【教学课件】环节一 对数的概念

对数环节一对数的概念回顾4.1节的内容，你能梳理出我们研究“指数”的基本路径吗？整体概览问题1答案：在4.1节中，我们先完善指数幂运算的定义，再研究指数幂运算性质，最后应用概念和性质解决问题．补充：任何一个数学概念的产生都是由大量的现实背景催生的，一般地，要研究一个数学对象，除了以上大家概括出的内容，还需要添加从现实问题中抽象研究对象这一环节．在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？整体感知答案：这个问题实际上就是从2＝1.11x，3＝1.11x，4＝1.11x，…，中分别求出x，即已知底数和幂的值求指数．这是解一个关于x的一元方程，本节课要学的就是怎么表达这个方程的解，即对数．问题2引入新课（1）关于x的方程2＝1.11x，3＝1.11x，4＝1.11x有解吗？为什么？答案：（1）上述问题用函数的观点阐述就是：当函数值为2，3，4时，是否有自变量与之对应．结合指数函数y＝1.11x的图象，在直角坐标系中画出直线y＝2，y＝3，y＝4，这类直线与y＝1.11x的图象存在唯一交点，交点的横坐标就是原方程的解．问题3新知探究答案：（2）在加法运算a＋x＝y中为了求解x，定义了减法y－a＝x，因此加法和减法互为逆运算；在乘法运算a×x＝y中为了求解x，定义了除法y÷a＝x，因此乘法和除法互为逆运算；在乘方运算xa＝y中为了求解x，定义了开方

＝x，因此乘方和开方互为逆运算．现在问题的本质是我们想从ax＝y中求解x，因此也需要定义一种新的运算．（2）回顾减法、除法、开方的概念是如何引入的？类似的，我们有什么办法表示2＝1.11x，3＝1.11x，4＝1.11x中的x吗？问题3新知探究一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．例如，由于2＝1.11x，所以x就是以1.11为底2的对数，记作x＝log1.112；再如，由于42＝16，所以以4为底16的对数是2，记作log416＝2．类似地，3＝1.11x，4＝1.11x，…中的x可以分别记作x＝log1.113，x＝log1.114，…．问题3结论：新知探究

问题3新知探究18世纪，瑞士数学家欧拉首先使用y＝ax来定义x＝logay．他指出“对数源出于指数”．结合对数的定义，你是如何理解这句话的？由此可以得到对数的哪些性质？追问1

根据对数的定义，可以得到对数与指数间怎样的关系？问题4新知探究答案：对数是通过指数幂的形式定义出来的，由此可以看出，对数运算是由指数幂运算衍生出来的．当a＞0且a≠1，．．两者在形式上有所不同，其中字母x，a，N都各自有确切的含义，且名称也有差别，如下表．因此，指数与对数互为逆运算．

表达式字母名称xaN指数式ax=N指数底数幂对数式x=logaN对数底数真数问题4新知探究追问2明确了对数与指数的关系后，结合当a＞0，且a≠1时，指数式ax＝N中的N取值范围为(0，＋∞)，以及a0＝1，a1＝a，你能得到对数的什么性质？答案：（1）当a＞0，且a≠1时，

，根据指数式ax＝N中的N取值范围为(0，＋∞)，可知负数和0没有对数，即对数式x＝logaN中的N只能是正实数．（2）当a＞0，且a≠1时，

．利用这个关系：由a0＝1，可得loga1＝0；由a1＝a，可得logaa＝1．问题4新知探究阅读教科书122页“对数的概念”，说说什么是常用对数和自然对数？它们如何表示？答案：以10为底数的对数称为常用对数（commonlogarithm），并把log10N记为lgN．以无理数e＝2.71828…为底的对数称为自然对数（naturallogarithm），并把logeN记为lnN．问题5追问：转化的依据是什么？知识应用把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）54＝625；（2）；（3）

；（4）；（5）lg0.01＝－2；（6）ln10＝2.303．转化的依据就是对数的定义．例1知识应用解：（1）log5625＝4；（2）

；（3）；（4）；（5）10－2＝0.01；（6）e2.303＝10．把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）54＝625；（2）；（3）

；（4）；（5）lg0.01＝－2；（6）ln10＝2.303．例1知识应用求下列各式中x的值．（3）lg100＝x；（4）－lne2＝x．（2）因为logx8＝6，所以x6＝8．（1）

；（2）logx8＝6；解：（1）因为

，所以

．又a＞0，所以

例2知识应用（4）因为－lne2＝x，所以lne2＝－x，e－x＝e2，x＝－2．解：（3）因为lg100＝x，所以10x＝100＝102，于是x＝2．求下列各式中x的值．（3）lg100＝x；（4）－lne2＝x．（1）

；（2）logx8