【教学课件】环节三 正弦函数、余弦函数的性质（二）

三角函数的图象与性质环节三正弦函数、余弦函数的性质（二）确定方案问题1

对于函数，我们一般要研究哪些性质？如何研究？上节课我们已经研究了正、余弦函数的周期性和奇偶性，那么，对它们其他的性质又该如何研究？答案：对于函数，我们一般要研究奇偶性、单调性、最大（小）值等．研究函数性质一般有两种方法：一种方法是先通过观察图象得到性质，然后再进行代数证明；另一种是直接由解析式推导函数的性质．上节课已经研究了正、余弦函数的周期性，由此，可以先研究它们一个周期上的性质，再利用周期性，将性质扩展到整个定义域．新知探究1．探究性质问题2

观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格．正弦函数余弦函数定义域

周期

奇偶性

对称轴

对称中心

单调递增区间

单调递减区间

最大值点

最小值点

值域

1．探究性质追问1正弦函数y＝sinx是奇函数，所以点（0，0）是它的对称中心．除此之外，它还有哪些对称中心、对称轴？请写出它所有的对称中心和对称轴．请选择一个对称中心和一条对称轴，试着利用代数方法进行证明．余弦函数呢？新知探究答案：

点(kπ，0)，k∈Z是正弦函数y＝sinx的对称中心；直线x＝

+kπ，k∈Z是正弦函数y＝sinx的对称轴．下面证明点（π，0）也是正弦函数y＝sinx的对称中心．证明：因为对任意的x∈R，都有sin(π+x)=－sinx，sin(π－x)=sinx，所以sin(π+x)=－sin(π－x)，所以点（π，0）也是正弦函数y＝sinx的对称中心．1．探究性质新知探究下面证明直线x＝

是正弦函数y＝sinx的对称轴．证明：因为对任意的x∈R，都有sin(

+x)=cosx，sin(

－x)=cosx，所以sin(

+x)=sin(

－x)，所以直线x＝

是正弦函数y＝sinx的对称轴．1．探究性质新知探究

追问2观察正弦曲线，逐一列举正弦函数y=sinx的单调递增区间，它们与区间[－

，

]之间有怎样的关系？试着表示正弦函数所有的单调递增区间．类比这一过程，你能分别写出正弦函数的所有单调递减区间以及余弦函数的单调性吗？答案：单调递增区间与区间[－

，]之间间隔2π的整数倍，所以正弦函数在每一个闭区间[－

+2kπ，

+2kπ]（k∈Z）上都单调递增．同理，正弦函数在每一个闭区间[

+2kπ，+2kπ]（k∈Z）上都单调递减．余弦函数在每一个闭区间[(2k－1)π，2kπ]（k∈Z）上单调递增；在每一个闭区间[2kπ，(2k+1)π]（k∈Z）上单调递减．1．探究性质新知探究

追问3教科书分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？答案：正弦函数选择的区间为[－

，

]，原因主要有两个：①这个区间上是完整的一个单调递增区间和一个单调递减区间．如果选择区间[0，2π]，那么单调递增区间将被分为两部分，不利于表示和研究．②具备条件①的区间中，这个区间距离原点最近，我们相对更熟悉．余弦函数选择的区间为[－π，π]，理由同上．1．探究性质新知探究鉴于以上的分析，正弦函数、余弦函数的性质概括如下：正弦函数余弦函数定义域RR周期2π2π奇偶性奇函数偶函数对称轴x＝+kπ，k∈Zx＝kπ，k∈Z对称中心(kπ，0)，k∈Z(+kπ，0)，k∈Z单调递增区间[－+2kπ，+2kπ]，k∈Z[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z单调递减区间[+2kπ，+2kπ]，k∈Z[2kπ，(2k+1)π]，k∈Z最大值点x＝+2kπ，k∈Zx＝2kπ，k∈Z最小值点x＝－+2kπ，k∈Zx＝(2k－1)π，k∈Z值域[－1，1][－1，1]2．应用性质新知探究

例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．（1）y＝cosx+1，x∈R；（2）y＝－3sin2x，x∈R．

追问如何转化为你熟悉的函数求解？

答案：通过换元法将问题转化为y＝cosx或者y＝sinx的性质问题．2．应用性质新知探究

使函数y＝cosx+1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最小值的x的集合｛x｜x＝2kπ+π，k∈Z｝；函数y＝cosx+1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．

解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．

（1）使函数y＝cosx+1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝；2．应用性质新知探究（2）令z＝2x，使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合，就是使y＝sinz，z∈R取得最小值的z的集合｛z｜z＝－

+2kπ，k∈Z｝．由2x＝z＝－

+2kπ，得x＝－

+kπ．所以，y＝－3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝－

+kπ，k∈Z｝．同理，使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最小值的x的集合是｛x｜x＝

+kπ，k∈Z｝．函数y＝－3sin2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3．2．应用性质新知探究例2不通过求值，比较下列各数的大小：（1）sin（－

）与sin（－

）；（2）cos（－

）与cos（－

）．追问比较大小的依据是什么？答案：比较大小的依据是函数的单调性．对于（1），可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解．2．应用性质新知探究解：（1）因为－

＜－

＜－

＜0，正弦函数y＝sinx在区间[－

，0]上单调递增，所以sin（－

）<sin（－

）．

（2）cos（－

）=cos

=cos

，

cos（－

）=cos

=cos

，

且余弦函数在区间［0，π］上单调递减，所以cos

＞cos

，即cos（－

）cos（－

）．你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试．新知探究2．应用性质追问如何转化为熟悉的函数求解？答案：通过换元将问题转化为y＝cosx或者y＝sinx的单调性问题，然后求解．例3求函数

的单调递增区间．解：令

，则

．

因为

的单调递增区间是

，且由

得

，所以，函数

的单调递增区间是

．新知探究2．应用性质变式：求函数

的单调递增区间．解：令

，则

．

因为

的单调递增区间是

，且由

，得

，

所以，函数

的单调递增区间是

．归纳小结问题3

回顾本节的学习内容，回答下面的问题：（1）你对正弦函数、余弦函数有了哪些新的认识？对于如何研究一个函数又有了哪些新的体会？（2）你