定积分的定义

定积分微积分基本定理的叙述、证明与应用，是本章的重点，也是全书的核心所在.定积分的概念我们先从几个例子谈起.例1变力作功设有一质点受到力F的作用而在x轴上运动，F的方向与x轴平行，其大小|F1=f⑴与质点所在的位置有关。问题：当质点从a位移到b时，变力f(x)作的总功是多少(图7—1)?帽7"7-2例如，一个质量为m的人造卫星，要把它从地面送上太空，要计算地心引力对它作的功，如果把铅垂线选作x轴，则这时的力为f(x)=-^m。X2常力作功：(功=力乂距离)w=F-S变力f(x)是随x变化的连续量，功具有可加性，考虑将其一点点求和。因此这是个连续量连续作用的积累问题.分4步解决1、分割在区间［前中插入n个分点.a=x<x<x<...<x=b。012n第i个小区间为［x,x］，长度为Ax=x-x，i=1,2,n

i-1iiii-12、取近似当¥很小时，可以认为f(x)的变化较小，取&e［x,尤］，则质点从x到％过程中，力所作的功ii-1ii-1i△w浇f(E.)Ax3、求和力所作的总功W牝2f(&)Axiii=14、取极限记X=max｛华｝，贝。W=lim2f(E)Ax很i=1ii例2质点作变速直线运动的路程设质点作变速直线运动，速度为v=顷)，求质点在时间间隔［/对内所走过的路程，匀速直线运动：路程=速度X时间S=vt・变速v(t)，?路程具有可加性因此这是个连续量连续作用的积累问题.分4步解决1、分割在区间［前中插入n个分点：。=t0¥<...</b。第i个小区间为［t,t］，长度为At=t-1，i=1,2,n

i-1iiii-12、取近似当At很小时，可以认为v(t)的变化较小，取Ee［t,t］，则质点从t到t过程中，所走过的路程ii-1ii-1iAS牝v(E.)At3、求和在［a,b］内走过总路程S^2v(E)Atiii=14、取极限记人=max｛At｝，贝DS=lim2v(E)At1<i<n1膈.，11例3曲边梯形的面积所谓曲边梯形，是指由三条直边及一条曲边所围成的图形。垂直于底边的直线交曲边只有一点。ra7-3图7-4设三条直边为y=0,x=a，x=b曲边是连续曲线y=f(x)(f(x)>0)分4步解决1、分割在区间［a,b］中插入n个分点.a=x<x<x<...<x=b。012n第i个小区间为L,x］，长度为Ax=x-x，i=1,2,ni-1iiii-12、取近似当¥很小时，可以认为f(x)的变化较小，取&.eL/x］，则小曲边梯形的面积近似于AS牝f(&■)Ax.3、求和曲边梯形的面积S，lLf(&)Axiii=14、取极限记人=max"则S=lim£f(&)Ax图7-5设想曲边梯形是由线段上,y)|0<y<f(x。)｝当x0从a变到b时扫出来的(图7-5)。如果函数f(x)等于常数，这时图形是矩形，面积很易求得。对一般的连续函数f(x)，困难就在于当x0从a变到b时，f(x)也在连续的变化。因此，求曲边梯形的面积，也就是求一个连续量连续变化的“积累”问题，从这个意义来看，例3是例1、例2的几何“解释”。这些例子，都归结为求某种和式的极限。我们把它概括抽象出来，便得到下面的定积分定义。定义7.1设函数f⑴在区间［。,］上有定义.用分点a=x<x<xv・・・vx=b

012n将区间任意分成n个小区间，小区间的长度为Ax=x.-x./F,2,...,n，记X=max{&}，在每个小区间上任取一点.L,x］，作和式1<z<n。=£f弓)Ax.-i=1若当—0时，和式.的极限存在(设为I)，则称f(x)在［a,b］是可积的，极限值I称为f(x)在［a,b］的定积分，记作里f(x)・概括起来，也就是I=limXf(&.)Ax.=jbf(x)dxA^°.=ia注1这是一种新的极限注2极限的存在与否与［a,b］的分法无关，与§志丁x,］的取法无关！注3和式e=£f&)Ax称为黎曼和iii=1a,b分别称为积分下限和积分上限，［a,b］积分区间f(x)称为被积函数，x称为积分变量定积分是一个数，是黎曼和的极限等价定义：limf(x)=A=Vs>0，38>0，x■x0当0<1x-x0l<8时，有|f(x)-Al<slimnf(&)Ax=I=Vs>0，38>0，项i=i..对［a,b］的任意分法及V§日x,x］，当X<6时,有|£f(&)Ax-11<£iii=1注意两个任意一一对区间的分法任意和七在子区间的取法任意。i正因为此，使黎曼和的极限比通常函数的极限复杂得多。对函数极限，当0<|x-xo1<8时，对每个X来说，f(x)是唯一确定的；而对黎曼和极限，当/时，乎f&心不是唯一确定的，这时，区间的分法有无穷多种，对每一个分J(SiA-^ii=1法，&.的取法又有无穷多种。等价定义：设f(X)在［a,b］有定义，I是一个确定的数，若Vs>0，士〉0，对［a,b］的任意分法及V&.日x1,x.］，当X<8时，有I私f(&)Ax-1l<siii=1则称I为f(x)在［a,b］的定积分，记作I=jbf(x).并称f(x)在［a,b］可积。a变力f(x)使质点沿直线从a移到b时所作的功是f(x)在［a,b］的定积分(f(x)作用的方向与位移的方向重合)W=jbf(x)dxa变速直线运动的质点所走过的路程是速度V任)在时间区间［a,b］上的定积分，即S=jbv(t)dta定积分的几何意义jbf(x)dxa当f(x)>0时，jbf(x)dx是曲边梯形的面积a当f(x)<0(a<x<b)时，jbf(x)dx是曲边梯形的面积的负值a

图7钿图7-6i定积分可视为对连续量求和离散量求和£a.自变量，从1离散地变到ni=1连续量求和jbf(x)dx自变量连续地从a变到ba对积分变量x图7钿图7-6i£a，i只是求和指标，是哑元用什么字母表示无关ii=1如1=刘1=1001i2k2n2

i=1k=1n=1同理jbf(x)dx=jbf(t)dt=jbf(u)duaaa注意：这与不定积分有本质的区别，不定积分中，积分变量是不能随便改的两个规定：1、当a=b时，规定jbf(x)dx=0a2、当a>b时规定jbf(x)dx=-jaf(x)dx这个等式不论a，b谁大谁小均成立微积分基本定理定理7.11(微积分基本定理)设f⑴在［a,对上可积，f⑴在脱,。］连续，且是f⑴jbf(x)dx=F(b)-F(a)-在",。］的任意一个原函数，即F，(了)=f(x)，Vxe［a,b］jbf(x)dx=F(b)-F(a)-lim工f(E)Ax=jbf(x)dx=F(b)一F(a)A^°,=1a1、从第一个等式看，定积分是黎曼和的极限，其背景是求连续量连续作用的总和或积累.2、从第二个等式看，它是微分为f(x)dx的函数F(x)在a，b两点的函数值之差.由此我们可以看到微积分基本定理的意义：1、从上述2知，f(x)dx含有微分的意思.但从定积分的定义来看，定积分是作为求连续量连续作用的总和或积累引入，是黎曼和的极限，很难看出与微分有联系.而不定积分才是作为微分运算的逆运算引入.因此，意义之一是它在理论上，把积分学中的两种积分统一到一起.2、在计算上使定积分的计算大大前进了一步，将求黎曼和的极限转化为求不定积分，使定积分的计算成为可能，而且可以机械化