知将原不等式等价于恒成立，构造函数，求导在上恒成立，运用参变分离可得选项．【详解】∵对于任意的，且，都有成立，∴不等式等价为恒成立，令，则不等式等价为当时，恒成立，即函数在上为增函数；，则在上恒成立；∴；即恒成立，令，∴；∴在上为增函数；∴；∴；∴.∴的取值范围是.故选：C.46．若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将不等式转化为，构造函数，只需使在上递减，则在恒成立，只需恒成立，然后求解的取值范围.【详解】因为，所以，则可化为，整理得，因为，所以，令，则函数在上递减，则在上恒成立，所以在上恒成立，令，则在上恒成立，则在上递减，所以，故只需满足：.故选：A.47．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集.【详解】解：由，当时，可得，即，即，构造函数，所以函数递增，则，此时，即满足；当时，可得，由函数递增，则，此时或，即满足；当时，，即满足.综上，.故选：C.48．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设，由已知得函数在R上单调递增，且，根据函数的单调性建立不等式可得选项.【详解】由题可设，因为，则，所以函数在R上单调递增，又，不等式可转化为，∴，所以，解得，所以不等式的解集为．故选：D.49．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性解不等式，即可求解.【详解】根据题意，构造函数，，则，所以函数的图象在上单调递减.又因为，所以，所以，解得或（舍）.所以不等式的解集是.故选：B.50．若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，由此求得不等式的解集.【详解】令，则，所以在上单调递增，又因为，由，得，两边同时乘以，得，得，即，解得，即不等式的解集是.故选：C类型二:填空题51-80题51．已知函数定义域为R，，在上的导数满足，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】根据不等式，构造函数，即可判断的单调性，由可得，进而可解不等式.【详解】构造函数，则，在上是增函数，且.又不等式可化为，即，∴，即.故答案为：.52．已知定义在的函数满足，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】令，对其求导，由条件可得其单调性，再由得到，利用的单调性列不等式求解即可.【详解】令，则所以函数在上单调递减又由得，即，解得故答案为：.53．已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是________．【答案】【分析】构造函数，，求导，结合已知可判断其单调性及奇偶性，结合函数的性质即可求解．【详解】令，，因为当时，，则当时，，即在上单调递减，又因为为奇函数，即，则，故为偶函数且在上单调递增，因为，故，由可得，所以或，所以或.解可得，或.故答案为：.54．已知定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集为________.【答案】【分析】观察不等式的特征，构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性和的定义域即可求出不等式的解集.【详解】令，因为，所以，所以函数在上单调递减，由函数的定义域为，可得，解得，因为，所以，所以，所以，解得，综上可知，不等式的解集为.故答案为：55．已知定义在上的函数的导函数为，且，，则关于的方程的解集为_____________.【答案】【分析】由所给等式变形可得，则，令可求得c从而求出的解析式，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】因为，所以，即，所以，因为，所以，解得，则，，当时，，函数在上单调递增，又，所以的解集为.故答案为:56．已知偶函数，其导函数为，当时，，，则不等式的解集为__________．【答案】【分析】根据，构造函数，通过研究函数的单调性，结合，把不等式等价转化为，根据同号得正，异号得负，写出不等式的解集．【详解】解：令，当时，，在上单调递增．因为是偶函数，所以是奇函数．因为，所以．；不等式等价于，所以或，解得或．故答案为：．57．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为_______.【答案】【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【详解】解：由，，得：，，，即，设，则即，则当时，得，即在上是增函数，，，即不等式等价为，在是增函数，由得，，即，故答案为：．58．已知偶函数的导函数为，，当时，，则使成立的x的取值范围是___________.(其中e为自然对数的底数)【答案】；【分析】构造函数，求导，由已知分析出函数的奇偶性的单调性，可求得答案.【详解】令，则，因为当时，，所以当时，，单调递增，又是偶函数，所以，所以是偶函数，而，所以，即，所以，又在单调递增，所以，解得或，故答案为：.59．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是________．【答案】【分析】构造函数，利用导数判断单调性，再利用单调性解不等式即可.【详解】构造函数，则，依题意知，即在上是减函数.又因为，所以，所以的解为，即即的解为，所以的解为，即，即解集是.故答案为：.60．已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使成立的x的取值范围为______．【答案】【分析】构造函数，可得是偶函数，求导可判断在单调递减，则由由可解得，即可解出.【详解】令，是偶函数，，则是偶函数，又，当时，，此时，则在单调递减，又，，且是偶函数，则由可得，则，解得，则的解集为.故答案为：.61．已知函数的定义域为，且，对于，有成立，则不等式：的解集为___________.【答案】【分析】从所解不等式入手，构造函数，利用单调性可求.【详解】解：令，则，，，在R单调递增，，，即，即，又在R单调递增，不等式的解集为.故答案为：.62．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】由题意，得，构造函数，然后求出函数的解析式，再确定的解析式，进一步不等式即可．【详解】解：由题意，因为，所以，，令，则，，即，，不等式的解集等价于，解得．故答案为：．63．是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______．【答案】【分析】令，得到，结合函数的单调性求出不等式的解集即可．【详解】题中不等式，即，令，则，故在上单调递增，而，即，所以，故不等式的解集是，故答案为:64．已知实数a，b满足，则ab＝______________．【答案】【分析】根据式子结构函数，判断出，代入，整理化简得.【详解】构造函数，定义域为R.因为，所以在R上单调递减.因为实数a，b满足，所以，所以.而，所以，所以，所以.故答案为：.65．若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为______.【答案】/【分析】条件化为，令，，构造函数，利用导数求得函数最大值，从而将问题转化为即可.【详解】条件等式两边同除以y得，，令，，函数，则，易知单减，且，则函数在上，，函数单增；在上，，函数单减；且，，因此若存在正数，使得，即.故答案为：66．已知定义在上的偶函数的导函数为，若满足：当时，，，则不等式的解集是_________．【答案】【分析】构造函数，根据导数和函数的单调性的关系，判断的单调性，根据单调性即可求出不等式的解集.【详解】当时，，所以，令，则，所以在上为增函数.由于为偶函数，所以为奇函数，且，所以在上为增函数，所以在上为增函数.因为，所以，即，所以.因为，所以，即，又，所以不等式的解集是.故答案为：67．已知函数，当时，的最小值为，且对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值是________.【答案】2【分析】根据题意，由的最小值为分析可得，再对不等式变形可得，构造函数，求得最小值为，即可得到结论.【详解】由题意，，当时，，此时，当时，恒成立，则在上单调递增，所以，的最小值为，解得.当时，，当时，此时，恒成立，所以，函数的最小值为，解得（舍），当时，此时，恒成立，所以，函数的最小值为，解得（舍）.综上，当时，的最小值为时，此时，所以，不等式对恒成立，即，令，则，令，则恒成立，即在上单调递增，又，所以，当时，，即；当时，，即.即在上单调递减，在上单调递增，所以，在处取得最小值，此时最小值为，所以，，即实数的最大值为.故答案为：.68．定义在上的函数的导函数为，且，则当时，______.（用>，<，≥，≤填空）【答案】【分析】构造函数，由已知，利用导数证明在单调递减，可得，进而得，再利用配方法可得结果.【详解】设，则在单调递减，当时，，即故，故答案为：.69．已知函数，若，都有：，则实数的最小值是___________.【答案】1【分析】由已知等价转化恒成立关系后，构造新函数由其单调性再次转化为其导函数大于等于零恒成立问题，变量分离求最值可得.【详解】不妨设，因为在上单调递减，则，故，记，则在区间上单调递增，所以在上恒成立，所以，故k的最小值为1.故答案为:170．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集为__________.【答案】【分析】构造函数，由已知可得时，，从而可得函数在单调递减，又由已知可得函数为奇函数，故可得（2），且在单调递减，结合图象可求．【详解】和分别是定义在上的奇函数和偶函数当时，当时，，令，则在上单调递减为奇函数，根据奇函数的性质可得函数在单调递增，（2）（2）图象如图，由图可知，的范围为故答案为：71．已知是定义域为R的奇函数，是的导函数，，当时，，则关于x的不等式解集为____________.【答案】【分析】构造函数，求导，结合已知可判断其单调性及奇偶性，结合函数的性质即可求解．【详解】令，求导时，，则当时，，即在上单调递减，又为奇函数，即，则，故为偶函数且在上单调递增，因为，故，作出的图像性质类似下图所示，由，由图可知，或.故答案为：.72．已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.【答案】【分析】先将不等式变形为，再构造函数，利用函数单调性可得，，再分离参数转化为，然后求出函数的最小值，即解出．【详解】由题意，不等式可变形为，得对任意恒成立.设，则对任意恒成立，，当时，，所以函数在上单调递减，当时，，所以函数在上单调递增.当时，，因为求实数的最小值，所以考虑的情况，此时，因为函数在上单调递增，所以要使，只需，两边取对数，得上，由于，所以.令，则，令，得，易得在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，所以实数的最小值为.故答案为：73．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为______.【答案】【分析】利用导数研究函数可得函数的单调性情况，且时，，时，，同时注意，则，所以，构造函数，，利用导数求其最小值即可．【详解】函数的定义域为，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，所以时，；时，；时，，同时注意到，所以若存在，，使得成立，则且，所以，所以，所以构造函数，而，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即.故答案为：.74．已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是______.【答案】【分析】由，得到，再研究函数的单调性，得到，将表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可.【详解】，，，，，当时，，，由得，由得，所以在上递减，在上递增，在处取得最小值，，，令，则，当时，取得最小值，当时，取得最大值0，所以的取值范围是.故答案为：75．若，不等式恒成立，则的取值范围是___________.【答案】【分析】设，可将不等式变形为，令，利用导数可求得单调递增，由此得到，分离变量可得，利用导数可求得的最大值，由此.【详解】由得：，设，则，；令，则，令，则，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，，在上单调递增，，即，，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，即的取值范围为.76．已知，（为常数），的最大值为，则_______．【答案】2【分析】令，得到，然后对取对数，构建新的函数，然后利用导数得到，进一步得到，最后得到结果.【详解】令，所以，其中，令，且，所以可知：，；，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，由，，所以函数在单调递增所以由，即，所以故答案为：277．已知函数，对于任意，恒成立，则整数a的最大值为___________.【答案】0【分析】根据题意，知，令，则原问题转化为，恒成立，结合导数，判断单调性求出最值，即可求解.【详解】由题意得，，令，易知，则，恒成立.令，由，得，因此在上单调递减，在上单调递增，故，因此，因为，所以.下证：.即证，易证：，所以，由，得在上递减，在上递增，因此，故，故.故答案为：078．已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.【答案】【分析】先将不等式变形为，再构造函数，利用函数单调性可得，，再分离参数转化为，然后求出函数的最大值，即解出．【详解】可变为，再变形可得，，设，原不等式等价于，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，而，，当时，，所以由可得，，因为，所以．设，，所以函数在上递增，在上递减，所以，即．当时，不等式在恒成立；当时，，无论是否存在，使得在上恒成立，都可判断实数m的最小值为．故答案为：．79．若时，关于不等式恒成立，则实数的最大值是______.【答案】【分析】对分类讨论，当时，不等式显然恒成立.当时，对不等式进行变形为，然后构造函数，根据函数单调性化简不等式，最后分离参数，即可求出的范围，进而求出的最大值.【详解】当，时，不等式显然恒成立.当时，.由于，即.所以原不等式恒成立，等价于恒成立.构造函数，.易知在上单调递减，在上单调递增.则原不等式等价于要证.因为，要使实数的最大，则应.即.记函数，则.易知，.故函数在上单调递减，所以.因此只需.综上所述，实数的最大值是.故答案为：80．已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______________．【答案】【分析】先构造函数，利用，最终求得，即时，恒成立，参变分离后使用切线放缩，最后求得的取值范围.【详解】设，则，故，则，又因为，即，所以，，，因为，所以在上恒成立，其中，理由如下：构造，则，令得：，当得：，当得：，故在处取的极小值，也是最小值，，从而得证.故，故，实数a的取值范围为故答案为：类型三:解答题81-100题81．已知函数．（1）讨论函数的单调性;（2）若，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，求证：．【答案】（1）见解析（2）证明过程见解析.【分析】（1）根据实数的正负性，结合导数的性质分类讨论进行求解即可；（2）根据零点的定义，结合指数的运算法则，通过构造新函数，利用导数的性质进行证明即可.【详解】（1）由，可得，当时，，函数是实数集上的增函数，当时，令，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，综上所述：当时，函数是实数集上的增函数，当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；（2）由（1）可知：当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以函数有最小值，最小值为：，因为函数有两个不同的零点，不妨设，因为当时，，当时，，所以有，即，，因为函数有两个不同的零点，所以，因此令，构造函数，因为，所以，因此，所以当时，函数单调递减，故有，而，所以.82．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设,当时，满足，求证：．【答案】（1），上减；，上减，上增；（2）证明见解析．【分析】（1）求导分两种情况当时，当时，利用导函数的正负得到函数的单调性．（2）由得到，代入所求，化简得，令，，令，求导分析单调性，最值，即可得出结论．【详解】（1）函数，定义域为，，当时，，所以在上为减函数，当时，即，所以，当时，；当时，，所以在上为减函数，在上为增函数.综上，当时，，所以在上为减函数，当时，在上为减函数，在上为增函数.（2）由题意，由，得所以，将代入得：得，又，所以，设，，则所以在上是减函数，所以，即，又，所以.83．函数.（1）求证：函数在上单调递增；（2）若，为两个不等的正数，求证.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)求导化简证明导函数大于等于0即可.(2)利用作差法,化简可得,再构造函数,根据(1)中所得的单调性证明即可.【详解】（1），∴在上单调递增.（2）不妨设，.令，设，由（1）知在上单调递增，，，∴，又，∴.84．已知函数.（1）若直线与f(x)的图象相切，求实数k的值；（2）设x>0，若曲线y＝f(x)与有且只有一个公共点，求实数m的值；（3）设a<b，比较与的大小，并说明理由.【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析.【分析】（1）设切点为，求出导函数，利用导数的几何意义及切点即在切线上又在函数图象上，可求得切点坐标和斜率；（2）题意说明只有一解，转化为只有一解，引入新函数，函数的图象与直线只有一个交点，利用导数确定函数的性质可得．（3）证明不等式即可，不等式变形为，引入函数，利用导数证明即得．【详解】（1）设切点为，则有，且.进而.（2）曲线与曲线公共点的个数等于曲线和的公共点个数.令，则，时，，时，，即在上递减，在上递增，所以的最小值是，于是若曲线与曲线有且只有一个公共点，则.（3）可以证明.事实上令，则.于是在)上递增.所以，当，结论得证.所以．85．已知函数，，其中是自然对数的底数．（1）若有两个极值点，求实数的取值范围；（2）若存在正数，使得对任意均有成立．证明：（ⅰ）；（ⅱ）．【答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，分析易知时，不符合要求；时，令，要使有两个极值点，即有两个变号零点，只需，求解即可得答案；（2）当时，不符合题意；当时，由（1）得，存在唯一的，使得，即．此时，函数单调递增；，函数单调递减，从而有.（i）只需证，即证，即证．（ii）由，可得，令，要证：，只需证，即证，构造函数，利用导数即可证明.（1）解：，当时，，显然不符合要求；当时，，令，则，时，，单调递增；时，，单调递减，时，，；时，，；．因为有两个极值点，所以有两个变号零点，故，解得，即；（2）解：当时，时，，故不符合题意；当时，由（1）得，；时由函数零点存在定理可得，存在唯一的，使得，即．当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．故为函数的最大值，满足．（i）由题意，可得，要证明，只需证，即证，即证，当时函数单调递减，故，命题得证；（ii）因为，所以，令，由题意可得，要证：，只需证，即证，令，则，，；，；因为，，所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，故恒成立，结合，所以恒成立，故命题得证．86．已知函数.（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.①若恒成立，求的取值范围.②若仅有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.（2）选择①时，；选择②时，【分析】（1）把代入，然后对求定义域，求导，利用求出求的值，观察出是个增函数进而求出函数的单调区间；（2）对进行同构变形，然后构造新函数求的取值范围（1）定义域为，，在处取得极值，则，所以，此时，可以看出是个增函数，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）①选择若恒成立，若恒成立，即，整理为，即设函数，则上式为：因为恒成立，所以单调递增，所以所以，令，.，当时，，当时，，故在处取得极大值，，故1，解得：故当时，恒成立.②选择若仅有两个零点，即有两个根，整理为，即设函数，则上式为：因为恒成立，所以单调递增，所以=所以只需有两个根，令，.，当时，，当时，，故在处取得极大值，，要想有两个根，只需，解得：，所以的取值范围为87．已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明：在上恒成立；（3）证明：当时，.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为、；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）求得，求出函数的定义域，分析导数的符号变化，由此可求得函数的增区间和减区间；（2）利用导数分析出函数为上的增函数，由此可得出，即可证得结论成立；（3）当时，将所证不等式变形为，利用导数证明得出，利用导数分析函数的单调性，结合函数的单调性可证得结论成立.【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，.由可得，由可得或.所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；（2）当时，，其中，对任意的恒成立，所以，函数为上的增函数，则；（3）当时，要证，即证，构造函数，即证.当时，构造函数，则，故函数在上为增函数，可得，即.，令，其中，则，所以，函数为上的减函数，当时，，故，即函数为上的减函数，当时，，所以，，故原不等式得证.88．已知函数.（1）若，判断极值点的个数，并证明：图象与x轴相切；（2）若对恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）1个零点，证明见解析；（2）.【分析】（1）当时，求得，令，即，设，利用导数求得单调递增，得到当时，有且仅有一个零点，设，求得，，进而求得，即可得到答案；（2）由转化为恒成立，令，得到，从而有，要使不等式恒成立只需，即可求解.【详解】（1）当时，函数的定义域为，且，判断函数极值点的个数，即的根的个数，令，即，设，可得，因为，所以，所以单调递增，即单调递增，又因为，又由，所以当时，有且仅有一个零点，设，所以，即，所以，即，由，代入可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以图象与x轴相切.（2）由对恒成立，即恒成立，即恒成立，令，设单调递增，当时，，当时，，所以存在唯一的，使得，设，当时，单调递减，当时，单调递增，所以时，取得极小值也是最小值，即时，等号成立，所以时，等号成立，即时，等号成立，所以.89．已知函数．（1）若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得函数的图象与轴相切？若存在，求满足条件的的取值范围，请说明理由．【答案】（1）；（2），理由详见解析．【分析】（1）根据导数和函数的单调性的关系，分离参数，即可求出的取值范围；（2）函数的图象与轴相切，且存在的极值等于0，根据导数和函数的极值的关系即可求出答案．【详解】（1）在上单调递增，∴，在上恒成立，即，易知在上为增函数，∴，∴；（2）函数，设，∴，令，解得或，①当时，即时，当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，解得（舍去），②当时，，即极值点为或，∵函数的图象与轴相切，∴或，当时，，解得，当时，可得，设，则，则，即，设，∴，再令∴，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴，∴，∴在上单调递增，∵，∴存在，使得，即，即，综上所述存在实数一个实数，得使得函数的图象与轴相切．90．已知函数.（1）当时，试判断函数在上的单调性；（2）存在，，，求证：.【答案】（1）函数在上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）求出，当时，的最小值大于零，则在上单调递增；（2）令，，将转化为，再构造函数利用导数证明最小值小于0.【详解】（1）(方法一)当时，，，当时，，所以，当时，函数在上单调递增.(方法二)当时，，，由，结合函数与图象可知：当时，，，所以两函数图象没有交点，且.所以当时，.所以，当时，函数在上单调递增.（2）证明：不妨设，由得，，.设，则，故在上为增函数，，从而，，，要证只要证，下面证明：，即证，令，则，即证明，只要证明：，设，，则在单调递减，当时，，从而得证，即，，即.91．已知函数，（其中为常数，是自然对数的底数）．（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）若恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据导函数的几何意义，先求斜率，再带入化简整理即可；（2）方法一：不等式恒成立可等价转化为，构造函数，然后通过函数单调性，求最值即可；方法二：恒成立，即，进行同构变形，则构造函数，利用函数单调性求解不等式，进而转化为，接下来参变分离即得出结果.【详解】（1）根据题意可知：，，所以，，所求的直线方程为，即．（2）方法一：，，故不等式恒成立可等价转化为：在上恒成立，记，，当时，，不合题意；当时，．记，，则，所以在上是增函数，又，，所以使得，即①，则当时，，即，当时，，即，故在上单调递减，在上单调递增，所以②，由①式可得，，代入②式得，因为，即，故，，即，所以时，恒成立，故的取值范围为．方法二：根据已知条件可得：，，且恒成立；故可等价转化为：恒成立．设，则，单调递增，因而恒成立，即恒成立．令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，从而即为所求．92．已知函数有两个零点，.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求导，对参数分类讨论，通过导数研究函数的零点情况，求得参数取值范围；（2）方法一：由题意得，令，两式相除得，欲证，即证，即证，记，通过导数研究函数的最值情况，即可证得不等式；方法二：令，代入化简得，，将不等式转化为，即证.记，通过求导，并对导数中的部分函数求导研究原函数的最值情况，证得不等式.【详解】（1）解：的定义域为，.①当时，，所以在上单调递增，故至多有一个零点，不符合题意；②当时，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增，所以（i）若，则，故至多有一个零点，不符合题意；（ii）若，则，，由（i）知，∴，∴，.又∵，，故存在两个零点，分别在，内.综上，实数的取值范围为.（2）证明：方法1：由题意得，令，两式相除得，变形得.欲证，即证，即证.记，，故在上单调递减，从而，即，所以得证.方法2：由题意得：由（1）可知，，令，则，则，两式相除得，，，欲证，即证，即证.记，，令，，故在上单调递减，则，即，∴在上单调递减，从面，∴得证，即得证.93．已知函数为常数，且在定义域内有两个极值点.（1）求的取值范围；（2）设函数的两个极值点分别为，求的范围.【答案】(1)；(2).【分析】(1)求出的导函数，由此探讨函数在内有两个不同的零点即可得解；(2)由(1)中信息确定出并将用表示出，换元构造函数即可作答.【详解】(1)函数的定义域为，，因在定义域内有两个极值点，则有二不等的正实根，从而得，解得，所以的取值范围是；(2)由(1)知，而，则，，令，则，，从而得在上单调递增，即有，的值域是，所以的范围是.94．已知函数在上单调递减．（1）求实数的取值范围；（2）当实数取最大值时，方程恰有二解，求实数的取值范围；（3）若，求证:．（注：为自然对数的底数）【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）根据在上单调递减可知，在上恒成立，进而分参求得答案；（2）采用分参法，方程恰有二解，用导数得到函数的性质，结合函数图像即可得到答案；（3）构造函数，先证明，再结合基本不等式即可证明结论.【详解】（1）在上单调递减在上恒成立在上恒成立在上恒成立实数的取值范围为（2）由（Ⅰ），，，因为方程恰有二解，即方程恰有二解，设，易知函数在R上单增，则问题方程所以方程恰有二解.令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减．.如图所示，由图可知，实数的取值范围为：．（3）令，则设，，时，，单减；时，，单增；∴，即，则.所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增．，即：，，当且仅当时等号成立．95．已知函数．（1）讨论的单调性：（2）若在定义城上有两个极值点，求证：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）分类讨论含参数的函数的单调区间，由于需要讨论的正负，因此需要