反比例函数及其图象课件

人教数学第三章函数及其图象人教数第三章函数及其图象第12讲反比例函数及其图象第12讲反比例函数及其图象要点梳理

1．概念：函数

叫做反比例函数．2．图象：反比例函数的图象是双曲线，不与两坐标轴相交的两条双曲线．要点梳理1．概念：函数要点梳理

3．性质(1)当k＞0时，其图象位于

，在每个象限内，y随x的增大而

；(2)当k＜0时，其图象位于

，在每个象限内，y随x的增大而

；(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．第一、三象限减小第二、四象限增大要点梳理3．性质第一、三象限减小第二、四象限增大要点梳理

4．应用：如图，点A和点C是反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上任意两点，画AB⊥x轴于点B，CD⊥y轴于点D，则有S△AOB＝S△COD＝|k|2；注意根据图象所在象限来确定k的符号．

要点梳理4．应用：如图，点A和点C是反比例函数y＝kx(k一个模型反比例函数关系在生产、生活、科技等方面广泛应用，解决这类问题的关键是将实际问题数学化，建立反比例函数的模型，然后利用反比例函数的性质、图象解决问题．注意：反比例函数的图象反映的变化规律明显，常利用它的图象找出解决问题的方案．一个模型一个思想数形结合思想就是把图形与数量关系巧妙、和谐地结合起来，使数学问题更直观、更容易解决．这一思想在这一讲中应用非常广泛．例如借助函数的图象比较大小等．一个思想两个防范(1)反比例函数中，y随x的大小而变化的情况，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”．双曲线上的点在每个象限内，y随x的变化是一致的，但在不同象限内的两个点比较函数值的大小时，当k＞0时，第一象限内的点的纵坐标都为正，而第三象限内的点的纵坐标值都为负；当k＜0时，第二象限内的点的纵坐标值都为正，而第四象限内的点的纵坐标值都为负．两个防范(2)在比较大小时，不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支组成的(分别在不同的两个象限)，在不同的象限是不能用它的性质来判断的，而是要分别讨论．运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求．

(2)在比较大小时，不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支1．(2014·株洲)已知反比例函数y＝kx的图象经过点(2，3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是(

)

A．(－6，1)

B．(1，6)

C．(2，－3)

D．(3，－2)

B

1．(2014·株洲)已知反比例函数y＝kx的图象经过点(22．(2014·宁夏)已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在函数

y＝5x的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是

(

)

A．0＜y1＜y2

B．0＜y2＜y1

C．y1＜y2＜0

D．y2＜y1＜0

A

2．(2014·宁夏)已知两点P1(x1，y1)，P2(x23．(2014·随州)关于反比例函数y＝2x的图象，下列说法正确的是(

)

A．图象经过点(1，1)

B．两个分支分布在第二、四象限

C．两个分支关于x轴成轴对称

D．当x＜0时，y随x的增大而减小

D

3．(2014·随州)关于反比例函数y＝2x的图象，下列说法4．(2014·怀化)已知一次函数y＝kx＋b的图象如图，那么正比例函数y＝kx和反比例函数y＝bx在同一坐标系中的图象大致是(

)

C

4．(2014·怀化)已知一次函数y＝kx＋b的图象如图，那5．(2014·聊城)如图，一次函数y1＝k1x＋b的图象和反比例函数y2＝k2x的图象交于A(1，2)，B(－2，－1)两点，若y1＜y2，则x的取值范围是(

)

A．x＜1

B．x＜－2

C．－2＜x＜0或x＞1

D．x＜－2或0＜x＜1

D

5．(2014·聊城)如图，一次函数y1＝k1x＋b的图象和反比例函数图象的确定【例1】

已知图中的曲线是反比例函数y＝m－5x(m为常数)图象的一支．

(1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？

解：这个反比例函数图象的另一支在第三象限，∵m－5＞0，∴m＞5反比例函数图象的确定【例1】已知图中的曲线是反比例函数y＝(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为点B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式．(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限内的【点评】一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值，反过来由图象的性质，也可以确定系数的符号．要熟记函数的性质并灵活应用这些性质．【点评】一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值，反1．(1)(2013·荆门)若反比例函数y＝kx的图象过点(－2，1)，则一次函数y＝kx－k的图象过(

)

A．第一、二、四象限

B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限

D．第一、二、三象限

A

1．(1)(2013·荆门)若反比例函数y＝kx的图象过点((2)(2013·毕节)一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数

y＝kx(k≠0)的图象在同一直角坐标系下的大致图象如

图所示，则k，b的取值范围是(

)

A．k＞0，b＞0

B．k＜0，b＞0

C．k＜0，b＜0

D．k＞0，b＜0

C

(2)(2013·毕节)一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比待定系数法确定反比例函数解析式【例2】

(2014·广安)如图，反比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)经过点A(1，3)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)在x轴正半轴上有一点B，若△AOB的面积为6，求直线AB的解析式．

待定系数法确定反比例函数解析式【例2】(2014·广安)如解：(1)∵反比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)经过点A(1，3)，

∴3＝k1，解得k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝3x

(2)设B(a，0)，则BO＝a，∵△AOB的面积为6，

∴12·a·3＝6，

解得a＝4，∴B(4，0)，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，

∵经过A(1，3)、B(4，0)，∴îïíïì3＝k＋b，0＝4k＋b，解得îïíïìk＝－1，b＝4，

∴直线AB的解析式为y＝－x＋4

解：(1)∵反比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)经过点A【点评】反比例函数表达式中只有一个待定系数，由一对已知对应值即可确定函数解析式，而一次函数中有两个待定系数，要求出其系数，需要已知两对对应值．【点评】反比例函数表达式中只有一个待定系数，由一对已知对应2．(2014·襄阳)如图，一次函数y1＝－x＋2的图象与反比例函数

y2＝kx的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C.已知tan∠BOC＝12，点B的坐标为(m，n)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．

2．(2014·襄阳)如图，一次函数y1＝－x＋2的图象与反解：(1)作BD⊥x轴于点D，如图，在Rt△OBD中，

tan∠BOC＝BDOD＝12，∴－nm＝12，即m＝－2n，把点

B(m，n)代入y1＝－x＋2得n＝－m＋2，∴n＝2n＋2，解得n＝－2，∴m＝4，∴B点坐标为(4，－2)，把

B(4，－2)代入y2＝kx得k＝4×(－2)＝－8，∴反比例函数解析式为y2＝－8x

(2)当x＜4，y2的取值范围为y2＞0或y2＜－2

解：(1)作BD⊥x轴于点D，如图，在Rt△OBD中，ta实际背景下的反比例函数的图象【例3】

(2013·益阳)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18

℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线

y＝kx的一部分．请根据图中信息解答下列问题：

实际背景下的反比例函数的图象【例3】(2013·益阳)我市(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？(2)求k的值；(3)当x＝16时，大棚内的温度约为多少度？(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．若问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系，而是二者的复合，则应分段讨论，并注意在实际问题中提炼出函数模型，往往要加自变量的取值范围．【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类3．(2013·玉林)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，在8min时，材料温度降为600℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32℃.3．(2013·玉林)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数解析式，并且写出自变量x的取值范围；(2)根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数解析式，并且写出自反比例函数与几何图形的结合【例4】

(2014·德州)如图，双曲线y＝kx(x＞0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为(2，3)．

反比例函数与几何图形的结合【例4】(2014·德州)如图，(1)确定k的值；(2)若点D(3，m)在双曲线上，求直线AD的解析式；(1)确定k的值；(3)计算△OAB的面积．(3)计算△OAB的面积．【点评】本题主要考查反比例函数知识的综合运用，关键是利用待定系数法，数形结合的思想来解决此类题目，当然要熟练掌握反比例函数的性质及图象特征．【点评】本题主要考查反比例函数知识的综合运用，关键是利用待4．(1)(2014·深圳)如图，双曲线y＝kx经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足AOAB＝23，与BC交于点D，S△BOD＝21，求k＝____．

8

4．(1)(2014·深圳)如图，双曲线y＝kx经过Rt△B(2)(2014·玉林)如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝k1x和y＝k2x的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点M和N，则有以下的结论：

①AMCN＝|k1||k2|；

②阴影部分面积是12(k1＋k2)；

③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；

④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．

其中正确的是

．(把所有正确的结论的序号都填上)

①④

(2)(2014·玉林)如图，OABC是平行四边形，对角线O试题

已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝－1时，y＝1.求x＝－12时，y的值．

错解

解：设y1＝kx2，y2＝kx.∵y＝y1＋y2，∴y＝kx2＋kx.

∴把x＝1，y＝3代入上式，得3＝k＋k，∴k＝32.∴y＝32x2＋32x.当x＝－12时，y＝32×(－12)2＋32×（－12）＝38－3＝－218.

答：当x＝－12时，y的值是－218.

试题已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比剖析

(1)错解错在设y1＝kx，y2＝kx时取了相同的比例系数k，由于这是两种不同的比例，其比例系数未必相同，应分别设y1＝k1x，y2＝k2x，用两个不同字母k1，k2来表示两个不同的比例系数．

(2)在同一问题中，相同的字母只能表示同一个未知量．两个或多个不同的未知量需要用两个或多个不同的字母来表示，以免混淆，从而导致错误．

剖析(1)错解错在设y1＝kx，y2＝kx时取了相同的比例正解

解：设y1＝k1x2，y2＝k2x，∵y＝y1＋y2，

∴y＝k1x2＋k2x.把x＝1，y＝3；x＝－1，y＝1分别代入上式，得îíì3＝k1＋k2，1＝k1－k2，解得îíìk1＝2，k2＝1，∴y＝2x2＋1x.当x＝－12时，y＝2×(－12)2＋1－12＝12－2＝－32.答：当x＝－12时，

y的值是－32.

正解解：设y1＝k1x2，y2＝k2x，∵y＝y1＋y2，考点跟踪突破12

反比例函数及其图象考点跟踪突破12一、选择题(每小题6分，共30分)

1．(2013·安顺)若y＝(a＋1)xa2－2是反比例函数，则a的取值为(

)

A．1

B．－1

C．±1

D．任意实数

A一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2013·安顺)若2．(2014·扬州)若反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过P

(－2，3)，则该函数的图象不经过的点是(

)

A．(3，－2)

B．(1，－6)

C．(－1，6)

D．(－1，－6)

D2．(2014·扬州)若反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经3．(2013·绥化)对于反比例函数y＝3x，下列说法正确的是(

)

A．图象经过点(1，－3)

B．图象在第二、四象限

C．x＞0时，y随x的增大而增大

D．x＜0时，y随x的增大而减小

D3．(2013·绥化)对于反比例函数y＝3x，下列说法正确的4．(2014·潍坊)已知一次函数y1＝kx＋b(k＜0)与反比例函数y2＝mx(m≠0)的图象相交于A，B两点，其横坐标分别是－1和3，当y1＞y2时，实数x的取值范围是(

)

A．x＜－1或0＜x＜3

B．－1＜x＜0或0＜x＜3

C．－1＜x＜0或x＞3

D．0＜x＜3

A4．(2014·潍坊)已知一次函数y1＝kx＋b(k＜0)与5．(2014·鄂州)点A为双曲线y＝kx(k≠0)上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为(

)

A．23

B．±23

C.3

D．±3

D5．(2014·鄂州)点A为双曲线y＝kx(k≠0)上一点，二、填空题(每小题6分，共30分)

6．(2014·莱芜)已知一次函数y＝ax＋b与反比例函数

y＝kx的图象相交于A(4，2)，B(－2，m)两点，则一次函数的表达式为

．

y＝x－2

二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·莱芜)已7．(2013·张家界)如图，直线x＝2与反比例函数y＝2x和

y＝－1x的图象分别交于A，B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是____．

7．(2013·张家界)如图，直线x＝2与反比例函数y＝2x8．(2013·德州)函数y＝1x与y＝x－2图象交点的横坐标分别为a，b，则1a＋1b的值为____．

－2

8．(2013·德州)函数y＝1x与y＝x－2图象交点的横坐9．(2014·湖州)如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为

．

y＝2x

9．(2014·湖州)如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原10．(2013·绍兴)在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y＝3x上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是

．

2或－2

10．(2013·绍兴)在平面直角坐标系中，O是原点，A是x三、解答题(共40分)

11．(10分)(2014·白银)如图，在直角坐标系xOy中，直线

y＝mx与双曲线y＝nx相交于A(－1，a)，B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.

三、解答题(共40分)11．(10分)(2014·白银)如(1)求m，n的值；(2)求直线AC的解析式．(1)求m，n的值；12．(10分)(2013·嘉兴)如图，一次函数y＝kx＋1(k≠0)与反比例函数y＝mx(m≠0)的图象有公共点A(1，2)．直线l⊥x轴于点N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C.

12．(10分)(2013·嘉兴)如图，一次函数y＝kx＋1(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求△ABC的面积．

(2)求△ABC的面积．13．(10分)(2014·威海)已知反比例函数y＝1－2mx(m为常数)的图象在第一、三象限．

(1)求m的取值范围；

13．(10分)(2014·威海)已知反比例函数y＝1－2m(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)．①求出函数解析式；(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD＝OP，则P点的坐标为；若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为____个．(2，3)4②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD＝OP，则P点的坐②∵反比例函数y＝6x的图象关于原点中心对称，∴当点P与点D关于原点对称，则OD＝OP，此时P点坐标为(－2，－3)，∵反比例函数y＝6x的图象关于直线y＝x对称，∴点P与点D(2，3)关于直线y＝x对称时满足OP＝OD，此时P点坐标为(3，2)，点(3，2)关于原点的对称点也满足OP＝OD，此时P点坐标为(－3，－2)，综上所述，P点的坐标为(－2，－3)，(3，2)，(－3，－2)；由于以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则以D点为圆心，DO为半径画弧交反比例函数图象于点P1，P2，则点P1，P2满足条件；以O点为圆心，OD为半径画弧交反比例函数图象于点P3，P4，则点P3，P4也满足条件，如图，∴满足条件的点P的个数为4个

②∵反比例函数y＝6x的图象关于原点中心对称，∴当点P与点D14．(10分)(2014·呼和浩特)如图，已知反比例函数y＝kx

(x＞0，k是常数)的图象经过点A(1，4)，点B(m，n)，其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C.

14．(10分)(2014·呼和浩特)如图，已知反比例函数y(1)写出反比例函数解析式；(1)写出反比例函数解析式；(2)求证：△ACB∽△NOM；(2)求证：△ACB∽△NOM；(3)若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．(3)若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB人教数学第三章函数及其图象人教数第三章函数及其图象第12讲反比例函数及其图象第12讲反比例函数及其图象要点梳理

1．概念：函数

叫做反比例函数．2．图象：反比例函数的图象是双曲线，不与两坐标轴相交的两条双曲线．要点梳理1．概念：函数要点梳理

3．性质(1)当k＞0时，其图象位于

，在每个象限内，y随x的增大而

；(2)当k＜0时，其图象位于

，在每个象限内，y随x的增大而

；(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．第一、三象限减小第二、四象限增大要点梳理3．性质第一、三象限减小第二、四象限增大要点梳理

4．应用：如图，点A和点C是反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上任意两点，画AB⊥x轴于点B，CD⊥y轴于点D，则有S△AOB＝S△COD＝|k|2；注意根据图象所在象限来确定k的符号．

要点梳理4．应用：如图，点A和点C是反比例函数y＝kx(k一个模型反比例函数关系在生产、生活、科技等方面广泛应用，解决这类问题的关键是将实际问题数学化，建立反比例函数的模型，然后利用反比例函数的性质、图象解决问题．注意：反比例函数的图象反映的变化规律明显，常利用它的图象找出解决问题的方案．一个模型一个思想数形结合思想就是把图形与数量关系巧妙、和谐地结合起来，使数学问题更直观、更容易解决．这一思想在这一讲中应用非常广泛．例如借助函数的图象比较大小等．一个思想两个防范(1)反比例函数中，y随x的大小而变化的情况，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”．双曲线上的点在每个象限内，y随x的变化是一致的，但在不同象限内的两个点比较函数值的大小时，当k＞0时，第一象限内的点的纵坐标都为正，而第三象限内的点的纵坐标值都为负；当k＜0时，第二象限内的点的纵坐标值都为正，而第四象限内的点的纵坐标值都为负．两个防范(2)在比较大小时，不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支组成的(分别在不同的两个象限)，在不同的象限是不能用它的性质来判断的，而是要分别讨论．运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求．

(2)在比较大小时，不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支1．(2014·株洲)已知反比例函数y＝kx的图象经过点(2，3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是(

)

A．(－6，1)

B．(1，6)

C．(2，－3)

D．(3，－2)

B

1．(2014·株洲)已知反比例函数y＝kx的图象经过点(22．(2014·宁夏)已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在函数

y＝5x的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是

(

)

A．0＜y1＜y2

B．0＜y2＜y1

C．y1＜y2＜0

D．y2＜y1＜0

A

2．(2014·宁夏)已知两点P1(x1，y1)，P2(x23．(2014·随州)关于反比例函数y＝2x的图象，下列说法正确的是(

)

A．图象经过点(1，1)

B．两个分支分布在第二、四象限

C．两个分支关于x轴成轴对称

D．当x＜0时，y随x的增大而减小

D

3．(2014·随州)关于反比例函数y＝2x的图象，下列说法4．(2014·怀化)已知一次函数y＝kx＋b的图象如图，那么正比例函数y＝kx和反比例函数y＝bx在同一坐标系中的图象大致是(

)

C

4．(2014·怀化)已知一次函数y＝kx＋b的图象如图，那5．(2014·聊城)如图，一次函数y1＝k1x＋b的图象和反比例函数y2＝k2x的图象交于A(1，2)，B(－2，－1)两点，若y1＜y2，则x的取值范围是(

)

A．x＜1

B．x＜－2

C．－2＜x＜0或x＞1

D．x＜－2或0＜x＜1

D

5．(2014·聊城)如图，一次函数y1＝k1x＋b的图象和反比例函数图象的确定【例1】

已知图中的曲线是反比例函数y＝m－5x(m为常数)图象的一支．

(1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？

解：这个反比例函数图象的另一支在第三象限，∵m－5＞0，∴m＞5反比例函数图象的确定【例1】已知图中的曲线是反比例函数y＝(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为点B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式．(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限内的【点评】一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值，反过来由图象的性质，也可以确定系数的符号．要熟记函数的性质并灵活应用这些性质．【点评】一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值，反1．(1)(2013·荆门)若反比例函数y＝kx的图象过点(－2，1)，则一次函数y＝kx－k的图象过(

)

A．第一、二、四象限

B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限

D．第一、二、三象限

A

1．(1)(2013·荆门)若反比例函数y＝kx的图象过点((2)(2013·毕节)一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数

y＝kx(k≠0)的图象在同一直角坐标系下的大致图象如

图所示，则k，b的取值范围是(

)

A．k＞0，b＞0

B．k＜0，b＞0

C．k＜0，b＜0

D．k＞0，b＜0

C

(2)(2013·毕节)一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比待定系数法确定反比例函数解析式【例2】

(2014·广安)如图，反比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)经过点A(1，3)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)在x轴正半轴上有一点B，若△AOB的面积为6，求直线AB的解析式．

待定系数法确定反比例函数解析式【例2】(2014·广安)如解：(1)∵反比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)经过点A(1，3)，

∴3＝k1，解得k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝3x

(2)设B(a，0)，则BO＝a，∵△AOB的面积为6，

∴12·a·3＝6，

解得a＝4，∴B(4，0)，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，

∵经过A(1，3)、B(4，0)，∴îïíïì3＝k＋b，0＝4k＋b，解得îïíïìk＝－1，b＝4，

∴直线AB的解析式为y＝－x＋4

解：(1)∵反比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)经过点A【点评】反比例函数表达式中只有一个待定系数，由一对已知对应值即可确定函数解析式，而一次函数中有两个待定系数，要求出其系数，需要已知两对对应值．【点评】反比例函数表达式中只有一个待定系数，由一对已知对应2．(2014·襄阳)如图，一次函数y1＝－x＋2的图象与反比例函数

y2＝kx的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C.已知tan∠BOC＝12，点B的坐标为(m，n)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．

2．(2014·襄阳)如图，一次函数y1＝－x＋2的图象与反解：(1)作BD⊥x轴于点D，如图，在Rt△OBD中，

tan∠BOC＝BDOD＝12，∴－nm＝12，即m＝－2n，把点

B(m，n)代入y1＝－x＋2得n＝－m＋2，∴n＝2n＋2，解得n＝－2，∴m＝4，∴B点坐标为(4，－2)，把

B(4，－2)代入y2＝kx得k＝4×(－2)＝－8，∴反比例函数解析式为y2＝－8x

(2)当x＜4，y2的取值范围为y2＞0或y2＜－2

解：(1)作BD⊥x轴于点D，如图，在Rt△OBD中，ta实际背景下的反比例函数的图象【例3】

(2013·益阳)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18

℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线

y＝kx的一部分．请根据图中信息解答下列问题：

实际背景下的反比例函数的图象【例3】(2013·益阳)我市(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？(2)求k的值；(3)当x＝16时，大棚内的温度约为多少度？(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．若问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系，而是二者的复合，则应分段讨论，并注意在实际问题中提炼出函数模型，往往要加自变量的取值范围．【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类3．(2013·玉林)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，在8min时，材料温度降为600℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32℃.3．(2013·玉林)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数解析式，并且写出自变量x的取值范围；(2)根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数解析式，并且写出自反比例函数与几何图形的结合【例4】

(2014·德州)如图，双曲线y＝kx(x＞0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为(2，3)．

反比例函数与几何图形的结合【例4】(2014·德州)如图，(1)确定k的值；(2)若点D(3，m)在双曲线上，求直线AD的解析式；(1)确定k的值；(3)计算△OAB的面积．(3)计算△OAB的面积．【点评】本题主要考查反比例函数知识的综合运用，关键是利用待定系数法，数形结合的思想来解决此类题目，当然要熟练掌握反比例函数的性质及图象特征．【点评】本题主要考查反比例函数知识的综合运用，关键是利用待4．(1)(2014·深圳)如图，双曲线y＝kx经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足AOAB＝23，与BC交于点D，S△BOD＝21，求k＝____．

8

4．(1)(2014·深圳)如图，双曲线y＝kx经过Rt△B(2)(2014·玉林)如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝k1x和y＝k2x的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点M和N，则有以下的结论：

①AMCN＝|k1||k2|；

②阴影部分面积是12(k1＋k2)；

③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；

④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．

其中正确的是

．(把所有正确的结论的序号都填上)

①④

(2)(2014·玉林)如图，OABC是平行四边形，对角线O试题

已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝－1时，y＝1.求x＝－12时，y的值．

错解

解：设y1＝kx2，y2＝kx.∵y＝y1＋y2，∴y＝kx2＋kx.

∴把x＝1，y＝3代入上式，得3＝k＋k，∴k＝32.∴y＝32x2＋32x.当x＝－12时，y＝32×(－12)2＋32×（－12）＝38－3＝－218.

答：当x＝－12时，y的值是－218.

试题已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比剖析

(1)错解错在设y1＝kx，y2＝kx时取了相同的比例系数k，由于这是两种不同的比例，其比例系数未必相同，应分别设y1＝k1x，y2＝k2x，用两个不同字母k1，k2来表示两个不同的比例系数．

(2)在同一问题中，相同的字母只能表示同一个未知量．两个或多个不同的未知量需要用两个或多个不同的字母来表示，以免混淆，从而导致错误．

剖析(1)错解错在设y1＝kx，y2＝kx时取了相同的比例正解

解：设y1＝k1x2，y2＝k2x，∵y＝y1＋y2，

∴y＝k1x2＋k2x.把x＝1，y＝3；x＝－1，y＝1分别代入上式，得îíì3＝k1＋k2，1＝k1－k2，解得îíìk1＝2，k2＝1，∴y＝2x2＋1x.当x＝－12时，y＝2×(－12)2＋1－12＝12－2＝－32.答：当x＝－12时，

y的值是－32.

正解解：设y1＝k1x2，y2＝k2x，∵y＝y1＋y2，考点跟踪突破12

反比例函数及其图象考点跟踪突破12一、选择题(每小题6分，共30分)

1．(2013·安顺)若y＝(a＋1)xa2－2是反比例函数，则a的取值为(

)

A．1

B．－1

C．±1

D．任意实数

A一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2013·安顺)若2．(2014·扬州)若反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过P

(－2，3)，则该函数的图象不经过的点是(

)

A．(3，－2)

B．(1，－6)

C．(－1，6)

D．(－1，－6)

D2．(2014·扬州)若反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经3．(2013·绥化)对于反比例函数y＝3x，下列说法正确的是(

)

A．图象经过点(1，－3)

B．图象在第二、四象限

C．x＞0时，y随x的增大而增大

D．x＜0时，y随x的增大而减小

D3．(2013·绥化)对于反比例函数y＝3x，下列说法正确的4．(2014·潍坊)已知一次函数y1＝kx＋b(k＜0)与反比例函数y2＝mx(m≠0)的图象相交于A，B两点，其横坐标分别是－1和3，当y1＞y2时，实数x的取值范围是(

)

A．x＜－1或0＜x＜3

B．－1＜x＜0或0＜x＜3

C．－1＜x＜0或x＞3

D．0＜x＜3

A4．(2014·潍坊)已知一次函数y1＝kx＋b(k＜0)与5．(2014·鄂州)点A为双曲线y＝kx(k≠0)上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为(

)

A．23

B．±23

C.3

D．±3

D5．(2014·鄂州)点A为双曲线y＝kx(k≠0)上一点，二、填空题(每小题6分，共30分)

6．(2014·莱芜)已知一次函数y＝ax＋b与反比例函数

y＝kx的图象相交于A(4，2)，B(－2，m)两点，则一次函数的表达式为

．

y＝x－2

二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·莱芜)已7．(2013·张家界)如图，直线x＝2与反比例函数y＝2x和

y＝－1x的图象分别交于A，B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是____．

7．(2013·张家界)如图，直线x＝2与反比例函数y＝2x8．(2013·德州)函数y＝1x与y＝x－2图象交点的横坐标分别为a，b，则1a＋1b的值