【知识点解析】《利用向量方法证明空间中的垂直关系》课堂探究3

利用向量方法证明空间中的垂直关系指点迷津

1．线线垂直

设直线l1，l2的方向向量分别是

，

，若要证明l1⊥l2，只要证

，即证明

．

2．线面垂直

（2）根据线面垂直的判定定理．

（1）设直线l的方向向量为

，平面α的法向量是

，若要证l⊥α，只需证∥．指点迷津

3．面面垂直

（1）根据面面垂直的判定定理．

（2）证明两个平面的法向量垂直，则可证明两个平面垂直．在正棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．分析：证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理，转化为线面垂直、线线垂直证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直．活动与探究求证：（1）平面GEF⊥平面PBC；（2）EG是PG与BC的公垂线．在正棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．证明：方法一：如图所示，以三棱锥的顶点P为原点，活动与探究求证：（1）平面GEF⊥平面PBC；以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．在正棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．证明：令PA＝PB＝PC＝3，活动与探究求证：（1）平面GEF⊥平面PBC；B（0，3，0），C（0，0，3），E（0，2，1），则A（3，0，0），F（0，1，0），G（1，1，0），P（0，0，0）．在正棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．活动与探究求证：（1）平面GEF⊥平面PBC；∴PA∥FG．证明：于是

＝（3，0，0），＝（1，0，0），故

，在正棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．活动与探究求证：（1）平面GEF⊥平面PBC；证明：而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC．又FG

平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC．在正棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．证明：方法二：同方法一，建立空间直角坐标系，活动与探究求证：（1）平面GEF⊥平面PBC；则E（0，2，1），F（0，1，0），G（1，1，0）．∴＝（0，－1，－1），

＝（1，－1，－1）．在正棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．活动与探究求证：（1）平面GEF⊥平面PBC；证明：设平面EFG的法向量是

＝（x，y，z），则有，．∴令y＝1，得z＝－1，x＝0，在正棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．活动与探究求证：（1）平面GEF⊥平面PBC；证明：即

＝（0，1，－1）．而显然

＝（3，0，0）是平面PBC的一个法向量，这样

，∴

，在正棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．活动与探究求证：（1）平面GEF⊥平面PBC；证明：即平面PBC的法向量与平面EFC的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC．在正棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．活动与探究求证：（2）EG是PG与BC的公垂线．证明：∵＝（1，－1，－1），

＝（1，1，0），＝（0，－3，3），∴＝1－1＝0，

＝3－3＝0，在正棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．活动与探究求证：（2）EG是PG与BC的公垂线．证明：∴E