【疑难突破】等比数列前n项和的性质及其应用

等比数列前n项和的性质及其应用等比数列前n项和的性质及其应用讲解根据等比数列的定义和前n项和公式，可推导出等比数列前n项和的若干性质．在等比数列前n项和的有关问题中，把握好等比数列前n项和性质的使用条件，恰当运用性质能帮助我们简化运算，快速解题．等比数列前n项和的性质及其应用例1已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于（）A．80

B．30

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D．16解析：解法一：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，思路点拨：思路一：由Sn，S3n的值，求出a1，q—→求出S4n．∵S3n＝14≠3×2＝3Sn，∴q≠1．由已知得，

①，，得q2n＋qn－6＝0，即（qn＋3）（qn－2）＝0，等比数列前n项和的性质及其应用例1已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于（）A．80

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D．16由于数列{an}各项均为正数，思路点拨：思路一：由Sn，S3n的值，求出a1，q—→求出S4n．∴qn＋3＞0，∴qn－2＝0，即q＝

．＝2×15＝30．B等比数列前n项和的性质及其应用例1已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于（）A．80

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D．16解析：解法二：设等比数列|an|的首项为a1，公比为q，思路点拨：思路二：令n＝1，由S1＝2，S3＝14，求出q—→求出S4n．注意到四个选项都是具体的数值．∴S4n是一个与n无关的定值，不妨令n＝1，B由解法一知，q≠1，则a1＝S1＝2，S3＝

＝14，等比数列前n项和的性质及其应用例1已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于（）A．80

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D．16即q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3．思路点拨：思路二：令n＝1，由S1＝2，S3＝14，求出q—→求出S4n．∵an＞0，∴q＝2，B∴S4＝

＝2×15＝30．等比数列前n项和的性质及其应用例1已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于（）A．80

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D．16解析：解法三：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由解法一知，q≠1，则B思路点拨：思路三：由Sn＝

，推出Sn，S3n与S4n的关系—→求出S4n．等比数列前n项和的性质及其应用例1已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于（）A．80

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D．16这个式子表示了S4n，Sn，S3n之间的关系，要求S4n，只需求出qn即可．B思路点拨：思路三：由Sn＝

，推出Sn，S3n与S4n的关系—→求出S4n．由于S3n＝（a1＋a2＋…＋an）＋（an＋1＋an＋2＋…＋a2n）＋（a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n）＝Sn＋qnSn＋q2nSn＝Sn（1＋qn＋q2n），∴

＝1＋qn＋q2n＝7，等比数列前n项和的性质及其应用例1已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于（）A．80

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D．16∴q2n＋qn－6＝0，解得qn＝2或qn＝－3．∵an＞0，B思路点拨：思路三：由Sn＝

，推出Sn，S3n与S4n的关系—→求出S4n．∴qn＝2，∴S4n＝Sn＋qnS3n＝2＋2×14＝30．等比数列前n项和的性质及其应用例1已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于（）A．80

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D．16解析：解法四：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…成等比数列，思路点拨：思路四：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列—→求出S4n．且Sn＝2，S3n＝14，得（S2n－2）2＝2×（14－S2n），即

－2S2n－24＝0，解得S2n＝6或S2n＝－4，∵an＞0，∴S2n＝6．B等比数列前n项和的性质及其应用例1已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于（）A．80

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D．16思路点拨：思路四：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列—→求出S4n．∴S4n－S3n＝Sn·23＝16，∴S4n＝S3n＋16＝30．又∵

B等比数列前n项和的性质及其应用例1已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝