2016届高考数学大一轮总复习(理科)第八章立体几何85

学必求其心得，业必贵于专精§8.5空间向量及其运算1．空间向量的有关看法名称看法表示零向模为0的向量0量单位长度（模）为1的向量向量相等a＝b向量方向相同且模相等的向量相反方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a向量表示空间向量的有向线段共线所在的直线互相平行或重a∥b向量合的向量共面平行于同一个平面的向量向量学必求其心得，业必贵于专精2.空间向量中的有关定理（1)共线向量定理空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa。推论以下列图，点P在l上的充要条件是错误!＝错误!＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R,在l上取错误!＝a，则①可化为错误!＝错误!＋t错误!或错误!＝(1－t)错误!＋t错误!.（2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a,b为不共线向量,推论的表达式为错误!＝x错误!＋y错误!或对空间任意一点O，有错误!＝错误!＋x错误!＋y错误!或错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!，其中x＋y＋z＝__1__。（3)空间向量基本定理若是向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量,a是空间任向来量,那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3,空间中不共面的三个向量e1,e2，e3叫作这个空间的一个基底．3．两个向量的数量积1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a|｜b｜cos〈a，b〉．2）空间向量数量积的运算律①结合律：(λa）·b＝λ(a·b)．学必求其心得，业必贵于专精②交换律:a·b＝b·a。③分配律:a·(b＋c)＝a·b＋a·c。4．空间向量的坐标表示及应用向量表示坐标表示数量a·ba1b1＋a2b2＋a3b3积共线a＝λb（b≠0）a＝λb，a＝λb,a＝λb112233a·b＝0(a≠0，垂直a1b1＋a2b2＋a3b3＝0b≠0）模｜a|错误!〈a,b〉（a≠0，夹角cos〈a，b〉＝错误!b≠0)【思虑辨析】判断下面结论可否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）空间中任意两非零向量a，b共面．(√）(2）在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·（b·c)．(×）3)对于非零向量b,由a·b＝b·c，则a＝c.（×）4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)(5）若A、B、C、D是空间任意四点，则有错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0。学必求其心得，业必贵于专精(√）(6）｜a｜－|b｜＝|a＋b｜是a、b共线的充要条件．(×）1．以下列图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，则以下向量中与→相等的向量是（BM)A．－错误!a＋错误!b＋cB。错误!a＋错误!b＋cC．－错误!a－错误!b＋cD。错误!a－错误!b＋c答案A解析错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!（错误!－错误!）＝c＋错误!(b－a)＝－错误!a＋错误!b＋c。2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若错误!＝错误!＋x错误!＋y错误!，则x，y的值分别为（)A．x＝1,y＝1B．x＝1，y＝错误!C．x＝错误!，y＝错误!D．x＝错误!，y＝1答案C学必求其心得，业必贵于专精解析如图，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!(错误!＋错误!)．3．与向量（－3，－4,5）共线的单位向量是(A.错误!和错误!B.错误!C.错误!

＝错误!＋错误!)D。错误!或错误!答案A解析因为与向量a共线的单位向量是±错误!，又因为向量（－3,－4,5)的模为错误!＝5错误!，因此与向量（－3，－4，5）共线的单位向量是±错误!(－3,－4，5）＝±错误!(－3，－4，5)，应选A.4．如图，在周围体O－ABC中,错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，为BC的中点，E为AD的中点,则错误!＝________（用a，b,c表示)．答案错误!a＋错误!b＋错误!c解析OE，→＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a＋错误!b＋错误!c.学必求其心得，业必贵于专精题型一空间向量的线性运算例1三棱锥O－ABC中，M,N分别是OA，BC的中点，是△ABC的重心,用基向量错误!，错误!，错误!表示错误!，错误!。思想点拨利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可．解错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!)＝错误!错误!＋错误![错误!（错误!＋错误!)－错误!］＝－错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!.错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!－错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!.思想升华用已知向量来表示未知向量，必然要结合图形，以图形为指导是解题的要点．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和,等于由初步向量的始点指向尾端向量的终点的向量，我们把这个法规称为向量加法的多边形法规．以下列图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中,O为AC的中点．设E是棱DD1上的点，且错误!＝错误!错误!，试用错误!，错误!,错误!表示错误!.解错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!)＝学必求其心得，业必贵于专精2错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!－错误!错误!－错误!错误!。3题型二共线定理、共面定理的应用例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，1)求证：E、F、G、H四点共面；2)求证:BD∥平面EFGH;3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!＋错误!)．思想点拨对于（1),只要证出向量错误!＝错误!＋错误!即可；对于(2),只要证犯错误!与错误!共线即可；对于(3），易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点,于是向量错误!可由向量错误!和错误!表示，再将错误!与错误!分别用向量错误!，错误!和向量错误!,错误!表示．证明(1)连接BG,则错误!＝错误!＋错误!＝→＋＋EB错误!(错误!错误!)＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!,由共面向量定理的推论知：学必求其心得，业必贵于专精E、F、G、H四点共面．(2)因为EH，→＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!错误!＝错误!(错误!－错误!）＝错误!错误!,因此EH∥BD。又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH,因此BD∥平面EFGH。3)找一点O，并连接OM，OA,OB，OC,OD，OE，OG。由(2)知错误!＝错误!错误!，同理错误!＝错误!错误!,因此错误!＝错误!，即EH綊FG，因此四边形EFGH是平行四边形．因此EG,FH交于一点M且被M均分．故错误!＝错误!（错误!＋错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!(错误!＋错误!＋错误!＋错误!）．思想升华（1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转变成证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明错误!,错误!共线，亦即证明错误!＝λ错误!(λ≠0）．2）证明点共面的方法证明点共面问题可转变成证明向量共面问题，如要证明P,A,B，C四学必求其心得，业必贵于专精点共面，只要能证明错误!＝x错误!＋y错误!或对空间任一点O，有错误!＝错误!x错误!＋y错误!或错误!＝x错误!＋y错误!＋zOC(x＋y＋z＝1）即可．共面向量定理实质上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．学必求其心得，业必贵于专精如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E＝2EB，CF＝2AF,则EF与平面A1B1CD的地址关系为________．答案平行解析取错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c为基底，易得错误!＝－错误!(a－b＋c)，而错误!＝a－b＋c，即错误!∥错误!，故EF∥DB1,且EF?平面A1B1CD，DB1?平面A1B1CD，因此EF∥平面A1B1CD。题型三空间向量数量积的应用例3（2014·四川）三棱锥A－BCD及其侧视图、俯视图以下列图．设M,N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.(1)证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A－NP－M的余弦值．思想点拨（1）将错误!表示为λ利用错误!·错误!＝0错误!求出λ数量积求解．;（2)建立直角坐标系,利用向量坐标的学必求其心得，业必贵于专精(1)证明如图(1），取BD的中点O,连接AO，CO.由侧视图及俯视图知ABD,△，△BCD均为正三角形，因此AO⊥BD，OC⊥BD.因为AO?平面AOC，OC?平面AOC,且AO∩OC＝O，图(1）因此BD⊥平面AOC。又因为AC?平面AOC，因此BD⊥AC.取BO的中点H，连接NH,PH.又M,N分别为线段AD,AB的中点，因此NH∥AO，MN∥BD。因为AO⊥BD,因此NH⊥BD。因为MN⊥NP，因此BD⊥NP.因为NH?平面NHP,NP?平面NHP，且NH∩NP＝N,因此BD⊥平面NHP.又因为HP?平面NHP，因此BD⊥HP.又OC⊥BD,HP?平面BCD,OC?平面BCD,因此HP∥OC。因为H为BO中点，故P为BC中点．学必求其心得，业必贵于专精(2）解方法一如图(2)，作NQ⊥AC于Q，连接MQ.由(1）知,NP∥AC，因此NQ⊥NP.因为MN⊥NP,因此∠MNQ为二面角A－NP－M的一个平面角．由(1)知,△ABD，△BCD为边长为2的正三角形，图（2）因此AO＝OC＝错误!。由俯视图可知，AO⊥平面BCD。因为OC?平面BCD，因此AO⊥OC，因此在等腰Rt△AOC中，AC＝6。作BR⊥AC于R，在△ABC中，AB＝BC，因此BR＝错误!＝错误!.因为在平面ABC内,NQ⊥AC，BR⊥AC，因此NQ∥BR。又因为N为AB的中点，因此Q为AR的中点，BR因此NQ＝2＝错误!.同理，可得MQ＝错误!.因此在等腰△MNQ中,cosMNQ∠＝错误!＝错误!＝错误!。故二面角A－NP－M的余弦值为错误!。学必求其心得，业必贵于专精方法二由俯视图及(1)可知，AO⊥平面BCD。因为OC?平面BCD，OB?平面BCD，因此AO⊥OC，AO⊥OB.又OC⊥OB，因此直线OA，OB，OC两两垂直．如图(3)，以O为坐标原点，以错误!，错误!,错误!的方向为x轴，y轴,z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则A（0，0，3)，B（1，0，0），C(0，错误!，0)，D（－1,0,0)．因为M,N分别为线段AD,AB的中点，图(3)又由（1）知,P为线段BC的中点，因此M(－错误!，0，错误!）,N（错误!,0，错误!)，P（错误!，错误!，0)．于是错误!＝(1，0，－错误!),错误!＝（－1，错误!,0）,错误!＝(1,0，0)，错误!＝（0，错误!，－错误!)．设平面ABC的一个法向量n1＝(x1，y1，z1），则错误!即错误!有错误!从而错误!取z1＝1,则x1＝错误!，y1＝1，因此n1＝（错误!，1，1)．设平面MNP的一个法向量n2＝(x2,y2，z2)，则错误!即错误!学必求其心得，业必贵于专精有错误!从而错误!取z2＝1,因此n2＝（0，1,1)．设二面角A－NP－M的大小为θ,则cosθ＝错误!＝错误!＝错误!.故二面角A－NP－M的余弦值是错误!。思想升华（1）利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也能够利用垂直关系,经过向量共线确定点在线段上的地址；(2)利用夹角公式，能够求异面直线所成的角，也能够求二面角；(3）能够经过｜a|＝错误!，将向量的长度问题转变成向量数量积的问题求解．以下列图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点．(1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD;（2）求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．（1)证明设错误!＝p，错误!＝q，错误!＝r.由题意可知，｜p｜＝|q｜＝｜r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.错误!＝错误!－错误!＝错误!（错误!＋错误!)－错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精＝错误!（q＋r－p),∴错误!·错误!＝错误!(q＋r－p）·p＝错误!（q·p＋r·p－p2）12（a2cos60°＋a2cos60°－a2）＝0.∴错误!⊥错误!.即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD。(2）解由（1)可知错误!＝错误!(q＋r－p），∴|错误!｜2＝错误!(q＋r－p）2＝错误!［q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝错误!［a2＋a2＋a2＋2（错误!－错误!－错误!）］＝错误!×2a2＝错误!。∴｜错误!|＝错误!a。∴MN的长为错误!a.(3)解设向量错误!与错误!的夹角为θ。∵错误!＝错误!(错误!＋错误!)＝错误!（q＋r），错误!＝错误!－错误!＝q－错误!p，∴错误!·错误!＝错误!（q＋r)·(q－错误!p)＝错误!（q2－错误!q·p＋r·q－错误!r·p)＝错误!(a2－错误!a2cos60°＋a2cos60°－错误!a2cos60°)＝错误!（a2－错误!＋错误!－错误!)＝错误!。又∵|错误!｜＝|错误!|＝错误!a，学必求其心得，业必贵于专精→θθ∴AN·错误!＝｜错误!｜|错误!｜cos＝错误!a×错误!a×cos＝错误!.∴cosθ＝错误!.∴向量错误!与错误!的夹角的余弦值为错误!,从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为错误!.“两向量同向"意义不清致误典例：已知向量a＝（1，2，3)，b＝(x，x2＋y－2，y），并且a，b同向，则x,y的值分别为________．易错解析将a，b同向和a∥b混淆,没有搞清a∥b的意义：a、b方向相同或相反．解析由题意知a∥b,因此错误!＝错误!＝错误!，即错误!把①代入②得x2＋x－2＝0,（x＋2)(x－1)＝0，解得x＝－2,或x＝1当x＝－2时，y＝－6;当x＝1时，y＝3.当错误!时,b＝(－2，－4，－6）＝－2a，两向量a,b反向，不吻合题意，因此舍去．当错误!时,b＝(1,2，3)＝a，a与b同向,因此错误!答案1,3学必求其心得，业必贵于专精温馨提示(1)两向量平行和两向量同向不是等价的,同向是平行的一种情况．两向量同向能推出两向量平行，但反过来不行立,也就是说，“两向量同向”是“两向量平行"的充分不用要条件；（2）若两向量a，b满足a＝λb（b≠0）且λ〉0则a，b同向；在a，b的坐标都是非零的条件下，a，b的坐标对应成比率．方法与技巧1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理能够证明一些平行、共面问题；利用数量积运算能够解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转变成向量表示，用已知向量表示未知向量，尔后经过向量的运算或证明去解决问题．失误与防范1．向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a,·(b＋c)＝a·b＋a·c建立，但(a·b）·c＝a·(b·c)不用然建立．2．求异面直线所成的角，一般能够转变成两向量的夹角，但要注意学必求其心得，业必贵于专精两种角的范围不相同,最后应进行转变.A组专项基础训练(时间：45分钟）1．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么（)A.错误!·错误!<错误!·错误!B。AE，→·错误!＝错误!·错误!C.错误!·错误!>错误!·错误!D。错误!·错误!与错误!·错误!的大小不能够比较答案C解析取BD的中点F，连接EF，则EF綊错误!CD，因为〈错误!,错误!〉＝〈错误!，错误!〉〉90°，因为错误!·错误!＝0,错误!·错误〈!0，因此错误!·错误!>错误!·错误!.2．若是三点A（1，5，－2)，B(2，4，1），C(a,3,b＋2)在同一条直线上(）A．a＝3，b＝－3B．a＝6，b＝－1C．a＝3,b＝2D．a＝－2，b＝1学必求其心得，业必贵于专精答案C解析错误!＝（1,－1,3），错误!＝(a－1,－2，b＋4），因为三点共线，所以存在实数λ使错误!＝λ错误!，即错误!∴a＝3，b＝2.3．已知a,b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1,则异面直线a,b所成的角等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析如图，设错误!＝a，错误!＝b,错误!＝c，则错误!＝a＋bc，因此cos<错误!,错误!>＝错误!＝错误!，因此异面直线a,b所成的角等于60°，应选C。4．空间四点A(2,3，6）、B（4,3,2）、C(0,0,1）、D（2,0，2）的地址关系是( )A．共线B．共面C．不共面D．无法确定答案C解析∵错误!＝(2,0，－4),错误!＝（－2，－3,－5）,错误!＝(0，－3，－4）．假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x，y,使错误!＝x错误!＋y错误!，即错误!学必求其心得，业必贵于专精由①②得x＝y＝1，代入③式不行立，矛盾．∴假设不行立，故四点不共面．5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点，则错误!·错误!的值为( )A．a2B。错误!a2C。错误!a2D。错误!a2答案C解析如图，设错误!＝a，错误!＝b,错误!＝c，则｜a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°。错误!＝错误!(a＋b)，错误!＝错误!c，∴错误!·错误!＝错误!（a＋b）·错误!c＝错误!（a·c＋b·c）＝错误!(a2cos60°＋a2cos60°）＝错误!a2。6．已知2a＋b＝（0，－5，10）,c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|12，则以b,c为方向向量的两直线的夹角为________．答案60°解析由题意得,(2a＋b）·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝错误!＝错误!＝－错误!，学必求其心得，业必贵于专精∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.7．如图，在空间四边形OABC中，若OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为______．答案错误!解析∵错误!＝错误!－错误!,→∴OA·错误!＝错误!·（错误!－错误!)＝错误!·错误!－错误!·错误!＝｜错误!|｜错误!｜cos〈错误!,错误!>－｜错误!||错误!｜cos〈错误!，错误!〉＝8×4×cos135°8×6×cos120°＝24－162。cos<错误!，错误!>＝错误!＝错误!＝错误!。故错误!与错误!夹角的余弦值为错误!，即直线OA与BC所成角的余弦值为错误!.8．在空间四边形ABCD中，则错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!的值为________．答案0解析方法一如图,令错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c,则错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＝错误!·(错误!－错误!）＋错误!·(错误!－错误!）＋错误!·(错误!－错误!)学必求其心得，业必贵于专精a·(c－b）＋b·（a－c)＋c·(b－a)a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a0。方法二如图,在三棱锥A－BCD中，不如令其各棱长都相等，则正周围体的对棱互相垂直．∴错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝0。∴错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＝0。9．已知向量a＝(1,－3,2)，b＝（－2,1，1），点A(－3，－1，4)，B（－2,－2，2)．1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上可否存在一点E，使得错误!⊥b（O为原点）？解(1)∵a＝(1,－3，2)，b＝（－2,1，1)，∴2a＋b＝（0，－5，5），|2a＋b|＝错误!＝5错误!。(2）假设存在点E，其坐标为E（x,y，z），则错误!＝λ错误!,即（x＋3，y＋1,z－4)＝λ(1，－1，－2），∴错误!∴E(λ－3,－λ－1，－2λ＋4）,学必求其心得，业必贵于专精∴错误!＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．又∵b＝（－2，1,1)，错误!⊥b，∴错误!·b＝－2（λ－3）＋(－λ－1)＋(－2λ＋4）＝－5λ＋9＝0，∴λ＝错误!，∴E（－错误!,－错误!,错误!)，∴在直线AB上存在点E（－错误!，－错误!，错误!),使错误!⊥b.10．以下列图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以极点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°。1)求AC1的长；2）求BD1与AC夹角的余弦值．解（1）记错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c，则|a｜＝|b|＝|c|＝1，〈a，b>＝〈b，c>＝〈c，a〉＝60°，1a·b＝b·c＝c·a＝2。｜错误!｜2＝（a＋b＋c）2a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a)1＋1＋1＋2×（错误!＋错误!＋错误!)＝6，∴|错误!|＝错误!,即AC1的长为错误!。学必求其心得，业必贵于专精(2）错误!＝b＋c－a，错误!＝a＋b，∴｜错误!｜＝错误!,｜错误!|＝错误!，错误!·错误!＝(b＋c－a)·(a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1。cos〈错误!，错误!>＝错误!＝错误!。AC与BD1夹角的余弦值为错误!。B组专项能力提升(时间：30分钟）11．设向量a、b、c不共面，则以下会集可作为空间的一个基底的是(）A．｛a＋b，b－a,a｝B．{a＋b，b－a,b}C．｛a＋b，b－a，c}D．{a＋b＋c，a＋b，c｝答案C解析A中，a＝错误!(a＋b）－错误!（b－a)，故三向量共面，不能够作基底；B中,b＝错误!(a＋b)＋错误!（b－a)，故三向量共面，不能够作基底；中，c＝(a＋b＋c）－（a＋b)，故三向量共面,不能够作基底．12．以下命题中,正确的命题个数为（)①若a,b共线，则a与b所在直线平行；②若｛a，b,c｝为空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的学必求其心得，业必贵于专精另一个基底；③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p;④对空间任意一点O和不共线三点A、B、C，若错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!(其中x，y，z∈R），则P、A、B、C四点共面．A．1B．2C．3D．4答案