圆锥曲线中焦点三角形问题课件

焦点三角形问题老师姓名：焦点三角形问题老师姓名：1目录/DIRECTORY1234与焦点三角形边长有关的问题与焦点三角形角度有关的问题与焦点三角形面积有关的问题与距离最值有关的问题目录/1234与焦点三角形边长有关的问题与焦点三角形角度有关2焦点三角形圆锥曲线在高考中的占分比（22分2小题1大题）

小题：（1）求离心率

（2）求离心率取值范围

（3）求渐近线方程等等。大题：（1）求曲线方程（椭圆最多）或者动点轨迹方程

（2）第二问难度大，120分以下的同学拿到9分即可焦点三角形圆锥曲线在高考中的占分比（22分2小题13焦点三角形2.焦点三角形的边角关系三条边：

三个角：随着动点P的移动，三个角都在变化，可能为

锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角

利用余弦定理，又和三边a,b,c的大小有关系三角形的面积：底为定值，面积最大时高最大

面积和三边长有关系1.焦点三角形问题分类

（1）与焦点三角形边长有关的问题（2）与焦点三角形角度有关的问题

（3）与焦点三角形面积有关的问题（4）焦点三角形中与距离最值有关的问题焦点三角形2.焦点三角形的边角关系1.焦点三角形问题分类4焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题焦点三角形中三边长涉及a,c，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足例1.椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在一点P，满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是________.解析：题目中给出了中垂线，所以要用到中垂线的性质

即AF=PF。让求e的范围，我们需要构造一个不等

关系，且在有动态变量的题目中，需要把定值和

变量进行比较。

很显然为定值，

焦半径PF为变量，故，所以得出

不等关系，解得焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题5焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题例2.已知是椭圆的左右焦点，若在其右准线上存在点P，使得线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是________.解析：求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，

在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量

之间的大小关系。

题目中：

因为点P在右准线上下移动，虽然是

常量，

但由于不知道a,b,c的关系，因此还是相对的变量。

本题的定值为

在中，

解得：

焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题解析：求离心率的范6焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题例3.设是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积是________.解析：均为焦半径，如果能求出就可以求出

的面积，设，所以根据焦半径的公式

可知：

在中，满足

即，所以在中：方法一：方法二：此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设

则有：又因为解得：，因此面积等于1.焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题解析：7焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题练习：已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线交于不同的四点，顺次连接焦点和这四点恰好组成一个正六边形，求该双曲线的离心率________.解析：如图所示，题目的关键在于给出的圆和正

六边形，因为

所以，

所以，

解得：焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题解析：如图所示，题8焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题前三题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两条腰长之和为2a，底边为2c，因此三边之间暗含离心率的关系，所以在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以相互转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。经常在直角三角形中考察离心率的值或者离心率的范围，

所以直角三角形中存在的常用关系必须熟悉。焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题前9焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题前面我们说过由于动点的位置导致三边之间发生变化进而引发角度的变化，以顶角为例很容易理解。当点P处于短轴的焦点处时，顶角最大，这个结论可以通过余弦定理来证明：利用均值不等式，当且仅当时，等号成立（一正二定三相等）。

以上结论很重要，在求离心率的取值范围中经常用到，如动点P满足为钝角，则可知当点P处于短轴的交点处时，此时的等腰三角形的顶角也一定为钝角，然后根据对称可知，因此在小的直角三角形中，根据大角对大边可知b和c的关系，进而求出离心率的取值范围。例题如下：焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题前10焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题例1.已知点P是椭圆上的任一点，是椭圆的两个焦点，求的最大值_________.解析：设，根据余弦定理得：

当且仅当

时等号成立。

所以

因此可以知道当点P处于题目中的位置时，

角度最大。

焦点三角形中的角经常与余弦定理或正弦定理结合使用焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题解析：设11焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题例2.已知是椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，求椭圆离心率的最小值_______.解析:P点没有告诉我们准确位置，只知道，

刚才说过当点P处于短轴交点B处时，最大，

所以

根据大角对大边，在中，即

根据这个不等关系可得：

焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题解析:P点没有告诉12焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题练习：设A,B是椭圆长轴的两个端点，若C上存在点M满足,则m的取值范围是

解析：焦点位置不确定，分情况讨论即可：

（1）当焦点在x轴上时，此时

利用焦点三角形中的性质，当动点在图中D点

位置时，最大，若存在

则

此时，

解出：

（2）当焦点在y轴上时做法相同，过程省略。焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题解析：焦点位置不确13焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题注意：当顶角为直角时，有以下两个常用的公式：

（1）

（2）焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题注意：当顶角14焦点三角形（3）与焦点三角形面积有关的问题在椭圆或双曲线中，焦点三角形的底为定值，另外两条边的长度和角度是变量，所以，只要能求出另外两边的长就可以求出面积。在椭圆中，在双曲线中，公式证明如下：

，根据余弦定理得：所以

既然在焦点三角形中给出顶角，我们可以直接利用公式求面积，但是如果给出底角，如何求面积呢？证明过程和上面差不多。既然在焦点三角形中给出了顶角，我们可以直接用公式求面积焦点三角形（3）与焦点三角形面积有关的问题在椭圆或双曲线中，15焦点三角形（3）与焦点三角形面积有关的问题

既然在焦点三角形中给出顶角，我们可以直接利用公式求面积，但是如果给出底角，如何求面积呢？证明过程和上面差不多。设，求焦点三角形证明：所以：焦点三角形（3）与焦点三角形面积有关的问题既16焦点三角形（3）与焦点三角形面积有关的问题例1.P为双曲线上的一点，是双曲线的左右焦点，若，则面积为_________.解析：题目中没有给出角度，故不能套公式，因为

恰好满足：

焦点三角形为直角三角形，故面积求出焦点三角形的三边即可，再利用余弦定理求出角度即可求面积，但是在求角度之前需先看看此三角形是不是一特殊三角形焦点三角形（3）与焦点三角形面积有关的问题解析：题目中没有给17焦点三角形（4）焦点三角形中与距离最值有关的问题注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法：（1）三角形两边之和大于第三边，当三点在一条线上时取得最小值；（2）两边之差小于第三边。焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值，且存在定点，故可以用三角形中的不等式来求；另外注意当出现动点和一个焦点的连线时，我们一般还需要考虑动点和另外一个焦点的连线，组成焦点三角形来求，例题如下：

焦点三角形（4）焦点三角形中与距离最值有关的问题注意在三角函18焦点三角形（4）焦点三角形中与距离最值有关的问题例1.点P是双曲线右支上的动点，为双曲线的右焦点，A(3,1)，求的最小值.注意：此问题属于圆锥曲线中与动点有关的最值问题，后面会专门讲到，在求距离之和类的最值问题中经常用到三角形两边之和大于第三边，等号取到时，则无法构成三角形。

解析：在椭圆或双曲线中出现了圆锥曲线上的一个点和其中

一个焦点，往往需要考虑另外一个焦点，本题中

是焦点三角形，所以

的最小值

即求的最小值，很显然，当三点共

线时取得最小是，最小值为焦点三角形（4）焦点三角形中与距离最值有关的问题注意：此问题19焦点三角形（4）焦点三角形中与距离最值有关的问题总结：（1）当出现圆锥曲线上一个动点和一个焦点的连线时，一般需要考虑动点和第二个焦点。

（2）在椭圆中需要注意两个最值，一是注意动点和两

个焦点组成的三角形面积的最值问题，二是注意

焦点三角形的顶角问题。焦点三角形（4）焦点三角形中与距离最值有关的问题总结：（1）20谢谢大家！谢谢大家！21焦点三角形问题老师姓名：焦点三角形问题老师姓名：22目录/DIRECTORY1234与焦点三角形边长有关的问题与焦点三角形角度有关的问题与焦点三角形面积有关的问题与距离最值有关的问题目录/1234与焦点三角形边长有关的问题与焦点三角形角度有关23焦点三角形圆锥曲线在高考中的占分比（22分2小题1大题）

小题：（1）求离心率

（2）求离心率取值范围

（3）求渐近线方程等等。大题：（1）求曲线方程（椭圆最多）或者动点轨迹方程

（2）第二问难度大，120分以下的同学拿到9分即可焦点三角形圆锥曲线在高考中的占分比（22分2小题124焦点三角形2.焦点三角形的边角关系三条边：

三个角：随着动点P的移动，三个角都在变化，可能为

锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角

利用余弦定理，又和三边a,b,c的大小有关系三角形的面积：底为定值，面积最大时高最大

面积和三边长有关系1.焦点三角形问题分类

（1）与焦点三角形边长有关的问题（2）与焦点三角形角度有关的问题

（3）与焦点三角形面积有关的问题（4）焦点三角形中与距离最值有关的问题焦点三角形2.焦点三角形的边角关系1.焦点三角形问题分类25焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题焦点三角形中三边长涉及a,c，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足例1.椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在一点P，满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是________.解析：题目中给出了中垂线，所以要用到中垂线的性质

即AF=PF。让求e的范围，我们需要构造一个不等

关系，且在有动态变量的题目中，需要把定值和

变量进行比较。

很显然为定值，

焦半径PF为变量，故，所以得出

不等关系，解得焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题26焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题例2.已知是椭圆的左右焦点，若在其右准线上存在点P，使得线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是________.解析：求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，

在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量

之间的大小关系。

题目中：

因为点P在右准线上下移动，虽然是

常量，

但由于不知道a,b,c的关系，因此还是相对的变量。

本题的定值为

在中，

解得：

焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题解析：求离心率的范27焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题例3.设是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积是________.解析：均为焦半径，如果能求出就可以求出

的面积，设，所以根据焦半径的公式

可知：

在中，满足

即，所以在中：方法一：方法二：此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设

则有：又因为解得：，因此面积等于1.焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题解析：28焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题练习：已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线交于不同的四点，顺次连接焦点和这四点恰好组成一个正六边形，求该双曲线的离心率________.解析：如图所示，题目的关键在于给出的圆和正

六边形，因为

所以，

所以，

解得：焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题解析：如图所示，题29焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题前三题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两条腰长之和为2a，底边为2c，因此三边之间暗含离心率的关系，所以在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以相互转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。经常在直角三角形中考察离心率的值或者离心率的范围，

所以直角三角形中存在的常用关系必须熟悉。焦点三角形（1）与焦点三角形边长有关的问题前30焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题前面我们说过由于动点的位置导致三边之间发生变化进而引发角度的变化，以顶角为例很容易理解。当点P处于短轴的焦点处时，顶角最大，这个结论可以通过余弦定理来证明：利用均值不等式，当且仅当时，等号成立（一正二定三相等）。

以上结论很重要，在求离心率的取值范围中经常用到，如动点P满足为钝角，则可知当点P处于短轴的交点处时，此时的等腰三角形的顶角也一定为钝角，然后根据对称可知，因此在小的直角三角形中，根据大角对大边可知b和c的关系，进而求出离心率的取值范围。例题如下：焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题前31焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题例1.已知点P是椭圆上的任一点，是椭圆的两个焦点，求的最大值_________.解析：设，根据余弦定理得：

当且仅当

时等号成立。

所以

因此可以知道当点P处于题目中的位置时，

角度最大。

焦点三角形中的角经常与余弦定理或正弦定理结合使用焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题解析：设32焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题例2.已知是椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，求椭圆离心率的最小值_______.解析:P点没有告诉我们准确位置，只知道，

刚才说过当点P处于短轴交点B处时，最大，

所以

根据大角对大边，在中，即

根据这个不等关系可得：

焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题解析:P点没有告诉33焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题练习：设A,B是椭圆长轴的两个端点，若C上存在点M满足,则m的取值范围是

解析：焦点位置不确定，分情况讨论即可：

（1）当焦点在x轴上时，此时

利用焦点三角形中的性质，当动点在图中D点

位置时，最大，若存在

则

此时，

解出：

（2）当焦点在y轴上时做法相同，过程省略。焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题解析：焦点位置不确34焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题注意：当顶角为直角时，有以下两个常用的公式：

（1）

（2）焦点三角形（2）与焦点三角形角度有关的问题注意：当顶角35焦点三角形（3）与焦点三角形面积有关的问题在椭圆或双曲线中，焦点三角形的底为定值，另外两条边的长度和角度是变量，所以，只要能求出另外两边的长就可以求出面积。在椭圆中，在双曲线中，公式证明如下：

，根据余弦定理得：所以

既然在焦点三角形中给出顶角，我们可以直接利用公式求面积，但是如果给出底角，如何求面积呢？证明过程和上面差不多。既然在焦点三角形中给出了顶角，我们可以直接用公式求面积焦点三角形（3）与焦点三角形面积有关的问题在椭圆或双曲线中，36焦点三角形（3）与焦点三角形面积有关的问题

既然在焦点三角形中给出顶角，我们可以直接利用公式求面积，但是如果给出底角，如何求面积呢？证明过程和上面差不多。设，求焦点三角形证明：所以：焦点三角形（3）与焦点三角形面积有关的问题既37焦点三角形（3）与焦点三角形面积有关的问题例1.P为双曲线上的一点，是双曲线的左右焦点，若