七年级下册数学 第1章整式的乘除161完全平方公式 北师版2020课件

1.6.1完全平方公式1.6完全平方公式第一章整式的乘除1.6.1完全平方公式1.6完全平方公式第一章整1课堂讲解完全平方公式的特征完全平方公式完全平方公式的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解完全平方公式的特征2课时流程逐点课堂小结作业提观察下列算式及其运算结果，你有什么发现?(m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2×3m+9=m2+6m+9,再举两例验证你的发现.(2+3x)2=(2+3x)(2+3x)=22+2×3x+2×3x+9x2

=4+2×2×3x+9x2

=4+12x+9x2.观察下列算式及其运算结果，你有什么发现?(2+3x)2=(a+b)2

=a2+2ab+b2.总

结(a+b)2=a2+2ab+b2.总结1知识点完全平方公式的特征计算下列各题：(a－b)2

=？你是怎样做的？知1－导(a－b)2

=(a－b)(a－b)=a2－2ab+b2.(a－b)2

=

[a+(－b)]2

=a2+2a(－b)+(－b)2=a2－2ab+b2.1知识点完全平方公式的特征计算下列各题：知1－导(a－b)2(a－b)2

=a2－2ab+b2.知1－导归纳(a－b)2=a2－2ab+b2.知1－导归纳1.完全平方公式：

两数的和(差)的平方等于这两个数的平方和加上(减去)这两个数乘积的2倍．

用式子表示为：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，

(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

要点精析：(1)弄清公式的特征

公式的左边是一个二项式的平方，公式的右边是

一个三项式，其中两项是左边二项式各项的平方，

另一项是左边二项式各项的乘积的两倍；二项式

的差的完全平方公式是和的完全平方公式的特例.1.完全平方公式：(2)理解字母a，b的意义

公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表

示单项式．(3)学会用口诀加深记忆

对于公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可以用下述简单

的口诀来记忆：头平方和尾平方，头(乘)尾两倍

在中央，中间符号照原样．知1－讲(2)理解字母a，b的意义知1－讲拓展：(1)公式中的字母a，b，还可为多项式表示的数或其

他的代数式所表示的数．(2)利用完全平方公式，可得到a＋b，ab，a－b，a2＋b2有下列重要关系：①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；②(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.拓展：2.易错警示：由于前面学习了平方差公式(a＋b)(a－b)

＝a2－b2，因此往往出现形如(a±b)2＝a2±b2的错

误．为了防止类似错误，要明确以下三点：(1)意义不同：(a±b)2表示数a与数b和或差的平方，而a2±b2表示数a的平方与数b的平方的和或差．(2)读法不同：(a±b)2读作a，b两数和或差的平方；a2±b2读作a，b两数平方的和或差．(3)运算顺序不同：(a±b)2是先算a，b两数的和或差，

后算和或差的平方；a2±b2是先算a2与b2，后算a2，

b2的和或差．2.易错警示：由于前面学习了平方差公式(a＋b)(a－b)例1利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2；(2)(4x+5y)2；(3)

(mn－a)2

.解：

(1)(2x－3)2=(2x)2－2·2x·3+32

=4x2－12x+9；(2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2

=16x2+40xy+25y2；(3)(mn－a)2=(mn)2－2·mn·a+a2

=m2n2－2amn+a2.例1利用完全平方公式计算：例2利运用完全平方公式计算：(1)(－2x＋5)2；(2)(－m－2n)2；(3)导引：先将算式利用(a－b)2＝(b－a)2，(－a－b)2

＝(a＋b)2化为两数和或差的平方形式，再利

用完全平方公式计算．解：(1)原式＝(2x－5)2＝(2x)2－2·2x·5＋52

＝4x2－20x＋25；(2)原式＝(m＋2n)2＝m2＋2·m·2n＋(2n)2

＝m2＋4mn＋4n2；(3)原式＝例2利运用完全平方公式计算：总

结在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关键是弄清题目中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b，同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的完全平方公式；解(1)(2)时还用到了互为相反数的两数的平方相等．总结在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关1计算：(1)；(2)；(3)(n+1)2－n2.2给多项式4x2＋1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的单项式不可以是(

)A．4xB．－4x

C．4x4D．－4x4知1－练（来自教材）1计算：知1－练（来自教材）3若x2＋6x＋k是完全平方式，则k等于(

)A．9B．－9C．±9D．±34下列变形中，错误的是(

)①(b－4c)2＝b2－16c2；②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3若x2＋6x＋k是完全平方式，则k等于()2知识点完全平方公式(1)1022=(100+2)2

=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404；(2)1972=(200－3)2

=2002－2×200×3+32=40000+1200+9=38809.你是怎样做的？与同伴交流.怎样计算1022,1972更简单呢？2知识点完全平方公式(1)1022=(100+2)2(2)例3计算：(1)(2x－1)2－(3x＋1)2；(2)(a－b)2·(a＋b)2；(3)(x＋y)(－x＋y)(x2－y2)．导引：对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并同类项；对于(2)可以把底数(a－b)，(a＋b)分别看作一个整体，然后逆用积的乘方法则进行计算；对于(3)先利用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方公式进行计算．例3计算：(1)(2x－1)2－(3x＋1)2；(1)原式＝4x2－4x＋1－(9x2＋6x＋1)

＝4x2－4x＋1－9x2－6x－1

＝－5x2－10x；(2)原式＝[(a－b)(a＋b)]2

＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4；(3)原式＝－(x＋y)(x－y)(x2－y2)

＝－(x2－y2)2＝－(x4－2x2y2＋y4)

＝－x4＋2x2y2－y4.解：(1)原式＝4x2－4x＋1－(9x2＋6x＋1)解：总

结知2－讲在解答与乘法公式有关的比较复杂的整式计算问题时，要注意观察题目结构特征，灵活运用平方差公式和完全平方公式求解；在能用平方差公式和完全平方公式时，尽量先用平方差公式；合理运用公式，能使计算更简便，如(1)小题如果先运用平方差公式，则计算过程为：原式＝[(2x－1)+(3x+1)][(2x－1)－(3x+1)]＝5x(－x－2)＝－5x2－10x.总结知2－讲在解答与乘法公式有关的比较复杂的整式计算问例4计算：(1)(x+3)2－x2

；(2)(a+b+3)(a+b－3)；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).解：(1)(x+3)2－x2=x2+6x+9－x2

=6x+9(2)(a+b+3)(a+b－3)=[(a+b)+3][(a+b)－3]=(a+b)2－32=a2+2ab+b2－9；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=x2+10x+25－(x2－5x+6)=x2+10x+25－x2+5x－6=15x+19.例4计算：总

结本题运用了整体思想求解．对于平方式中若底数是三项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就符合完全平方公式特点；对于两个三项式或四项式相乘的式子，可将相同的项及互为相反数的项分别添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，通过平方差公式展开再利用完全平方公式展开，最后合并可得结果．总结本题运用了整体思想求解．对于平方式中若底数是三1(2015·连云港)下列运算正确的是(

)A．2a＋3b＝5abB．5a－2a＝3aC．a2·a3＝a6D．(a＋b)2＝a2＋b22计算(－a－b)2等于(

)A．a2＋b2B．a2－b2C．a2＋2ab＋b2D．a2－2ab＋b21(2015·连云港)下列运算正确的是()3下列运算正确的是(

)A．4a－a＝3B．2(2a－b)＝4a－bC．(a＋b)2＝a2＋b2

D．(a＋2)(a－2)＝a2－43下列运算正确的是()3知识点完全平方公式的应用例5已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.导引：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平

方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25；(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1.3知识点完全平方公式的应用例5已知a2＋b2＝13，ab总

结在利用完全平方公式进行计算时，经常会遇到这个公式的如下变形：(1)(a＋b)2－2ab＝a2＋b2；(2)(a－b)2＋2ab＝a2＋b2；(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；(4)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.灵活运用这些公式的变形，往往可以解答一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力．总结在利用完全平方公式进行计算时，经常会遇到这个公1利用整式乘法公式计算：(1)962；(2)(a－b－3)(a－b＋3)．2(2016·南充)如果x2＋mx＋1＝(x＋n)2，且m＞0，则n的值是________．3(2016·巴中)若a＋b＝3，ab＝2，则(a－b)2＝_____．（来自教材）1利用整式乘法公式计算：（来自教材）4若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为(

)A．2abB．－2abC．4abD．－4ab5(2015·邵阳)已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值

为(

)A．3B．4C．5D．66已知a＋

＝4，则a2＋

的值是(

)A．4B．16C．14D．154若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为()1.完全平方公式的特征：左边是二项式的平方，右

边是二次三项式，其中两项分别是公式左边两项

的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，

可简记为“前平方、后平方，积的2倍在中央”．2．完全平方公式常见的变形公式有：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(2)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.1.完全平方公式的特征：左边是二项式的平方，右1.必做:完成教材习题1.11T1-4，习题1.12T1-3

1.必做:完成教材习题1.11T1-4，习题1.12T1-3

小学毕业总复习是小学数学教学的重要组成部分，是对学生全面而系统地巩固整个小学阶段所学的数学基础知识和基本技能，提高知识的掌握水平，进一步发展能力。因此，多年的毕业教学，我都十分重视小学毕业阶段的复习整理工作。而毕业总复习作为一种引导小学生对旧知识进行再学习的过程它应是一个有目的，有计划的学习活动过程。所以，在具体实施前必须制定出切实可行的计划，以增强复习的针对性，提高复习效率。从小学毕业总复习在整个小学数学教学过程中所处的地位来看，它的任务概括为以下几点：1、系统地整理知识。实践表明，学生对数学知识的掌握在很大程度上取决于复习中的系统整理，而小学毕业复习是对小学阶段所学知识形成一种网络结构。2、全面巩固所学知识。毕业复习的本身是一种重新学习的过程，是对所学知识从掌握水平达到熟练掌握水平。3、查漏补缺。结合我校六年级学生学情实际，学生在知识的理解和掌握程度上不可避免地存在某些问题。所以，毕业复习的再学习过程要弥补知识上掌握的缺陷。4、进一步提高能力。进一步提高学生的计算、初步的逻辑思维、空间观念和解决实际问题的能力。让学生在复习中应充分体现从“学会”到“会学”的转化。由于复习是在原有基础上对已学过的内容进行再学习，所以，学生原有的学习情况直接制约着复习过程的安排。同时，也要根据本年级实际复习对象和复习时间来确定复习过程和时间上的安排。谢谢聆听小学毕业总复习是小学数学教学的重要组成部分1.6.1完全平方公式1.6完全平方公式第一章整式的乘除1.6.1完全平方公式1.6完全平方公式第一章整1课堂讲解完全平方公式的特征完全平方公式完全平方公式的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解完全平方公式的特征2课时流程逐点课堂小结作业提观察下列算式及其运算结果，你有什么发现?(m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2×3m+9=m2+6m+9,再举两例验证你的发现.(2+3x)2=(2+3x)(2+3x)=22+2×3x+2×3x+9x2

=4+2×2×3x+9x2

=4+12x+9x2.观察下列算式及其运算结果，你有什么发现?(2+3x)2=(a+b)2

=a2+2ab+b2.总

结(a+b)2=a2+2ab+b2.总结1知识点完全平方公式的特征计算下列各题：(a－b)2

=？你是怎样做的？知1－导(a－b)2

=(a－b)(a－b)=a2－2ab+b2.(a－b)2

=

[a+(－b)]2

=a2+2a(－b)+(－b)2=a2－2ab+b2.1知识点完全平方公式的特征计算下列各题：知1－导(a－b)2(a－b)2

=a2－2ab+b2.知1－导归纳(a－b)2=a2－2ab+b2.知1－导归纳1.完全平方公式：

两数的和(差)的平方等于这两个数的平方和加上(减去)这两个数乘积的2倍．

用式子表示为：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，

(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

要点精析：(1)弄清公式的特征

公式的左边是一个二项式的平方，公式的右边是

一个三项式，其中两项是左边二项式各项的平方，

另一项是左边二项式各项的乘积的两倍；二项式

的差的完全平方公式是和的完全平方公式的特例.1.完全平方公式：(2)理解字母a，b的意义

公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表

示单项式．(3)学会用口诀加深记忆

对于公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可以用下述简单

的口诀来记忆：头平方和尾平方，头(乘)尾两倍

在中央，中间符号照原样．知1－讲(2)理解字母a，b的意义知1－讲拓展：(1)公式中的字母a，b，还可为多项式表示的数或其

他的代数式所表示的数．(2)利用完全平方公式，可得到a＋b，ab，a－b，a2＋b2有下列重要关系：①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；②(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.拓展：2.易错警示：由于前面学习了平方差公式(a＋b)(a－b)

＝a2－b2，因此往往出现形如(a±b)2＝a2±b2的错

误．为了防止类似错误，要明确以下三点：(1)意义不同：(a±b)2表示数a与数b和或差的平方，而a2±b2表示数a的平方与数b的平方的和或差．(2)读法不同：(a±b)2读作a，b两数和或差的平方；a2±b2读作a，b两数平方的和或差．(3)运算顺序不同：(a±b)2是先算a，b两数的和或差，

后算和或差的平方；a2±b2是先算a2与b2，后算a2，

b2的和或差．2.易错警示：由于前面学习了平方差公式(a＋b)(a－b)例1利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2；(2)(4x+5y)2；(3)

(mn－a)2

.解：

(1)(2x－3)2=(2x)2－2·2x·3+32

=4x2－12x+9；(2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2

=16x2+40xy+25y2；(3)(mn－a)2=(mn)2－2·mn·a+a2

=m2n2－2amn+a2.例1利用完全平方公式计算：例2利运用完全平方公式计算：(1)(－2x＋5)2；(2)(－m－2n)2；(3)导引：先将算式利用(a－b)2＝(b－a)2，(－a－b)2

＝(a＋b)2化为两数和或差的平方形式，再利

用完全平方公式计算．解：(1)原式＝(2x－5)2＝(2x)2－2·2x·5＋52

＝4x2－20x＋25；(2)原式＝(m＋2n)2＝m2＋2·m·2n＋(2n)2

＝m2＋4mn＋4n2；(3)原式＝例2利运用完全平方公式计算：总

结在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关键是弄清题目中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b，同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的完全平方公式；解(1)(2)时还用到了互为相反数的两数的平方相等．总结在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关1计算：(1)；(2)；(3)(n+1)2－n2.2给多项式4x2＋1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的单项式不可以是(

)A．4xB．－4x

C．4x4D．－4x4知1－练（来自教材）1计算：知1－练（来自教材）3若x2＋6x＋k是完全平方式，则k等于(

)A．9B．－9C．±9D．±34下列变形中，错误的是(

)①(b－4c)2＝b2－16c2；②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3若x2＋6x＋k是完全平方式，则k等于()2知识点完全平方公式(1)1022=(100+2)2

=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404；(2)1972=(200－3)2

=2002－2×200×3+32=40000+1200+9=38809.你是怎样做的？与同伴交流.怎样计算1022,1972更简单呢？2知识点完全平方公式(1)1022=(100+2)2(2)例3计算：(1)(2x－1)2－(3x＋1)2；(2)(a－b)2·(a＋b)2；(3)(x＋y)(－x＋y)(x2－y2)．导引：对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并同类项；对于(2)可以把底数(a－b)，(a＋b)分别看作一个整体，然后逆用积的乘方法则进行计算；对于(3)先利用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方公式进行计算．例3计算：(1)(2x－1)2－(3x＋1)2；(1)原式＝4x2－4x＋1－(9x2＋6x＋1)

＝4x2－4x＋1－9x2－6x－1

＝－5x2－10x；(2)原式＝[(a－b)(a＋b)]2

＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4；(3)原式＝－(x＋y)(x－y)(x2－y2)

＝－(x2－y2)2＝－(x4－2x2y2＋y4)

＝－x4＋2x2y2－y4.解：(1)原式＝4x2－4x＋1－(9x2＋6x＋1)解：总

结知2－讲在解答与乘法公式有关的比较复杂的整式计算问题时，要注意观察题目结构特征，灵活运用平方差公式和完全平方公式求解；在能用平方差公式和完全平方公式时，尽量先用平方差公式；合理运用公式，能使计算更简便，如(1)小题如果先运用平方差公式，则计算过程为：原式＝[(2x－1)+(3x+1)][(2x－1)－(3x+1)]＝5x(－x－2)＝－5x2－10x.总结知2－讲在解答与乘法公式有关的比较复杂的整式计算问例4计算：(1)(x+3)2－x2

；(2)(a+b+3)(a+b－3)；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).解：(1)(x+3)2－x2=x2+6x+9－x2

=6x+9(2)(a+b+3)(a+b－3)=[(a+b)+3][(a+b)－3]=(a+b)2－32=a2+2ab+b2－9；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=x2+10x+25－(x2－5x+6)=x2+10x+25－x2+5x－6=15x+19.例4计算：总

结本题运用了整体思想求解．对于平方式中若底数是三项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就符合完全平方公式特点；对于两个三项式或四项式相乘的式子，可将相同的项及互为相反数的项分别添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，通过平方差公式展开再利用完全平方公式展开，最后合并可得结果．总结本题运用了整体思想求解．对于平方式中若底数是三1(2015·连云港)下列运算正确的是(

)A．2a＋3b＝5abB．5a－2a＝3aC．a2·a3＝a6D．(a＋b)2＝a2＋b22计算(－a－b)2等于(

)A．a2＋b2B．a2－b2C．a2＋2ab＋b2D．a2－2ab＋b21(2015·连云港)下列运算正确的是()3下列运算正确的是(

)A．4a－a＝3B．2(2a－b)＝4a－bC．(a＋b)2＝a2＋b2

D．(a＋2)(a－2)＝a2－43下列运算正确的是()3知识点完全平方公式的应用例5已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.导引：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平

方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25；(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1.3知识点完全平方公式的应用例5已知a2＋b2＝13，ab总

结在利用完全平方公式进行计算时，经常会遇到这个公式的如下变形：(1)(a＋b)2－2ab＝a2＋b2；(2)(a－b)2＋2ab＝a2＋b2；(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；(4)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.灵活运用这些公式的变形，往往可以解答一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力．