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文档简介
人教数学第三章函数及其图象人教数第三章函数及其图象第12讲反比例函数及其图象第12讲反比例函数及其图象要点梳理
1.概念:函数
叫做反比例函数.2.图象:反比例函数的图象是双曲线,不与两坐标轴相交的两条双曲线.要点梳理1.概念:函数要点梳理
3.性质(1)当k>0时,其图象位于
,在每个象限内,y随x的增大而
;(2)当k<0时,其图象位于
,在每个象限内,y随x的增大而
;(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形,又是轴对称图形.第一、三象限减小第二、四象限增大要点梳理3.性质第一、三象限减小第二、四象限增大要点梳理
4.应用:如图,点A和点C是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上任意两点,画AB⊥x轴于点B,CD⊥y轴于点D,则有S△AOB=S△COD=|k|2;注意根据图象所在象限来确定k的符号.
要点梳理4.应用:如图,点A和点C是反比例函数y=kx(k一个模型反比例函数关系在生产、生活、科技等方面广泛应用,解决这类问题的关键是将实际问题数学化,建立反比例函数的模型,然后利用反比例函数的性质、图象解决问题.注意:反比例函数的图象反映的变化规律明显,常利用它的图象找出解决问题的方案.一个模型一个思想数形结合思想就是把图形与数量关系巧妙、和谐地结合起来,使数学问题更直观、更容易解决.这一思想在这一讲中应用非常广泛.例如借助函数的图象比较大小等.一个思想两个防范(1)反比例函数中,y随x的大小而变化的情况,应分x>0与x<0两种情况讨论,而不能笼统地说成“k<0时,y随x的增大而增大”.双曲线上的点在每个象限内,y随x的变化是一致的,但在不同象限内的两个点比较函数值的大小时,当k>0时,第一象限内的点的纵坐标都为正,而第三象限内的点的纵坐标值都为负;当k<0时,第二象限内的点的纵坐标值都为正,而第四象限内的点的纵坐标值都为负.两个防范(2)在比较大小时,不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支组成的(分别在不同的两个象限),在不同的象限是不能用它的性质来判断的,而是要分别讨论.运用反比例函数的性质时,要注意在每一个象限内的要求.
(2)在比较大小时,不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支1.(2014·株洲)已知反比例函数y=kx的图象经过点(2,3),那么下列四个点中,也在这个函数图象上的是(
)
A.(-6,1)
B.(1,6)
C.(2,-3)
D.(3,-2)
B
1.(2014·株洲)已知反比例函数y=kx的图象经过点(22.(2014·宁夏)已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在函数
y=5x的图象上,当x1>x2>0时,下列结论正确的是
(
)
A.0<y1<y2
B.0<y2<y1
C.y1<y2<0
D.y2<y1<0
A
2.(2014·宁夏)已知两点P1(x1,y1),P2(x23.(2014·随州)关于反比例函数y=2x的图象,下列说法正确的是(
)
A.图象经过点(1,1)
B.两个分支分布在第二、四象限
C.两个分支关于x轴成轴对称
D.当x<0时,y随x的增大而减小
D
3.(2014·随州)关于反比例函数y=2x的图象,下列说法4.(2014·怀化)已知一次函数y=kx+b的图象如图,那么正比例函数y=kx和反比例函数y=bx在同一坐标系中的图象大致是(
)
C
4.(2014·怀化)已知一次函数y=kx+b的图象如图,那5.(2014·聊城)如图,一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=k2x的图象交于A(1,2),B(-2,-1)两点,若y1<y2,则x的取值范围是(
)
A.x<1
B.x<-2
C.-2<x<0或x>1
D.x<-2或0<x<1
D
5.(2014·聊城)如图,一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数图象的确定【例1】
已知图中的曲线是反比例函数y=m-5x(m为常数)图象的一支.
(1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限?常数m的取值范围是什么?
解:这个反比例函数图象的另一支在第三象限,∵m-5>0,∴m>5反比例函数图象的确定【例1】已知图中的曲线是反比例函数y=(2)若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限内的交点为A,过A点作x轴的垂线,垂足为点B,当△OAB的面积为4时,求点A的坐标及反比例函数的解析式.(2)若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限内的【点评】一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值,反过来由图象的性质,也可以确定系数的符号.要熟记函数的性质并灵活应用这些性质.【点评】一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值,反1.(1)(2013·荆门)若反比例函数y=kx的图象过点(-2,1),则一次函数y=kx-k的图象过(
)
A.第一、二、四象限
B.第一、三、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、二、三象限
A
1.(1)(2013·荆门)若反比例函数y=kx的图象过点((2)(2013·毕节)一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数
y=kx(k≠0)的图象在同一直角坐标系下的大致图象如
图所示,则k,b的取值范围是(
)
A.k>0,b>0
B.k<0,b>0
C.k<0,b<0
D.k>0,b<0
C
(2)(2013·毕节)一次函数y=kx+b(k≠0)与反比待定系数法确定反比例函数解析式【例2】
(2014·广安)如图,反比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)经过点A(1,3).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)在x轴正半轴上有一点B,若△AOB的面积为6,求直线AB的解析式.
待定系数法确定反比例函数解析式【例2】(2014·广安)如解:(1)∵反比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)经过点A(1,3),
∴3=k1,解得k=3,∴反比例函数的解析式为y=3x
(2)设B(a,0),则BO=a,∵△AOB的面积为6,
∴12·a·3=6,
解得a=4,∴B(4,0),设直线AB的解析式为y=kx+b,
∵经过A(1,3)、B(4,0),∴îïíïì3=k+b,0=4k+b,解得îïíïìk=-1,b=4,
∴直线AB的解析式为y=-x+4
解:(1)∵反比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)经过点A【点评】反比例函数表达式中只有一个待定系数,由一对已知对应值即可确定函数解析式,而一次函数中有两个待定系数,要求出其系数,需要已知两对对应值.【点评】反比例函数表达式中只有一个待定系数,由一对已知对应2.(2014·襄阳)如图,一次函数y1=-x+2的图象与反比例函数
y2=kx的图象相交于A,B两点,与x轴相交于点C.已知tan∠BOC=12,点B的坐标为(m,n).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)请直接写出当x<m时,y2的取值范围.
2.(2014·襄阳)如图,一次函数y1=-x+2的图象与反解:(1)作BD⊥x轴于点D,如图,在Rt△OBD中,
tan∠BOC=BDOD=12,∴-nm=12,即m=-2n,把点
B(m,n)代入y1=-x+2得n=-m+2,∴n=2n+2,解得n=-2,∴m=4,∴B点坐标为(4,-2),把
B(4,-2)代入y2=kx得k=4×(-2)=-8,∴反比例函数解析式为y2=-8x
(2)当x<4,y2的取值范围为y2>0或y2<-2
解:(1)作BD⊥x轴于点D,如图,在Rt△OBD中,ta实际背景下的反比例函数的图象【例3】
(2013·益阳)我市某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18
℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象,其中BC段是双曲线
y=kx的一部分.请根据图中信息解答下列问题:
实际背景下的反比例函数的图象【例3】(2013·益阳)我市(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时?(2)求k的值;(3)当x=16时,大棚内的温度约为多少度?(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时?【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.若问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系,而是二者的复合,则应分段讨论,并注意在实际问题中提炼出函数模型,往往要加自变量的取值范围.【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类3.(2013·玉林)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序,即需要将材料烧到800℃,然后停止煅烧进行锻造操作,在8min时,材料温度降为600℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系;锻造时,温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图).已知该材料初始温度是32℃.3.(2013·玉林)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数解析式,并且写出自变量x的取值范围;(2)根据工艺要求,当材料温度低于480℃时,须停止操作,那么锻造的操作时间有多长?(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数解析式,并且写出自反比例函数与几何图形的结合【例4】
(2014·德州)如图,双曲线y=kx(x>0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C,AB∥x轴,点A的坐标为(2,3).
反比例函数与几何图形的结合【例4】(2014·德州)如图,(1)确定k的值;(2)若点D(3,m)在双曲线上,求直线AD的解析式;(1)确定k的值;(3)计算△OAB的面积.(3)计算△OAB的面积.【点评】本题主要考查反比例函数知识的综合运用,关键是利用待定系数法,数形结合的思想来解决此类题目,当然要熟练掌握反比例函数的性质及图象特征.【点评】本题主要考查反比例函数知识的综合运用,关键是利用待4.(1)(2014·深圳)如图,双曲线y=kx经过Rt△BOC斜边上的点A,且满足AOAB=23,与BC交于点D,S△BOD=21,求k=____.
8
4.(1)(2014·深圳)如图,双曲线y=kx经过Rt△B(2)(2014·玉林)如图,OABC是平行四边形,对角线OB在y轴正半轴上,位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=k1x和y=k2x的一支上,分别过点A,C作x轴的垂线,垂足分别为点M和N,则有以下的结论:
①AMCN=|k1||k2|;
②阴影部分面积是12(k1+k2);
③当∠AOC=90°时,|k1|=|k2|;
④若OABC是菱形,则两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称.
其中正确的是
.(把所有正确的结论的序号都填上)
①④
(2)(2014·玉林)如图,OABC是平行四边形,对角线O试题
已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x成反比例,且x=1时,y=3;x=-1时,y=1.求x=-12时,y的值.
错解
解:设y1=kx2,y2=kx.∵y=y1+y2,∴y=kx2+kx.
∴把x=1,y=3代入上式,得3=k+k,∴k=32.∴y=32x2+32x.当x=-12时,y=32×(-12)2+32×(-12)=38-3=-218.
答:当x=-12时,y的值是-218.
试题已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x成反比剖析
(1)错解错在设y1=kx,y2=kx时取了相同的比例系数k,由于这是两种不同的比例,其比例系数未必相同,应分别设y1=k1x,y2=k2x,用两个不同字母k1,k2来表示两个不同的比例系数.
(2)在同一问题中,相同的字母只能表示同一个未知量.两个或多个不同的未知量需要用两个或多个不同的字母来表示,以免混淆,从而导致错误.
剖析(1)错解错在设y1=kx,y2=kx时取了相同的比例正解
解:设y1=k1x2,y2=k2x,∵y=y1+y2,
∴y=k1x2+k2x.把x=1,y=3;x=-1,y=1分别代入上式,得îíì3=k1+k2,1=k1-k2,解得îíìk1=2,k2=1,∴y=2x2+1x.当x=-12时,y=2×(-12)2+1-12=12-2=-32.答:当x=-12时,
y的值是-32.
正解解:设y1=k1x2,y2=k2x,∵y=y1+y2,考点跟踪突破12
反比例函数及其图象考点跟踪突破12一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013·安顺)若y=(a+1)xa2-2是反比例函数,则a的取值为(
)
A.1
B.-1
C.±1
D.任意实数
A一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·安顺)若2.(2014·扬州)若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过P
(-2,3),则该函数的图象不经过的点是(
)
A.(3,-2)
B.(1,-6)
C.(-1,6)
D.(-1,-6)
D2.(2014·扬州)若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经3.(2013·绥化)对于反比例函数y=3x,下列说法正确的是(
)
A.图象经过点(1,-3)
B.图象在第二、四象限
C.x>0时,y随x的增大而增大
D.x<0时,y随x的增大而减小
D3.(2013·绥化)对于反比例函数y=3x,下列说法正确的4.(2014·潍坊)已知一次函数y1=kx+b(k<0)与反比例函数y2=mx(m≠0)的图象相交于A,B两点,其横坐标分别是-1和3,当y1>y2时,实数x的取值范围是(
)
A.x<-1或0<x<3
B.-1<x<0或0<x<3
C.-1<x<0或x>3
D.0<x<3
A4.(2014·潍坊)已知一次函数y1=kx+b(k<0)与5.(2014·鄂州)点A为双曲线y=kx(k≠0)上一点,B为x轴上一点,且△AOB为等边三角形,△AOB的边长为2,则k的值为(
)
A.23
B.±23
C.3
D.±3
D5.(2014·鄂州)点A为双曲线y=kx(k≠0)上一点,二、填空题(每小题6分,共30分)
6.(2014·莱芜)已知一次函数y=ax+b与反比例函数
y=kx的图象相交于A(4,2),B(-2,m)两点,则一次函数的表达式为
.
y=x-2
二、填空题(每小题6分,共30分)6.(2014·莱芜)已7.(2013·张家界)如图,直线x=2与反比例函数y=2x和
y=-1x的图象分别交于A,B两点,若点P是y轴上任意一点,则△PAB的面积是____.
7.(2013·张家界)如图,直线x=2与反比例函数y=2x8.(2013·德州)函数y=1x与y=x-2图象交点的横坐标分别为a,b,则1a+1b的值为____.
-2
8.(2013·德州)函数y=1x与y=x-2图象交点的横坐9.(2014·湖州)如图,已知在Rt△OAC中,O为坐标原点,直角顶点C在x轴的正半轴上,反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B,交AC于点D,连接OD.若△OCD∽△ACO,则直线OA的解析式为
.
y=2x
9.(2014·湖州)如图,已知在Rt△OAC中,O为坐标原10.(2013·绍兴)在平面直角坐标系中,O是原点,A是x轴上的点,将射线OA绕点O旋转,使点A与双曲线y=3x上的点B重合,若点B的纵坐标是1,则点A的横坐标是
.
2或-2
10.(2013·绍兴)在平面直角坐标系中,O是原点,A是x三、解答题(共40分)
11.(10分)(2014·白银)如图,在直角坐标系xOy中,直线
y=mx与双曲线y=nx相交于A(-1,a),B两点,BC⊥x轴,垂足为C,△AOC的面积是1.
三、解答题(共40分)11.(10分)(2014·白银)如(1)求m,n的值;(2)求直线AC的解析式.(1)求m,n的值;12.(10分)(2013·嘉兴)如图,一次函数y=kx+1(k≠0)与反比例函数y=mx(m≠0)的图象有公共点A(1,2).直线l⊥x轴于点N(3,0),与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B,C.
12.(10分)(2013·嘉兴)如图,一次函数y=kx+1(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)求△ABC的面积.
(2)求△ABC的面积.13.(10分)(2014·威海)已知反比例函数y=1-2mx(m为常数)的图象在第一、三象限.
(1)求m的取值范围;
13.(10分)(2014·威海)已知反比例函数y=1-2m(2)如图,若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D,点A,B的坐标分别为(0,3),(-2,0).①求出函数解析式;(2)如图,若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D,点A②设点P是该反比例函数图象上的一点,若OD=OP,则P点的坐标为;若以D,O,P为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P的个数为____个.(2,3)4②设点P是该反比例函数图象上的一点,若OD=OP,则P点的坐②∵反比例函数y=6x的图象关于原点中心对称,∴当点P与点D关于原点对称,则OD=OP,此时P点坐标为(-2,-3),∵反比例函数y=6x的图象关于直线y=x对称,∴点P与点D(2,3)关于直线y=x对称时满足OP=OD,此时P点坐标为(3,2),点(3,2)关于原点的对称点也满足OP=OD,此时P点坐标为(-3,-2),综上所述,P点的坐标为(-2,-3),(3,2),(-3,-2);由于以D,O,P为顶点的三角形是等腰三角形,则以D点为圆心,DO为半径画弧交反比例函数图象于点P1,P2,则点P1,P2满足条件;以O点为圆心,OD为半径画弧交反比例函数图象于点P3,P4,则点P3,P4也满足条件,如图,∴满足条件的点P的个数为4个
②∵反比例函数y=6x的图象关于原点中心对称,∴当点P与点D14.(10分)(2014·呼和浩特)如图,已知反比例函数y=kx
(x>0,k是常数)的图象经过点A(1,4),点B(m,n),其中m>1,AM⊥x轴,垂足为M,BN⊥y轴,垂足为N,AM与BN的交点为C.
14.(10分)(2014·呼和浩特)如图,已知反比例函数y(1)写出反比例函数解析式;(1)写出反比例函数解析式;(2)求证:△ACB∽△NOM;(2)求证:△ACB∽△NOM;(3)若△ACB与△NOM的相似比为2,求出B点的坐标及AB所在直线的解析式.(3)若△ACB与△NOM的相似比为2,求出B点的坐标及AB人教数学第三章函数及其图象人教数第三章函数及其图象第12讲反比例函数及其图象第12讲反比例函数及其图象要点梳理
1.概念:函数
叫做反比例函数.2.图象:反比例函数的图象是双曲线,不与两坐标轴相交的两条双曲线.要点梳理1.概念:函数要点梳理
3.性质(1)当k>0时,其图象位于
,在每个象限内,y随x的增大而
;(2)当k<0时,其图象位于
,在每个象限内,y随x的增大而
;(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形,又是轴对称图形.第一、三象限减小第二、四象限增大要点梳理3.性质第一、三象限减小第二、四象限增大要点梳理
4.应用:如图,点A和点C是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上任意两点,画AB⊥x轴于点B,CD⊥y轴于点D,则有S△AOB=S△COD=|k|2;注意根据图象所在象限来确定k的符号.
要点梳理4.应用:如图,点A和点C是反比例函数y=kx(k一个模型反比例函数关系在生产、生活、科技等方面广泛应用,解决这类问题的关键是将实际问题数学化,建立反比例函数的模型,然后利用反比例函数的性质、图象解决问题.注意:反比例函数的图象反映的变化规律明显,常利用它的图象找出解决问题的方案.一个模型一个思想数形结合思想就是把图形与数量关系巧妙、和谐地结合起来,使数学问题更直观、更容易解决.这一思想在这一讲中应用非常广泛.例如借助函数的图象比较大小等.一个思想两个防范(1)反比例函数中,y随x的大小而变化的情况,应分x>0与x<0两种情况讨论,而不能笼统地说成“k<0时,y随x的增大而增大”.双曲线上的点在每个象限内,y随x的变化是一致的,但在不同象限内的两个点比较函数值的大小时,当k>0时,第一象限内的点的纵坐标都为正,而第三象限内的点的纵坐标值都为负;当k<0时,第二象限内的点的纵坐标值都为正,而第四象限内的点的纵坐标值都为负.两个防范(2)在比较大小时,不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支组成的(分别在不同的两个象限),在不同的象限是不能用它的性质来判断的,而是要分别讨论.运用反比例函数的性质时,要注意在每一个象限内的要求.
(2)在比较大小时,不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支1.(2014·株洲)已知反比例函数y=kx的图象经过点(2,3),那么下列四个点中,也在这个函数图象上的是(
)
A.(-6,1)
B.(1,6)
C.(2,-3)
D.(3,-2)
B
1.(2014·株洲)已知反比例函数y=kx的图象经过点(22.(2014·宁夏)已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在函数
y=5x的图象上,当x1>x2>0时,下列结论正确的是
(
)
A.0<y1<y2
B.0<y2<y1
C.y1<y2<0
D.y2<y1<0
A
2.(2014·宁夏)已知两点P1(x1,y1),P2(x23.(2014·随州)关于反比例函数y=2x的图象,下列说法正确的是(
)
A.图象经过点(1,1)
B.两个分支分布在第二、四象限
C.两个分支关于x轴成轴对称
D.当x<0时,y随x的增大而减小
D
3.(2014·随州)关于反比例函数y=2x的图象,下列说法4.(2014·怀化)已知一次函数y=kx+b的图象如图,那么正比例函数y=kx和反比例函数y=bx在同一坐标系中的图象大致是(
)
C
4.(2014·怀化)已知一次函数y=kx+b的图象如图,那5.(2014·聊城)如图,一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=k2x的图象交于A(1,2),B(-2,-1)两点,若y1<y2,则x的取值范围是(
)
A.x<1
B.x<-2
C.-2<x<0或x>1
D.x<-2或0<x<1
D
5.(2014·聊城)如图,一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数图象的确定【例1】
已知图中的曲线是反比例函数y=m-5x(m为常数)图象的一支.
(1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限?常数m的取值范围是什么?
解:这个反比例函数图象的另一支在第三象限,∵m-5>0,∴m>5反比例函数图象的确定【例1】已知图中的曲线是反比例函数y=(2)若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限内的交点为A,过A点作x轴的垂线,垂足为点B,当△OAB的面积为4时,求点A的坐标及反比例函数的解析式.(2)若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限内的【点评】一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值,反过来由图象的性质,也可以确定系数的符号.要熟记函数的性质并灵活应用这些性质.【点评】一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值,反1.(1)(2013·荆门)若反比例函数y=kx的图象过点(-2,1),则一次函数y=kx-k的图象过(
)
A.第一、二、四象限
B.第一、三、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、二、三象限
A
1.(1)(2013·荆门)若反比例函数y=kx的图象过点((2)(2013·毕节)一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数
y=kx(k≠0)的图象在同一直角坐标系下的大致图象如
图所示,则k,b的取值范围是(
)
A.k>0,b>0
B.k<0,b>0
C.k<0,b<0
D.k>0,b<0
C
(2)(2013·毕节)一次函数y=kx+b(k≠0)与反比待定系数法确定反比例函数解析式【例2】
(2014·广安)如图,反比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)经过点A(1,3).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)在x轴正半轴上有一点B,若△AOB的面积为6,求直线AB的解析式.
待定系数法确定反比例函数解析式【例2】(2014·广安)如解:(1)∵反比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)经过点A(1,3),
∴3=k1,解得k=3,∴反比例函数的解析式为y=3x
(2)设B(a,0),则BO=a,∵△AOB的面积为6,
∴12·a·3=6,
解得a=4,∴B(4,0),设直线AB的解析式为y=kx+b,
∵经过A(1,3)、B(4,0),∴îïíïì3=k+b,0=4k+b,解得îïíïìk=-1,b=4,
∴直线AB的解析式为y=-x+4
解:(1)∵反比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)经过点A【点评】反比例函数表达式中只有一个待定系数,由一对已知对应值即可确定函数解析式,而一次函数中有两个待定系数,要求出其系数,需要已知两对对应值.【点评】反比例函数表达式中只有一个待定系数,由一对已知对应2.(2014·襄阳)如图,一次函数y1=-x+2的图象与反比例函数
y2=kx的图象相交于A,B两点,与x轴相交于点C.已知tan∠BOC=12,点B的坐标为(m,n).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)请直接写出当x<m时,y2的取值范围.
2.(2014·襄阳)如图,一次函数y1=-x+2的图象与反解:(1)作BD⊥x轴于点D,如图,在Rt△OBD中,
tan∠BOC=BDOD=12,∴-nm=12,即m=-2n,把点
B(m,n)代入y1=-x+2得n=-m+2,∴n=2n+2,解得n=-2,∴m=4,∴B点坐标为(4,-2),把
B(4,-2)代入y2=kx得k=4×(-2)=-8,∴反比例函数解析式为y2=-8x
(2)当x<4,y2的取值范围为y2>0或y2<-2
解:(1)作BD⊥x轴于点D,如图,在Rt△OBD中,ta实际背景下的反比例函数的图象【例3】
(2013·益阳)我市某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18
℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象,其中BC段是双曲线
y=kx的一部分.请根据图中信息解答下列问题:
实际背景下的反比例函数的图象【例3】(2013·益阳)我市(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时?(2)求k的值;(3)当x=16时,大棚内的温度约为多少度?(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时?【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.若问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系,而是二者的复合,则应分段讨论,并注意在实际问题中提炼出函数模型,往往要加自变量的取值范围.【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类3.(2013·玉林)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序,即需要将材料烧到800℃,然后停止煅烧进行锻造操作,在8min时,材料温度降为600℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系;锻造时,温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图).已知该材料初始温度是32℃.3.(2013·玉林)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数解析式,并且写出自变量x的取值范围;(2)根据工艺要求,当材料温度低于480℃时,须停止操作,那么锻造的操作时间有多长?(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数解析式,并且写出自反比例函数与几何图形的结合【例4】
(2014·德州)如图,双曲线y=kx(x>0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C,AB∥x轴,点A的坐标为(2,3).
反比例函数与几何图形的结合【例4】(2014·德州)如图,(1)确定k的值;(2)若点D(3,m)在双曲线上,求直线AD的解析式;(1)确定k的值;(3)计算△OAB的面积.(3)计算△OAB的面积.【点评】本题主要考查反比例函数知识的综合运用,关键是利用待定系数法,数形结合的思想来解决此类题目,当然要熟练掌握反比例函数的性质及图象特征.【点评】本题主要考查反比例函数知识的综合运用,关键是利用待4.(1)(2014·深圳)如图,双曲线y=kx经过Rt△BOC斜边上的点A,且满足AOAB=23,与BC交于点D,S△BOD=21,求k=____.
8
4.(1)(2014·深圳)如图,双曲线y=kx经过Rt△B(2)(2014·玉林)如图,OABC是平行四边形,对角线OB在y轴正半轴上,位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=k1x和y=k2x的一支上,分别过点A,C作x轴的垂线,垂足分别为点M和N,则有以下的结论:
①AMCN=|k1||k2|;
②阴影部分面积是12(k1+k2);
③当∠AOC=90°时,|k1|=|k2|;
④若OABC是菱形,则两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称.
其中正确的是
.(把所有正确的结论的序号都填上)
①④
(2)(2014·玉林)如图,OABC是平行四边形,对角线O试题
已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x成反比例,且x=1时,y=3;x=-1时,y=1.求x=-12时,y的值.
错解
解:设y1=kx2,y2=kx.∵y=y1+y2,∴y=kx2+kx.
∴把x=1,y=3代入上式,得3=k+k,∴k=32.∴y=32x2+32x.当x=-12时,y=32×(-12)2+32×(-12)=38-3=-218.
答:当x=-12时,y的值是-218.
试题已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x成反比剖析
(1)错解错在设y1=kx,y2=kx时取了相同的比例系数k,由于这是两种不同的比例,其比例系数未必相同,应分别设y1=k1x,y2=k2x,用两个不同字母k1,k2来表示两个不同的比例系数.
(2)在同一问题中,相同的字母只能表示同一个未知量.两个或多个不同的未知量需要用两个或多个不同的字母来表示,以免混淆,从而导致错误.
剖析(1)错解错在设y1=kx,y2=kx时取了相同的比例正解
解:设y1=k1x2,y2=k2x,∵y=y1+y2,
∴y=k1x2+k2x.把x=1,y=3;x=-1,y=1分别代入上式,得îíì3=k1+k2,1=k1-k2,解得îíìk1=2,k2=1,∴y=2x2+1x.当x=-12时,y=2×(-12)2+1-12=12-2=-32.答:当x=-12时,
y的值是-32.
正解解:设y1=k1x2,y2=k2x,∵y=y1+y2,考点跟踪突破12
反比例函数及其图象考点跟踪突破12一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013·安顺)若y=(a+1)xa2-2是反比例函数,则a的取值为(
)
A.1
B.-1
C.±1
D.任意实数
A一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·安顺)若2.(2014·扬州)若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过P
(-2,3),则该函数的图象不经过的点是(
)
A.(3,-2)
B.(1,-6)
C.(-1,6)
D.(-1,-6)
D2.(2014·扬州)若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经3.(2013·绥化)对于反比例函数y=3x,下列说法正确的是(
)
A.图象经过点(1,-3)
B.图象在第二、四象限
C.x>0时,y随x的增大而增大
D.x<0时,y随x的增大而减小
D3.(2013·绥化)对于反比例函数y=3x,下列说法正确的4.(2014·潍坊)已知一次函数y1=kx+b(k<0)与反比例函数y2=mx(m≠0)的图象相交于A,B两点,其横坐标分别是-1和3,当y1>y2时,实数x的取值范围是(
)
A.x<-1或0<x<3
B.-1<x<0或0<x<3
C.-1<x<0或x>3
D.0<x<3
A4.(2014·潍坊)已知一次函数y1=kx+b(k<0)与5.(2014·鄂州)点A为双曲线y=kx(k≠0)上一点,B为x轴上一点,且△AOB为等边三角形,△AOB的边长为2,则k的值为(
)
A.23
B.±23
C.3
D.±3
D5.(2014·鄂州)点A为双曲线y=kx(k≠0)上一点,二、填空题(每小题6分,共30分)
6.(2014·莱芜)已知一次函数y=ax+b与反比例函数
y=kx的图象相交于A(4,2),B(-2,m)两点,则一次函数的表达式为
.
y=x-2
二、填空题(每小题6分,共30分)6.(2014·莱芜)已7.(2013·张家界)如图,直线x=2与反比例函数y=2x和
y=-1x的图象分别交于A,B两点,若点P是y轴上任意一点,则△PAB的面积是____.
7.(2013·张家界)如图,直线x=2与反比例函数y=2x8.(2013·德州)函数y=1x与y=x-2图象交点的横坐标分别为a,b,则1a+1b的值
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