高中数学第三单元三角恒等变换321倍角公式学案-3648

学必求其心得，业必贵于专精3。2.1倍角公式学习目标1。会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。2。能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵便地将公式变形运用.知识点一二倍角公式的推导思虑1二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式。依照前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？思虑2依照同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sinα或cosα表示cos2α?梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosα，（S2α）cos2α＝cos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α,（C2α）tan2α＝错误!.（T2α）知识点二二倍角公式的变形（1）公式的逆用2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝________，cos2α－sin2α＝________，错误!＝tan2α.（2）二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式1学必求其心得，业必贵于专精升幂公式1＋cos2α＝________，1－cos2α＝________，1＋cosα＝______________，1－cosα＝____________.降幂公式cos2α＝错误!,sin2α＝错误!.种类一给角求值例1求以下各式的值。(1）cos72°cos36°；（2)错误!－错误!cos215°;错误!；（4)错误!－错误!。反思与感悟对于给角求值问题，一般有两类：直接正用、逆用二倍角公式，结合引诱公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转变，一般可以化为特别角。(2）若形式为几个非特别角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式。追踪训练1求以下各式的值：2π（1）coscos错误!cos错误!；(2)错误!＋错误!。7种类二给值求值2学必求其心得，业必贵于专精例2（1)若sinα－cosα＝错误!，则sin2α＝________。(2）若tanα＝错误!,则cos2α＋2sin2α等于（）A.错误!B。错误!C。1D.错误!1引申研究在本例（1）中，若改为sinα＋cosα＝3，求sin2α.反思与感悟(1）条件求值问题常有两种解题路子:①对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢.②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论。2）一个重要结论：（sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.追踪训练2已知tanα＝2。(1）求tan错误!的值;（2）求错误!的值.种类三利用倍角公式化简例3化简错误!。3学必求其心得，业必贵于专精反思与感悟(1）对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求出值的应求出值.②使三角函数种数尽量少.③使三角函数式中的项数尽量少。④尽量使分母不含有三角函数.⑤尽量使被开方数不含三角函数.2）化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角.②降幂或升幂。追踪训练3化简以下各式:1）错误!＜α＜错误!，则错误!＝________；2)α为第三象限角,则错误!－错误!＝________。π1。sincos错误!的值等于(）212A.错误!B。错误!C。错误!D.错误!2.sin4错误!－cos4错误!等于（）A.－错误!B。－错误!C。错误!D。错误!tan7.5°3.1－tan27.5°＝________。4。设sin2α＝－sinα,α∈错误!，则tan2α的值是________。5。已知sin错误!＝错误!，0〈x〈错误!，求错误!的值.1。对于“二倍角”应该有广义上的理解，如:8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是错误!α的二倍；错误!是错误!的二倍；错误!是错误!的二倍;错误!＝错误!（n∈N＋）.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵便多样，应用广泛。二倍角的常用形式:①1＋cos2α＝2cos2α；②cos2α＝错误!；4学必求其心得，业必贵于专精③1－cos2α＝2sin2α；④sin2α＝错误!.5学必求其心得，业必贵于专精答案精析问题导学知识点一思虑1sin2α＝sin(α＋α）sinαcosα＋cosαsinα2sinαcosα；cos2α＝cos（α＋α）cosαcosα－sinαsinαcos2α－sin2α；tan2α＝tan(α＋α)＝错误!。思虑2cos2α＝cos2α－sin2αcos2α－（1－cos2α）＝2cos2α－1;或cos2α＝cos2α－sin2α＝（1－sin2α）－sin2α＝1－2sin2α。知识点二（1）错误!sin2αcos2α2)2cos2α2sin2α2cos2错误!2sin2错误!题型研究例1解（1)cos36°cos72°＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。22°＝－错误!。（2)错误!－错误!cos15°＝－错误!(2cos15°－1）＝－错误!cos30(3）错误!＝2·错误!12·tan150°＝－2错误!。(4）错误!－错误!＝错误!＝错误!4sin30°cos10°－cos30°sin10°＝2sin10°cos10°＝错误!＝4.追踪训练1(1）错误!（2）4例2(1）错误!(2）A引申研究解由题意，6学必求其心得，业必贵于专精得（sinα＋cosα）2＝错误!，1＋2sinαcosα＝错误!，即1＋sin2α＝错误!,sin2α＝－错误!.追踪训练2解(1）tan错误!＝错误!＝错误!＝－3.（2）错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝1。例3解原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝1。追踪训练3（1)sinα－cosα(2）0当堂训练1．B2。B3。1－错误!4.错误!5．解原式＝错误!＝错误!2sin错误!。sin错误!＝cos错误!＝错误!，且0〈x<错误!，∴错误!＋x∈错误!