人教九年级上册数学第24章《圆》讲义第15讲圆有关性质有含

人教版九年级上册数学第24章《圆》讲义第15讲圆相关性质有含人教版九年级上册数学第24章《圆》讲义第15讲圆相关性质有含1/43人教版九年级上册数学第24章《圆》讲义第15讲圆相关性质有含第15讲圆的相关性质第一部分知识梳理知识点一：圆的相关看法1、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。2、圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”3、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。（3）圆是旋转对称图形。知识点二：弦、弧与圆的相关定义；1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）2、直径：经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）直径等于半径的2倍。3、半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。4、弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）等弧：在同一个圆中，能够完好重合的弧叫做等弧。知识点三：垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，并且均分弦所对的弧。推论1：（1）均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且均分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直均分线经过圆心，并且均分弦所对的两条弧。（3）均分弦所对的一条弧的直径垂直均分弦，并且均分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。知识点四：内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。第1页第二部分考点精讲精练考点1、圆的认识例1、生活中各处有数学，以下原理运用错误的选项是（）A．建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点之间线段最短”的原理B．维修损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形牢固性”的原理C．测量跳远的成绩是运用“垂线段最短”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”原理例2、如图，小明顺着大多数圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的行程分别为a、b，则a与b的大小关系是（）A、a=bB、a＜bC、a＞bD、不能够确定例3、到点O的距离等于8的点的会集是．例4、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是______．例5、如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=10°5，求∠D的度数．例6、如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE=DF．求证：AF=BE．贯穿交融：1、有以下四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不用然是半圆．其中错误说法的个数是（）A、1B、2C、3D、42、如图，一枚半径为r的硬币沿着直线转动一圈，圆心经过的距离是（）A．4πrB．2πrC．πrD．2r3、以下列图，三圆同心于O，AB=4cm，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积为cm2．第2页4、如图，点A、B在⊙O上，且AB=BO．∠ABO的均分线与AO订交于点C，若AC=3，则⊙O的周长为______．（结果保留π）5、已知AB为⊙O的直径，弦ED与AB的延长线交于⊙O外一点C，且AB=2CD，∠C=25°，求∠AOE的度数．考点2、弧、弦、圆心角的关系例1、若是两个圆心角相等，那么( )A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对例2、若⊙O的弦AB等于半径，则AB所对的圆心角的度数是（）A．30°B．60°C．90°D．120°例3、在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，若是有一组量相等，那么，它们所对应的其他量也相等．如图，AB、CD是⊙O的两条弦①若AB=CD，则有=，=②若弧AB=弧CD，则有=，=③若∠AOB=∠COD，则有=，=．例4、如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC=3°0．过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB＝．例5、如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CN=4cm，则CD=cm．例6、已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD=DC．第3页贯穿交融：1、以下语句中，正确的有（）A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B．均分弦的直径垂直于弦C．长度相等的两条弧相等D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴2、如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC=（）A．40°B．45°C．50°D．60°3、如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=度．4、在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆心角是度．5、已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是的三均分点，OC，OD分别与AB订交于点E，F．求证：CD=AE=BF．考点3、圆周角的应用例1、如图，正方形ABCD内接于圆O，点P在上．则∠BPC=（）A．35°B．40°C．45°D．50°例2、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB=3°5，则∠ADC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°第4页例3、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O直径，若∠ABC＝50°，则∠CAD＝________°．例4、AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角极点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为．例5、已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的均分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（2）如图②，若∠CAB=6°0，求BD的长．例6、已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．（1）求四边形AEOF的面积．（2）设AE=x，S△OEF=y，写出y与x之间的函数关系式，求x取值范围．贯穿交融：1、如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（）A．70°B．35°C．45°D．60°2、如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC等于（）A．65°B．35°C．70°D．55°3、如图，AB为⊙O的直径，BC=2cm，∠CAB=30°，则AB=cm．4、如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1，⊙O的弦AD交⊙O1于C，则：（1）OC与AD的地址关系是______；（2）OC与BD的地址关系是______；（3）若OC=2cm，则BD=______cm．第5页5、如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧BA等于弧AF，BF与AD交于E，求证：（1）∠BAD=∠ACB；（2）AE=BE．考点4、圆内接四边形例1、四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）A．1：3：2：4B．7：5：10：8C．13：1：5：17D．1：2：3：4例2、如图，AB是半圆的直径，D是的中点，∠B=40°，则∠A等于（）A．60°B．50°C．80°D．70°例3、如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，2），M是劣弧OB上一点，∠BMO=12°0，则⊙C的半径长为（）A．4B．3C．2D．2例4、如图，已知圆心角∠BOC=8°0，那么圆周角∠BAC=度．例5、如图，ABCD是圆内接四边形，E为DA延长线上的一点，若∠C=45°，AB=，则∠BAD=，点B到AE的距离为．例6、如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=12°0．（1）求证：AB为⊙C直径；（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．贯穿交融：1、一条弦把圆周分成1：4两部分，则这条弦所对的圆周角为（）第6页A．36°B．144°C．150°D．36°或144°2、如图，A，B，C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠AOC=140°，∠CBD的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．110°3、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC=30°，则∠ADC=．（2）（3）4、如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，E为弧BC上一点，以下结论：①∠1=∠2；②∠3=2∠4；③∠3+∠5=180°．其中正确的选项是（填序号）．5、如图，已知AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心OB为半径作圆，且⊙O过A点，过A作AD∥BC交⊙O于D，求证：（1）AC是⊙O的切线；（2）四边形BOAD是菱形．考点5、垂径定理例1、在圆中，以下命题中正确的选项是（）A．垂直于弦的直线均分这条弦B．均分弧的直线垂直于弧所对的弦C．均分弦的直径垂直于这条弦D．均分弦所对的两条弧的直线均分这条弦例2、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三均分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（）A．62B．9－2C．7D．25－32第7页例3、如图，⊙O中，弦CD与直径AB订交于点E，∠AEC=4°5，OF⊥CD，垂足为F，OF=2，DE=3，则DC=．例4、已知⊙O内有一点M，过点M作圆的弦，在全部的弦中，最长的弦的长度为10cm，最短的弦的长度为8cm，则点M与圆心O的距离为cm．例5、已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O订交于点A、B，PD与⊙O订交于C、D，AB=CD．求证：（1）PO均分∠BPD；（2）PA=PC．例6、如图①所示，已知点0是∠EPF的均分线上的点，以点0为圆心的圆与角的两边分别交于A，B和C，D．求证：AB=CD．（1）若角的极点P在圆上，如图②所示，上述结论成立吗？请加以说明；（2）若角的极点P在圆内，如图③所示，上述结论成立吗？请加以说明．贯穿交融：1、如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过圆心O，则折痕AB长为（）A．B．C．D．82、如图，两个圆都以O为圆心，则下面等式必然成立的是（）A．AB=CDB．AB=BCC．BC=CDD．AD=2BC3、如图：已知∠ACB=90°，AB、CD的交点P是CD的中点，若AB=10，CD=8，则AP的值为．第8页（1）（2）（3）4、如图，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过点O，若CD=4，EM=6，则⊙O的半径为．5、如图，⊙O中，弦AB，CD订交于P，且四边形OEPF是正方形，连接OP．若⊙O的半径为5cm，，求AB的长．考点6、垂径定理的实质应用例1、如图，依照天气预告，某台风中心位于A市正东方向300km的点O处，正以20km/h的速度向北偏西60°方向搬动，距离台风中心250km范围内都会碰到影响，若台风搬动的速度和方向不变，则A市受台风影响连续的时间是（）A．10hB．20hC．30hD．40h例2、如图，直径为20cm，截面为圆的水槽⊙O中有一些水，此时水面宽AB=12cm，今后水面上升了必然距离，但仍没有高出圆心，此时水面宽AB=16cm，则水面上升了cm．例3、以下列图，已知B、C两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区A与B相距15千米，与C相距20千米，以点A为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B、C两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公路可否会穿过自然保护区？试经过计算加以说明．例4、高致病性禽流感是一种传染性极强的传生病．（1）养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，若是不采用任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，今后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，全部的鸡都会感染禽流感？（2）为防范禽流感延长，防疫部门规定，离疫点3千米范围内为捕杀区．全部的禽类第9页全部捕杀．离疫点3～5千米范围内为免疫区，全部的禽类逼迫免疫；同时对捕杀区和免疫区的农村，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB经过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路AB的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号）贯穿交融：1、当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数以下列图（单位：cm），那么该圆的半径为（）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm2、某施工队在修建高铁时，需修建随，如图是高铁地道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA的长为．3、台风“菲特”来袭，宁波余姚被雨水“围攻”，如图，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB=60米，拱高PM=18米，当洪水泛滥，水面跨度减小到30米时要采用紧急措施，当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米，问可否要采用紧急措施？请说明原由．4、如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，且∠QPN=30°．点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机从P沿公路MN前行，假设拖拉机行驶时周围100m以内会碰到噪声影响，那么该所中学可否会碰到噪声影响，请说明原由，若受影响已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多长？第三部分课堂小测1、以下说法错误的选项是（）A、直径是圆中最长的弦B、长度相等的两条弧是等弧C、面积相等的两个圆是等圆D、半径相等的两个半圆是等弧2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC均分∠BAD，则以下结论正确的选项是（）3、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BD为⊙O的直径，则BD等于( )A.4B.6C.8D.12第10页4、在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°5、“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（）A．寸B．13寸C．25寸D．26寸6、如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3B．4C．32D．427、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形．则点C的坐标是（）A．（1，2）B．（1，3）C．（2，3）D．（2，4）8、在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90°，则弧所对的弦长是．9、已知圆中一弦将圆分为1：2的两条弧，则这条弦所对的圆心角为度．10、如图，圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB=度．11、如图，等边三角形ABC的三个极点都在⊙O上，D是上任一点（不与A、C重合），则∠ADC的度数是度．12、如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=．第11页13、如图，A，B，C三点在⊙O上，且AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为F，若∠A=30°，OF=3，则OA=，AC=，BC=．14、如图，半圆O的直径AB=8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．15、如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数．16、如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直均分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=8cm，CD=2cm．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图印迹）；（2）求出（1）中所作圆的半径．17、如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．18、如图，P是⊙O外一点，PAB，PCD分别与⊙O订交于A，B，C，D．（1）PO均分∠BPD；（2）AB=CD；（3）OE⊥CD，OF⊥AB；（4）OE=OF．从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明．第四部分提高训练第12页1、如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三均分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=22，则PA+PB的最小值是。2、如图，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且CO⊥AB，在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF，且点I，F在OC上，点H，E在半圆上，可证：IG=FD．小云发现连接图中已知点获取两条线段，即可证明IG=FD．请回答：小云所作的两条线段分别是OH和OE；证明IG=FD的依照是矩形的对角线相等，同圆的半径相等和等量代换．3、如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，3）为圆心，以23长为半径作⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求出CP所在直线的剖析式；（2）连接AC，央求△ACP的面积．4、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB=15°，OE=23．（1）求⊙O的半径；（2）将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为．第五部分课后作业1、中央电视台“快乐辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（）A．一倍B．二倍C．三倍D．四倍2、以下语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②均分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．第13页A．1个B．2个C．3个D．4个3、⊙O中，M为的中点，则以下结论正确的选项是（）A．AB＞2AMB．AB=2AMC．AB＜2AMD．AB与2AM的大小不能够确定4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=30°，则∠ACB的大小为（）A．60°B．30°C．45°D．50°5、以下说法错误的选项是（）A．圆内接四边形的对角互补B．圆内接四边形的邻角互补C．圆内接平行四边形是矩形D．圆内接梯形是等腰梯形6、以下列图，AB是⊙0的直径，AC为弦，0D⊥AC于点D，且0D=1cm，则BC的长为（）A．3cmB．2cmC．1.5cmD．4cm7、四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，∠DCE=70°，则∠BOD等于（）A．100°B．110°C．140°D．70°8、如图，AB为⊙O的直径，⊙C与⊙O内切于点A，且经过点O，⊙O的弦AE交⊙C于D，则以下关系不成立的是（）A．OD⊥AEB．OD=12BEC．OD∥BED．∠B=60°9、如图，A城气象台测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时10千米的速度沿北偏东60°的BF方向搬动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．若A城碰到此次台风的影响，则A城受到此次台风影响的时间为（）A．103小时B．10小时C．5小时D．20小时10、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=．11、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为。第14页12、一种花边是由如图的弓形组成的，弧ACB的半径为5，弦AB=8，则弓形高CD为．13、已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠A：∠B：∠C=2：5：7，则∠D=．14、圆心到圆的两条平行弦的距离分别为2和5，则这两条平行弦间的距离为．15、如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=50°，∠OBC=40°，求∠OAC的度数．16、如图，在⊙O中，C为的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于E，连AE．（1）求证：AE是⊙O的直径；（2）求证：AE=DE．17、如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，以AB为直径作圆，交BC于点E，圆心为O．在EB上截取ED=EC，连接AD并延长，交⊙O于点F，连接OE、EF．（1）试判断△ACD的形状，并说明原由；（2）求证：∠ADE=∠OEF．18、有一石拱桥的桥拱是圆弧形，当水面到拱顶的距离小于米时，需要采用紧急措施．以下列图，正常水位下水面宽AB=60米，水面到拱顶的距离18米．①求圆弧所在圆的半径．②当洪水泛滥，水面宽MN=32米时，可否需要采用紧急措施？计算说明原由．19、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB=弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．（1）试说明：DE=BF；（2）若∠DAB=6°0，AB=6，求△ACD的面积．20、如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为多少？参照答案第15讲圆的相关性质第二部分考点精讲精练第15页考点1、圆的认识例1、A例2、A例3、解：到点O的距离等于8的点的会集是：以点O为圆心，以8为半径的圆．故答案是：以点O为圆心，以8为半径的圆．例4、例5、例6、贯穿交融：1、B2、B3、4、5、考点2、弧、弦、圆心角的关系例1、D例2、B例3、例4、例5、第16页例6、贯穿交融：1、A2、A3、4、5、解：连接AC、BD，∵C，D是的三均分点，∴AC=CD=BD，∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，∴△ACO≌△DCO．∴∠ACO=