2022七年级数学下册第七章平面直角坐标系7.2坐标方法的简单应用7.2.2用坐标表示平移教案新版新人教版

7.2.2用坐标表示平移掌握点的坐标变化与点的左右或上下平移间的关系,掌握图形各个点的坐标变化与图形平移的关系并解决与平移有关的问题.经历探索点坐标变化与点平移的关系,图形各个点坐标变化与图形平移的关系的过程,发展学生的形象思维能力和数形结合意识.使学生学会主动寻求解决问题的途径,积极探索,树立学好数学的信心.【重点】掌握坐标变化与图形平移的关系.【难点】平面直角坐标系中,点的平移与图形的平移的关系.【教师准备】教材两个探究和例题相关的投影图片.【学生准备】复习用坐标表示位置的相关知识.导入一:根据下图回答问题:(1)如果以图中的假山为原点建立直角坐标系,其他的各点坐标是什么?(2)如果以图中的喷泉为原点建立直角坐标系,其他的各点坐标是什么?(3)以马戏团的坐标变化为例,说明相当于这个坐标点怎样移动?[设计意图]前两个问题的设置,既复习了上一节课的相关知识,也为学习新的知识做了很好的铺垫.第(3)问是直接提出本节课学习的内容,作为学生学习的一个疑问点.导入二:如图所示,下列网格中,每个小正方形的边长都是1,图中“鱼”的各个顶点都在格点上.(1)把“鱼”向右平移5个单位长度,并画出平移后的图形.(2)写出A,B,C三点平移后的对应点A',B',C'的坐标.你能画出平移后的图形和写出平移后对应点的坐标吗?[设计意图]直接提出与本课时学习相关的问题,让学生明确本课时学习的核心问题.[过渡语]在平面直角坐标系中,对一个图形进行平移,图形上点的位置发生了变化,坐标会跟着怎样变化呢?1.探究1点的平移如图,将点A(-2,-3)向右平移5个单位长度,得到点A1,在图上标出这个点,并写出它的坐标.观察坐标的变化,你能从中发现什么规律吗?把点A向上平移4个单位长度呢?把点A向左或向下平移呢?再找几个点,对它们进行平移,观察它们坐标是否按你发现的规律变化.问题思考:(1)点A到点A1,纵坐标和横坐标哪个发生了变化?是怎样变化的?提示:将点A(-2,-3)向右平移5个单位长度,得到点A1的坐标是(3,-3),观察点A与A1的坐标变化发现:横坐标增大了5,纵坐标不变.(2)把点A向上平移4个单位长度得到点A2,纵坐标和横坐标哪个发生了变化?是怎样变化的?提示:把点A向上平移4个单位长度,得到点A2的坐标为(-2,1),观察点A与A2的坐标变化发现:横坐标不变,纵坐标增大了4.(3)如果把点A向左或向下平移n(n>0)个单位长度,坐标会发生怎样的变化?提示:点A向左平移n(n>0)个单位长度时,横坐标减少n,纵坐标不变,向下平移n(n>0)个单位长度时,横坐标不变,纵坐标减少n.(4)根据上述过程,你能总结出点的平移变化规律吗?一般地,在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a(a>0)个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y));将点(x,y)向上(或下)平移b(b>0)个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b)).【处理方式】教师利用投影出示问题,学生观察、思考并进行小组讨论,尝试解决问题.这一过程中教师应当让学生反复尝试,通过反复尝试去发现点的平移规律.可指导学生将平移前点的坐标写成一列,再将平移后点的坐标写成一列,对应写成两列,然后再去观察点的平移的规律.[设计意图]通过反复尝试,自主探究,让学生自己去发现规律,培养学生的观察能力、联想能力.[知识拓展]点的平移规律:(1)将点左右平移纵坐标不变,上下平移横坐标不变;(2)将点向右或向上平移几个单位长度,横坐标或纵坐标就相应地增加几个单位长度;将点向左或向下平移几个单位长度,横坐标或纵坐标就相应地减少几个单位长度.如图所示,将点A(-1,-1)的横坐标减去2,纵坐标减去1,变为A'(-3,-2),即将点A(-1,-1)先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度就得到A'(-3,-2),将点A(-1,-1)的横坐标加上3,纵坐标加上2,就变为A″(2,1),即将点A(-1,-1)先向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度就得到A″(2,1).2.探究2图形的平移[过渡语]刚才我们研究的是点的平移规律,在直角坐标系中平移图形的时候,相应的坐标是怎样变化的呢?思路一如图所示,正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(-2,4),B(-2,3),C(-1,3),D(-1,4),将正方形ABCD向下平移7个单位长度,再向右平移8个单位长度,两次平移后四个顶点相应变为点E,F,G,H.(1)第一次平移后,正方形ABCD的四个顶点坐标分别是什么?提示:A'(-2,-3),B'(-2,-4),C'(-1,-4),D'(-1,-3).(2)第二次平移后,正方形的四个相应顶点E,F,G,H的坐标分别是什么?提示:E(6,-3),F(6,-4),G(7,-4),H(7,-3).(3)如果直接平移正方形ABCD,使点A移到点E,它和我们前面得到的正方形位置相同吗?提示:如果直接平移正方形ABCD,使点A移到点E,它和我们前面得到的正方形位置相同.总结:一般地,将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形,可以通过将原来的图形作一次平移得到.对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.思路二出示教材第76页探究的内容.出示探究问题.(1)第一次平移后,正方形ABCD的四个顶点坐标分别是什么?(2)第二次平移后,正方形的四个相应顶点E,F,G,H的坐标分别是什么?(3)如果直接平移正方形ABCD,使点A移到点E,它和我们前面得到的正方形位置相同吗?(4)根据图形点的变化,你能知道图形是怎么平移的吗?活动方式:全班同学分为两组,第一组用操作的办法写出平移后的对应点,第二组根据对平移的理解直接写出相应点的坐标,然后把两组同学得出的相应点的坐标进行比较.提示:第1问对应点的坐标:(-2,-3),(-2,-4),(-1,-4),(-1,-3);第2问对应点的坐标(6,-3),(6,-4),(7,-4),(7,-3);第3问与思路一第3问相同;第4问,对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.[设计意图]在平面直角坐标系中,图形的位置变化与坐标的变化规律:(1)纵坐标保持不变,横坐标分别加k,当k>0时,原图形形状、大小不变,向右平移k个单位长度,当k<0时,原图形形状、大小不变,向左平移|k|个单位长度;(2)横坐标保持不变,纵坐标分别加k,当k>0时,原图形形状、大小不变,向上平移k个单位长度,当k<0时,原图形形状、大小不变,向下平移|k|个单位长度.3.图形平移的应用如图(1),三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4,3),B(3,1),C(1,2).(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6,纵坐标不变,分别得到点A1,B1,C1的坐标,顺次连接A1,B1,C1,所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系?处理方式:①先让学生计算出A1,B1,C1三点的坐标;②让学生动手操作把这个图形向左平移6个单位长度,写出平移后的A1,B1,C1三点的坐标;③比较前面两种方式得出的坐标有什么特点.④比较三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系.(2)将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5,横坐标不变,分别得到点A2,B2,C2的坐标,顺次连接A2,B2,C2,所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系?处理方式:①先让学生计算出A2,B2,C2三点的坐标;②让学生动手操作把这个图形向下平移5个单位长度,写出平移后的A2,B2,C2三点的坐标;③比较前面两种方式得出的坐标有什么特点.④比较三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系.小结:如图(2),所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同,三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到.类似地,三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同,它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到.追问:1.如果将这个问题中的“横坐标都减去6”“纵坐标都减去5”相应地变为“横坐标都加3”“纵坐标都加2”,分别能得出什么结论?2.如果将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6,同时纵坐标都减去5,能得到什么结论?处理方式:学生动手操作,可以两步平移或直接一步平移;提示学生反向思考坐标点的变化与图形平移的关系.提示:问题1.如果将这个问题中的“横坐标都减去6”“纵坐标都减去5”相应地变为“横坐标都加3”“纵坐标都加2”,分别能得出什么结论?画出得到的图形.问题2.如果将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6,同时纵坐标都减去5,能得到什么结论?画出得到的图形.归纳:一般地,在平面直角坐标系内,如果把一个图形各点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度,如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.1.平移规律,若a>0,(x,y)(x+a,y);(x,y)(x,y+a)2.一般地,将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形,可以通过将原来的图形作一次平移得到.3.对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.4.图形的平移实质就是点的平移.1.点A(1,2)向右平移2个单位长度得到对应点A',则点A'的坐标是 ()A.(1,4) B.(1,0)C.(-1,2) D.(3,2)解析:由点A的平移规律可知,此题规律是(x+2,y),照此规律计算可知点A'的坐标是(3,2).故选D.2.下列说法正确的是 ()A.一个图形平移后,它各点的横、纵坐标都发生变化B.一个图形平移后,它的大小发生变化,形状不变C.把一个图形沿y轴平移若干个单位长度后,与原图形相比各点的横坐标没有发生变化D.图形平移后,一些点的坐标可以不发生变化解析:利用平移的性质逐一判断后即可得到结论.A.一个图形平移后有时候横坐标不变,有时候纵坐标不变,也有可能横、纵坐标都改变,故错误;B.一个图形平移后其大小形状均不变,故错误;C.正确;D.图形平移后,一些点的坐标必然会发生变化.故选C.3.(2014·呼和浩特)已知线段CD是由线段AB平移得到的,点A(-1,4)的对应点为C(4,7),则点B(-4,-1)的对应点D的坐标为 ()A.(1,2) B.(2,9)C.(5,3) D.(-9,-4)解析:本题考查了坐标与图形变化——平移,平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.因为点A(-1,4)的对应点为C(4,7),所以平移规律为向右平移5个单位长度,向上平移3个单位长度,因为点B(-4,-1),所以点D的坐标为(1,2).故选A.4.如图所示,右边的图案是左边的图案经过平移变换得到的.左边图案中的左、右眼睛,嘴角左、右端点的坐标分别是(-4,3),(-2,3),(-4,1),(-2,1),右边图案中右眼的坐标是(4,3).(1)右边图案中左眼及左、右嘴角端点的坐标分别是多少?(2)如果要把左边图形的右眼的坐标变为(5,-5),需要把左边的图案作怎样的平移变换?此时另外三点的坐标又分别是多少?解:(1)左眼(2,3),嘴角左端点(2,1),嘴角右端点(4,1).(2)向右平移7个单位长度,然后向下平移8个单位长度,其他三点依次为左眼(3,-5),嘴角左端点(3,-7),嘴角右端点(5,-7).7.2.2用坐标表示平移探究1点的平移点的平移规律探究2图形的平移例题图形平移规律一、教材作业【必做题】教材78页练习.【选做题】教材78页习题7.2第8题.二、课后作业【基础巩固】1.在直角坐标系中,将某一个图形向左平移4个单位长度,则下列说法正确的是 ()A.图形上所有点的横坐标不变,纵坐标减少4B.图形上所有点的横坐标不变,纵坐标增加4C.图形上所有点的纵坐标不变,横坐标减少4D.图形上所有点的纵坐标不变,横坐标增加42.若使三角形ABC各顶点在直角坐标系中的纵坐标保持不变,横坐标比原来都小5,则此三角形 ()A.向上平移5个单位长度B.向左平移5个单位长度C.向下平移5个单位长度D.向右平移5个单位长度3.(2014·宜宾中考)在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点C的坐标是.

4.已知平面直角坐标系中有一点A(2,1),若将点A向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度得到点A1,则点A1的坐标是.

5.如图所示,在三角形ABC中,三个顶点的坐标分别为A(-5,0),B(4,0),C(2,5),将三角形ABC沿x轴正方向平移2个单位长度,再沿y轴沿负方向平移1个单位长度得到三角形EFG.求三角形EFG的三个顶点坐标.【能力提升】6.如图所示,点A,B的坐标分别为(2,0),(0,1),若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为 ()A.2 B.3 C.4 D.57.在如图所示的平面直角坐标系内,画在透明胶片上的平行四边形ABCD,点A的坐标是(0,2).现将这张胶片平移,使点A落在点A'(5,-1)处,则此平移可以是 ()A.先向右平移5个单位长度,再向下平移1个单位长度B.先向右平移5个单位长度,再向下平移3个单位长度C.先向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度D.先向右平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度8.平面直角坐标系中一三角形ABC三个顶点的坐标保持横坐标不变,纵坐标都减去2,则得到的新三角形与原三角形相比向平移了个单位长度.

9.将点P(-3,y)向下平移3个单位长度,向左平移2个单位长度后得到点Q(x,-1),则xy=.

10.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3).(1)求出三角形ABC的面积;(2)在图中画出三角形ABC向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度得到的三角形A1B1C1;(3)写出点A1,B1,C1的坐标.【拓展探究】11.如图所示,2015年某日,青岛市海事局海上救护中心收到一艘遇难船只的求救信号,发现该船位于某海域的点A(4,-3)处,且正以缓慢的速度向北漂移,而此时救护中心有两艘救护船分别位于该海域的点B(4,2)和点C(-1,-3)处,如果两艘救护船的速度相同,那么救护中心应派哪艘船前去救护可以在最短的时间内靠近遇难船?12.平面直角坐标系中,三角形ABC各顶点的坐标是A(6,8),B(-2,0),C(-5,-3),三角形DEF各顶点的坐标是D(0,3),E(8,11),F(-3,0),请仔细观察这两个三角形各顶点的坐标关系,判断三角形DEF是不是由三角形ABC平移得到的,如果是,是怎么样平移的?如果不是,请说明理由.【答案与解析】1.C(解析:在直角坐标系中,要将图形向左平移4个单位长度时,只需将图形上的每一个点的横坐标减4,纵坐标不变即可.故选C.)2.B(解析:要使三角形ABC在直角坐标系中的纵坐标保持不变,横坐标比原来小5,则三角形ABC向左平移5个单位长度.故选B.)3.(2,-2)(解析:点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到的点B的坐标为(-1+3,2),即(2,2),则点B关于x轴的对称点C的坐标是(2,-2),故答案为(2,-2).)4.(-2,-1)(解析:原来点A的横坐标是2,纵坐标是1,向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度得到新点的横坐标是2-4=-2,纵坐标为1-2=-1,则点A1的坐标是(-2,-1).)5.解:E(-3,-1),F(6,-1),G(4,4).6.A(解析:由B点平移前后的纵坐标分别为1,2,可得B点向上平移了1个单位长度,由A点平移前后的横坐标分别是为2,3,可得A点向右平移了1个单位长度,由此得线段AB的平移的过程是:向上平移1个单位长度,再向右平移1个单位长度,所以点A,B均按此规律平移,由此可得a=0+1=1,b=0+1=1,故a+b=2.故选A.)7.B(解析:点A(0,2)平移到点A'(5,-1),显然是向右平移5个单位长度,向下平移3个单位长度,平移结果与先后次序无关,所以B选项正确.)8.下2(解析:因为纵坐标减小,所以是向下平移,因为纵坐标都减去2,所以得到的新三角形与原三角形相比向下平移了2个单位长度.)9.-10(解析:此题规律是将(a,b)平移到(a-2,b-3),照此规律计算可知-3-2=x,y-3=-1,所以x=-5,y=2,则xy=-10.)10.解:(1)S△ABC=12×5×3=152(平方单位).(2)如图所示.(3)A1(3,3),B1(3,-2),C111.解:由A,B,C处三艘船的坐标可知,AB=2-(-3)=5,AC=4-(-1)=5.B,C两处救护船与A处遇难船的距离都是5个单位长度,但由于A处的遇难船只在缓慢向北漂移,所以派B处的救护船前去救护可以更快地靠近遇难船只.12.解:分别观察三角形ABC各顶点坐标与三角形DEF各顶点坐标,寻找相同的变化关系.对于点A和D,B和E,C和F来说,把点A向左平移6个单位长度,再向下平移5个单位长度,可以得到点D,但把点B,C进行同样的平移不能得到点E,F.此时注意不要仅凭这一点就否定两个三角形不能相互平移而得到.考虑点A和点E的关系,可以发现,把三角形ABC向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后,对应三个顶点的坐标分别是(8,11),(0,3),(-3,0),恰好是三角形EDF三个顶点的坐标,因此,把三角形ABC向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后,可得到三角形DEF.本课时的教学设计紧紧围绕学生的认知规律展开,从点的坐标变化到图形的坐标变化,这是遵循由特殊到一般的认识过程.从坐标点的变化感知图形平移的变化,这是遵循了由特殊到一般的认识过程.本课时的知识结论不是直接交代给学生的,而是学生通过操作、思考、交流的过程得来的.这就加深了学生对知识的理解和掌握程度.受学习内容和操作条件的限制,学生的操作更多是一种模拟的操作,在一定程度上降低了操作的实效性.对图形的平移实质没有特别的总结强调,会对学生今后继续学习产生一定的影响.本课时的两个探究活动,部分可以交给学生独立去完成.如教材75页的探究问题,在做出示范之后,教材例题的第2问也可以交给学生独立去完成.练习(教材第78页)解:如图所示.A'(-3,1),B'(1,1),C'(2,4),D'(-2,4).习题7.2(教材第78页)1.解:P(-1,1),Q(-3,1),R(-1,-1).P'(4,3),Q'(2,3),R'(4,1).3.解:向左平移2个单位长度后坐标变为A'(-5,2),B'(-5,-2),C'(1,-2),D'(1,2).向上平移3个单位长度后坐标变为A″(-3,5),B″(-3,1),C″(3,1),D″(3,5).如图所示.4.C[提示:将三点的横坐标都加2,纵坐标都加3,得(-2,2),(3,4),(1,7).]5.提示:以国旗杆为坐标原点,则教学楼(3,0),图书馆(2,3),校门(-3,0),实验楼(3,-3),国旗杆(0,0).另外也可以以其他设施为坐标原点,答案不唯一.6.解:2班在1班的南偏西40°方向,距1班5km处;1班在2班的北偏东40°方向,距2班5km处.7.解:A→B(向右平移2个单位长度,向上平移1个单位长度).B→C(向右平移3个单位长度).C→D(向右平移2个单位长度,向下平移1个单位长度).8.解:因为P(x0,y0)平移后的对应点为P1(x0+5,y0+3),说明平移方法是先向右平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度.故A(-2,3)→A1(3,6),B(-4,-1)→B1(1,2),C(2,0)→C1(7,3).9.解:如图所示,过A,B分别作x轴,y轴的平行线,分别交y轴、x轴于C,E.CA与EB交于点D,则四边形COED为长方形.因为A,B的坐标分别为(2,4),(6,2),所以C(0,4),E(6,0),D(6,4),所以S三角形AOB=S长方形COED-S三角形ACO-S三角形ADB-S三角形OBE=4×6-12×4×2-12×4×2-110.解:A'(2,0),B'(5,0),C'(5,-2),D'(2,-2).11.解.A的坐标为(2,3),C的坐标为(2,-3),点A与点C关于x轴对称,三角形AOB与三角形COB关于x轴对称,所以点M(x,y)与点N关于x轴对称,所以点N的坐标为(x,-y).12.解:因为猴山与狮虎山的坐标分别为(2,1),(8,2),过猴山作东西方向线(水平线),过狮虎山作东西方向线的垂线(铅垂线),所以狮虎山到水平线的距离为1个单位长度,将猴山位置左移2个单位长度、下移1个单位长度即为坐标原点,建立坐标系.因为熊猫馆的坐标为(6,6),所以描出此点即可,如图所示.复习题7(教材第84页)1.解:如下表:横坐标纵坐标所在象限A(2,3)23一B(-2,3)-23二C(-2,-3)-2-3三D(2,-3)2-3四2.解:八边形的各顶点坐标依次为(2,4),(-2,4),(-4,2),(-4,-2),(-2,-4),(2,-4),(4,-2),(4,2).3.解:如图所示,像风车.4.解:(1)书店的坐标为(100,300),邮局的坐标为(-300,-100).(2)糖果店、公交车站、电影院、消防站、宠物店、姥姥家.(3)得到一个箭头.5.解:(1)蓝色图形向左平移3个单位长度,再向下平移6个单位长度得到红色图形,平移前的各点的横坐标都减去3,纵坐标都减去6,就得到平移后各对应点的坐标.(2)蓝色图形向右平移6个单位长度,再向上平移8个单位长度得到红色图形,平移前各点的横坐标都加上6,纵坐标都加上8,就得到平移后各对应点的坐标.6.解:(1)是在一条直线上,这条直线与x轴平行.(2)是在一条直线上,这条直线与x轴垂直.7.解:(1