【疑难突破】两个计数原理的选择与应用

两个计数原理的选择与应用两个计数原理的选择与应用

如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．情境探究甲乙丙两个计数原理的选择与应用问题1．从甲地经乙地到丙地的走法有多少种？2．从甲地到丙地的走法一共有多少种？甲乙丙提示：1．根据分步乘法计数原理，可得从甲地经乙地到丙地的走法共有3×2＝6种．2．根据分类加法计数原理，可得从甲地到丙地的走法共有6＋2＝8种．两个计数原理的选择与应用讲解1两个计数原理在解决计数问题中的应用用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析，分清是分类还是分步．分类要做到“不重不漏”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到“步骤完整”完成了所有步骤，恰好完成任务．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数两个计数原理的选择与应用讲解2类中有步，步中有类从A→D共有m1×（m2＋m3＋m4）×m5种方法．从A→B共有（m1×m2×m3＋m4×m5）种方法．m1m2m3m4m5ABCDm1m2m3m4m5BA“类”用“＋”连接，“步”用“×”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”则缺一不可．两个计数原理的选择与应用讲解3应用两个计数原理的常用方法当涉及元素数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法．当涉及元素数目很大时，一般有两种方法：直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．间接法：先去掉限制条件，计算方法总数，然后减去所有不符合条件的方法数即可．两个计数原理的选择与应用例1在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另外2名既会下象棋又会下围棋．现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？解析：分四类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；第2类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；两个计数原理的选择与应用例1在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另外2名既会下象棋又会下围棋．现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？第3类，从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2＝4种选法；第4类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比赛，有2×1＝2种选法．故不同的选法共有6＋6＋4＋2＝18种．两个计数原理的选择与应用例1在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另外2名既会下象棋又会下围棋．现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？方法总结：在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即解题时经常是两个计数原理交叉使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．分类时，每类的方法数可能要分步完成；分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想解决．另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定．两个计数原理的选择与应用例2已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列，求数列{an}的通项公式．解析：解法一：分两类．第一类：当A，B中有一个为0时，方程表示直线x＝0或y＝0，共2条不同的直线．思路点拨：以A，B中是否有数字0为标准进行分类计数，或利用排除法求解．第二类：当A，B都不为0时，确定直线Ax＋By＝0需要分两步完成．第一步，确定A的值，有4种不同的方法．第二步，确定B的值，有3种不同的方法．两个计数原理的选择与应用例2已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列，求数列{an}的通项公式．所以该方程所表示的不同直线共有2＋4×3＝14条．解法二（间接法）：分两步．思路点拨：以A，B中是否有数字0为标准进行分类计数，或利用排除法求解．第一步：确定A的值，有5种不同的方法．第二步：确定B的值，有4种不同的方法．根据分步乘法计数原理，可以确定5×4＝20条直线．两个计数原理的选择与应用例2已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列，求数列{an}的通项公式．在这20条直线中，当A＝0，B＝1，2，3，5时，表示同一直线y＝0；思路点拨：以A，B中是否有数字0为标准进行分类计数，或利用排除法求解．当B＝0，A＝1，2，3，5时，表示同一直线x＝0，即有6条直线是重复计数的．故该方程所表示的不同直线有20－6＝14条．两个计数原理的选择与应用例2已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列，求数列{an}的通项公式．名