介值定理及其应用

邯郸学院本科毕业论文题目介值定理及其应用学生姚梅指导教师王淑云教授年级2008级本科专业数学与应用数学二级学院数学系（系、部）邯郸学院数学系2012年6月郑重声明本人的毕业论文是在指导教师王淑云的指导下独立撰写完成的.如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督.特此郑重声明.毕业论文作者（签名）:介值定理及其应用摘要介值定理是闭区间上连续函数的重要性质之一，在《数学分析》教材中，一般应用有关实数完备性定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明.本课题通过构造辅助函数，应用区间套定理、致密性定理、柯西收敛准则、确界原理对介值定理进行证明.介值定理应用非常广泛，应用介值定理能很巧妙的解决一些问题.如利用介值定理可证明根的存在性、证明不等式、证明一些等式以及解决实际问题等.此外本文还对介值定理进行了推广，并且列举了一些具体的例题来展示推广的介值定理的应用.关键词：介值定理连续函数根的存在定理应用IntermediatevaluetheoremanditsapplicationYaoMeiDrectedbyProfessorWangShuyunYaoMeiABSTRACTIntermediatevaluetheoremisacontinuousfunctiononaclosedintervalinanimportantproperties.In"mathematicalanalysis"textbook,generalapplicationaboutrealnumbercompletenesstheoremofsupremumprinciple,themonotoneboundedtheorem,nestedintervaltheorem,finitecoveringtheoremtoprove.Thistopicthroughtheconstructionofauxiliaryfunction,applicationofnestedintervaltheorem,compacttheorem,Cauchyconvergencecriterion,principleofsupremumandinfimumprovesthatintermediatevaluetheorem.Intermediatevaluetheoremiswidelyusedandthistheoremcanbeverycleverlytosolvesomeproblems.Suchastheuseofintermediatevaluetheoremcanbeproofoftheexistenceoftheroot,theproofofinequality,thatsomeequationandsolvingpracticalproblems.Inadditiontotheintermediatevaluetheoremisgeneralizedandlistssomespecificexamplestodemonstratethewideapplicationofintermediatevaluetheorem.:IntermediatevaluetheoremContinuousfunctionTheexistencetheoremofrootApplicationTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"摘要 I外文页 II刖言 1\o"CurrentDocument"1介值定理及其证明方法 2\o"CurrentDocument"1.1介值定理的内容 2\o"CurrentDocument"1.2介值定理的四种证明方法 2121应用确界原理 2122应用区间套定理 3\o"CurrentDocument"123应用致密性定理证明 41.2.4应用柯西收敛准则证明 6\o"CurrentDocument"2介值定理的应用 7\o"CurrentDocument"2.1利用介值定理判断方程根的存在性 7\o"CurrentDocument"2.2介值定理在解不等式中的应用 9\o"CurrentDocument"2.3介值定理在证明等式中的应用 11\o"CurrentDocument"2.4介值定理在实际问题中的应用 13\o"CurrentDocument"3介值定理的推广 15\o"CurrentDocument"3.1一元函数介值定理的推广 153.1.1推广介值定理的内容 15\o"CurrentDocument"3.1.2推广的介值定理的一个应用 16\o"CurrentDocument"3.2二元函数的介值定理 19\o"CurrentDocument"3.2.1二元函数介值性定理的内容 193.2.2二元函数介值定理的应用 20\o"CurrentDocument"参考文献 22\o"CurrentDocument"致谢 22-AX. —1—前言介值定理是闭区间上连续函数的一个重要性质.这一定理虽然简单，但应用却异常广泛，微积分理论中有不少定理的证明要用到该定理.介值定理( Intermediatevaluetheorem)首先由伯纳德•波尔查诺提出和证明•对波尔查诺来说有点不幸的是：他的数学著作多半被他的同时代的人所忽视，他的许多成果等到后来才被重新发现，但此时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了•华东师范大学版的《数学分析》对介值定理的描述是：设函数f在闭区间la,订上连续,且f(a)丰f(b)•设卩为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a)＜卩＜f(b)或f(a)＞卩＞f(b))，则至少存在一点x0g(a,b)，使得f(x0)=卩•介值定理是闭区间上连续函数的重要性质之一，在《数学分析》教材中一般应用有关实数完备性的6个基本定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明.在这里我们通过巧妙地构造辅助函数，应用区间套定理，致密性定理，柯西收敛准则以及确界原理来证明.介值定理在连续函数中具有广泛的应用性.比如判断方程根的存在性、求解不等式、证明一些等式、解决实际问题等.当然还有其它许多关于介值定理的研究，他们多数都是针对介值定理的某一方面而进行的，例如叶国柄发表在陕西工学院学报的一篇文章《介值定理的推广及其应用》，一方面他把闭区间推广为任意区间，另一方面从常数f(a)和f(b)入手，f(a)和f(b)也可以为—g或+8.利用推广的介值定理，得到了求一类方程绝对误差为0.1m(mgN)的近似解的一种好方法.此外二元函数介值定理的介绍，拓宽了研究范围，加深了学习难度.使我们能够更加努力地学习.1介值定理及其证明方法1・1介值定理的内容定理［1］设函数f在闭区间［a,b］上连续，且f(a)丰f(b)•设r为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a)<R<f(b)或f(a)>R>f(b))，则至少存在一点xe(a,b)，使得0f(x0)二r-这个定理表明，若f在［a,b］上连续，又不妨设f(a)<f(b)，则f在［a,b］上必能取得区间［f(a),f(b)］上的一切值，即有［f(a),f(b)］uf(［a,b］).推论(根的存在定理)若函数f在闭区间［a,b］上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)<0)，则至少存在一点xe(a,b)，使得0f(x)=0.0即方程f(x)二0在(a,b)内至少有一个根•根的存在定理也就是零点定理•在下面一些问题的证明中，我们会多次应用根的存在定理也即零点定理来解决一些问题，并且借用根的存在定理证明介值定理.1.2介值定理的四种证明方法121应用确界原理［1］不妨设f(a)<u<f(b)•令g(x)=f(x)-u，贝Ug也是［a,b］上的连续函数，且g(a)<0,g(b)>0•于是定理的结论转化为：存在xe(a,b),使得g(x)二0•这个简单的情00形即为根的存在性定理.记E=4|g(x)>0,xe［a,b］｝显然E为非空有界集(Eu［a,b］且beE),故由确界原理，E有下确界，记x=infE.因由连续函数的局部保号性，存在5>0,使得在［a,a+5)内g(x)<0,0在(b-5,方］内£(x)>0,由此易见x丰a,x丰b,即xe(a,b).000下证g(x)二0•倘若g(x)丰0,不妨设g(x)>0,则又由局部保号性，存在U(x;n)0000(u(a,b)),使在 g(x)>0,特别有g(x-—)>0nx-—eE.但这与x二infE相矛盾,02020故必有g(x)二0•01.2.2应用区间套定理［i］我们可以把问题转换为证明根的存在定理，即若函数g在［a,b］上连续g(a)<0,g(b)>0，则存在xe(a,b)使得g(x)二0•00将［a,b］等分为两个子区间［a,c］与［c,b］•若g(c)二0，则c即为所求；若g(c)丰0，则当g(c)>0时记［a,b］=［a,c］，当g(c)<0时记［a,b］=［c,b］•于是有g(a)<0,g(b)>0，TOC\o"1-5"\h\zi ii i ii且［a,b］u［a,b］，b一a=(b-a).ii ii2再从区间［a,b］出发，重复上述过程，得到：或者在［a,b］的中点j上有g(c)=0，i ii i ii或者有闭区间［a,b］，满足g(a)<0,g(b)>0，且［a,b］u［a,b］，b-a二 (b-a)•2 2 2 2 2 ii 2 2 22将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：在某一区间的中点c上有g(c)二0，即c即为所求；i i i在任一区间的中点c上均有g(c)丰0，则得到闭区间列｛［a,b］｝，满足i i nng(a)<0,g(b)>0，且n ni［a,b］u［a,b］，b-a二 (b-a),n二i,2,….n+in+i nn n n由区间套定理，存在点xe［a,b］,n二1,2,….下证g(x)=0.倘若g(x)丰0,不妨设0 nn 0 0g(x)>0,则由局部保号性，存在U(x;5),使在其内有g(x)>0.而由区间套定理的推论，当00n充分大时有［a,b］uU(x;5),因而有g(a)>0.但这与［a,b］选取时应满足的g(a)<0nn 0 n nn n相矛盾，故必有g(x)二0•0

123应用致密性定理证明先证明下面两个引理引理血设｛x｝是有界数列，而且lim(x-x)二0，则(x｝的聚点的集合是［a,b］，其TOC\o"1-5"\h\zn n—1 n n中a=limx,b=limx,n nn* n»证明根据定义，a与b都是｛x｝的聚点，故我们只要证明a与b之间的任意实数nx(a<x<b)都是｛x｝的聚点即可.x—x—x<£・n*先证对于任给的£>0及任给的正整数n"，必有n*>n"存在，使得00事实上，由假定可知必有正整数n"存在，使当n>n"时，恒有|x—x令n=max^令n=max^n',n"｝则数列｛x｝000x'<x,x''>x(因为否则的话，例如,n8 中必至少有两项x"和x"存在，使nn=nQb1 n nff无小于x的项，则必limx>x，此与a<x矛盾).ff不妨设n'<n"，令满足n<n<n"不妨设n'<n"，令满足n<n<n"，nn*<n"一1，且x<x,x>x，n* n+1*因此n*因此n*>n，且0x—x<xn*: —xn+1* n*TOC\o"1-5"\h\z先取£=1,N=1，则存在x(n>1)，使lx—x<1；1 1 竹1 |电，N=n，则存在x(n>n)，使lx—x<%21 “2 211»2/2又取£=以,N=n，则存在x(n>n)，使lx—x<3/332 n3 3 2 1n3x一x<nk.(k=1,2,3...)，故如此继续下去，得到｛x一x<nk.(k=1,2,3...)，故nknkxTx(kT8)，即x是｛x｝的一个聚点.n nk引理2［3］设f在闭区间［a,b］连续，数列｛｝u［a,b］且limf(x)=A，证明存在点n ngg[a,b]，使得f(g)=A・证明 因为｛x｝u［a,b］，所以L｝有界.由致密性定理“有界数列必有收敛子列”可n n知^x｝中必有收敛子列｛｝，设limx=g・由于a<x<b,故gg［a,b］.又limf(x)=A,n nk kT8nk nk nT8 n故limf(x)=A,.由于f在闭区间［a,b］连续，因而kS nk.A=limf(x)二f(limx)二f(g).ks nk kT8nk下面对根的存在性定理进行证明证明取［a,b］的中点，记为x，再取［a,x］及［x,b］的中点，分别记为1111x1—x2<2—xj=評—a八又取[x,b],[x,x],[x,x],[a,x]的中点，顺次记为x,x,x,x,且TOC\o"1-5"\h\z1 3 2 1 2 4567i+1 i然后取［a,叮叫叮也,叮叫x1］,［x1，叮％,孕吧,叮叫b］的中点，顺次i己为x,x,x,x,x,x,x,x,且8 9 10 11 12 13 14 151x—xvx—xI— (b—a),i—8,9,10,•…,14.7 8 i+1 i23如此继续下去可得到数列｛x｝，满足：对任意的正整数n，存在正整n数k，使2k<n+1<2k+1，从而有1

|x—x

n+1 n 2k由于g(x)在闭区间［a,b］连续，所以g(x)在闭区间［a,b］上一致连续且有界，因而，对任给的£>0，存在6>0，及正整数N，当n,k>N时，有1|x —xn+1 n 2k因而|g(x)—g(x)| •即有n+1 nlim(g(x)—g(x))—0•n+1 nnT8由引理2得｛g(x)｝的聚点的集合是[a,P]，其中a=limg(x),p—limg(x),n n nn* n»显然｛x｝的子列｛x｝:x,x,x,x，…,x2n+1—1,x2n+1,...收敛于a；｛x｝的子列｛x｝:n n 7 8 31 32 2 2 n ni ix,x,x,x，…,x2n—1,x2n，…,收敛于b•3 4 15 16 2 2由于g(x)在［a,b］上连续，所以有

limg(x)二g(a),limg(x)二g(b),TOC\o"1-5"\h\zn . n;iS i jT8 j即g(a)和g(b)都为数列｛g(x)｝的聚点•因为g(a)<0,g(b)>0,所以a<0,卩〉0.nu[a,b])且limg(x)=0•kT8 "k0u[a,b])且limg(x)=0•kT8 "kn n nk k由引理2得,存在点Eg(a,b),，使得g(g)二0•1.2.4应用柯西收敛准则证明⑷假设Vx假设Vxg(a,b),有g(x)丰0，设X=<0xg[a,b]4Y=>0lxg[a,b]|显然X和Y非空,(因为g(a)<0,g(b)>0,所以g(a)gX,g(b)gY)且XnY=Q•将区间[a,b]二等分，若g(出)>0则记左半个区间为[a,a];若g(凹)<0.则记右半2122个区间为[a,a].总之有g(a)gX,g(a)gY,如此继续下去，得到数列£｝缶｝满足：TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2 n n(1)a<a<a<b<b,n=1,2,3...;(2)lim(b-a)=0;(3)g(a)gX,g(b)gY•n n+1 n+1 n nTsn n n n取数列〔｝：a,b,a,ba,b 则数列｛:｝满足柯西条件，即V>0,存在正整数N,n 112 2 nn n当n,m>N时，|c-c|<£•事实上，当c,c为数列｛a｝中的项时，由于该数列有上界，nm nm np从而有上确界为a,Vs>0存在正整数N,有0<a-a<-•当n,m>N时，根据数列的递N2增性，有|a—a|=|a—a+a—a| |a—a|+|a—a|<2a—a|<—•TOC\o"1-5"\h\znm n m n m N同理可得，c,c为数列｛｝中的项的情况•当c,c一个为数列｛｝中的项时，一个nm n nm n为数列｛｝中的项时，由(2)得:V->0,存在正整数N'(>N),当n>N'时,|b—a|<2.当n n n/2|b—a|=|b—a+a—a卜|b—a|+|a—a|<—•nm nnnm nn nm由柯西收敛准则得｛｝收敛.n设limcnT8由于g(x)在［a,b］上的连续，所以数列｛g(c)｝收敛于g(g),从而g(g设limcnT8n或g(g)gY•不妨设g忆)gX,根据数列极限的保号性，存在正整数N,当n>N时，g(c)<0即ng(c)gX.然而当c=b时，有g(b)gX这与XnY矛盾.从而假设不成立，因而n n n n玉g(a,b),使g(g)二0.以上我们总共列举了四种方法来证明介值定理，应用确界原理和区间套定理来证明比较简单，易于学习者明白•对于另外两种方法，则需要储备大量的知识，来理解•对于初学者来说理解起来比较吃力，但这也是证明的一种方法，有利于学习者多多思考，开阔眼界，为以后的学习提供帮助.其实还有其他的方法来证明介值定理，由于篇幅有限，在此不在一一列举.2介值定理的应用2・1利用介值定理判断方程根的存在性在证明一些方程根的存在性时，如果没有给出具体方程往往很难求出根.即使给出了方程，如果方程特别复杂，那么想证明根的存在性，那也是很费劲的.我们往往不能采用先求出其根而后说明根存在的方法.利用连续函数在闭区间上的重要性质，介值定理或推论(根的存在定理)易得出存在使函数值为零的点，也就是可得出存在使方程成立的根.介值定理在判断方程根的存在性上的题目较多，应用介值定理可以清晰地界定出根的情况.例2.1[5]证明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根，且不超过a+b.证明 设f(x)=x一asinx一b，由已知可得：1 b 1 b八x一=sinx，艮卩一1<x一<1.a a a a因为a>0,b>0,所以b一a<x<a+b考察f(b一a)=b一a一asin(b一a)一b=-a[1+sin(b一a)]<0，

f(b+a)=b+a一asin(b+a)一b=a[1一sin(b+a)]>0，当b-a>0时，至少存在一个正根gg(b-a,a+b)，使f(g)=0；当b-a<0时，不妨只考察[0,a+b]，因为[0,a+b]u[b-a,a+b]，并且f(0)二一b<0,f(a+b)>0,所以至少存在一个正根gw(0,a+b)，使f(g)二0.因此，方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根，且不超过a+b.例2.2证明：若r>0,n为正整数，则存在唯一正数x，使xn=r(x称为r的n次正根0 o 0(即算数根)，记作=打).0证明先证存在性.由于当xT+8时，有xnt，故必存在正数a，使得an>r.因f(x)=xn在[0,a]上连续，并有f(0)<r<f(a)，故由介值定理，至少存在一点xe(0,a)，使得f(x)二xn二r.o 0 0再证唯一性.设正数X使得xn=r，则有11xn―n—(x―x)(xn-1+xn~2x+...+xn_1)—0.01010011由于第二个括号内的数为正，所以只能x-x—0，即x—x.0110例2.3设f在闭区间[a,b]连续，满足f([a,b])u[a,b].证明：存在xe[a,b]，使得0f(x)—x.00证明由条件知：对任何xe[a,b]有a<f(x)<b，特别有a<f(a)以及f(b)<b.若a—f(a)或f(b)—b，则取x—a或b，从而f(x)—x成立.000现设a<f(a)与f(b)<b令F(x)—f(x)-x，则F(a)—f(a)一a>0,F(b)—f(b)一b<0.故由根的存在性定定理，存在xe(a,b),使得F(x)—0,即f(x)—x.0000

2.2介值定理在解不等式中的应用其实介值定理在解不等式中的应用，并不是直接应用根的存在定理，而是应用根的存在定理的逆否命题.我们都知道，如果原命题成立，那么它的逆否命题也成立，因此不在对逆否命题进行证明，下面给出根据根的存在定理所得出的逆否命题以及推论命题.设函数f(x)在某一区间I二(a,b)(也可指［a,b］、［a,b)、())内有定义且连续.(根的存在定理的逆否命题)若方程f(x)二0在I内没有根，则函数f(x)的值在I内保持相同的正(负)号；若方程f(x)=0在I内所有不同的根为x,x x且x<x<...<x，则这n个根将1 2 n 1 2 n区间I分成n+1个小区间(a,x),(x,x),...(x,b)在每一个这样的小区间内，函数f(x)的1 1 2 n值保持相同的正负号.以上结论告诉我们，对于(2)中的每一个小区间内的一切x值，不等式f(x)>0(或f(x)<0)要么恒真，要么恒假.因此，我们只要逐一的考察各个小区间内f(x)的正负号,即判定不等式f(x)>0(或f(x)<0)的真假性.就可以得到不等式f(x)>0(或f(x)<0)在区间I内的全部解.例2.4［6］解不等式<3二！-打+T>1(第四届国际数学奥林匹克试题)2解原不等式的定义域为［-1,3］，我们考察方程壬3二7 二2解得8-莎 8+J3Tx= ，x=1828这两个根将定义域分成三个小区间:[-盲8这两个根将定义域分成三个小区间:[-盲8(8-顷8+Q、(8+J3!3]( , )、( ,3]888在［-1, )内，取x=0，左边=、.：3-1> ，原不等式为真.在(上字，些泮)内，取x=1,8882在(上字，些泮)内，取x=1,881左边=,27=0<2，原不等式为假・在(出31,3］内，取x=2，左边=1-訂<丄，原不等式为假.82所以原不等式的解集为［-1,8^31).8无理不等式通常要进行“两边平方”的变形，但这只是在一定条件下才是等价变形，所以必须就x的不同取值范围进行讨论，因此相对来说计算是比较困难的.利用介值定理则计算简单，而且易于理解.3—x例2.5［6］解不等式log(「)<1.2-x4—x解设F(x)二log(匕)—1(原不等式等价于不等式F(x)<0).2-x4—xF(x)的定义域为(-。1)u(1,2),解方程F(x)二0，得方程解x=5一、呂，2将定义域(-。1)u(1,2)分成三个小区间(—^,1),(1,上上3),(巴3,2)列表如下：^2 ^2表2-1xz,1)(1,59<5—2岛F(x)0F(0)<0F(|)>0F(3)<02F(x)<0是解集 不是解集 是解集所以，原不等式的解集为(-。1)u(」二3,2).可见，以介值定理为基础，将不等式的定义域分成若干区间，然后找出不等式解集的方法是解不等式解集的一种非常实用的方法.求解一般形式的不等式f(x)>g(x)(或f(x)>g(x))的一般方法归纳如下：⑴设F(x)二f(x)—g(x);求出F(x)的定义域，即f(x)和g(x)定义域的交集；解出F(x)二0的所有解(x<x<...<x)；1 2 n利用这些解将定义域分成n+1个小区间；在每个小区间内取一个特殊点x，通过F(x)的符号判别F(x)在此区间内的符

号;号;⑹找出使F(x)>0(或F(x)<0)的所有区间，这些区间的并集即是所求不等式的解.2.3介值定理在证明等式中的应用介值定理在证明等式方面也有广泛应用.正是由于介值定理的广泛使用，才使得一些较复杂的等式能够轻而易举地被证明出来.其中积分中值定理的证明就用到了介值定理.例2.6设函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)二0,f⑴二1.则对于任意给定的正数a,b.求证：存在0<x<x<1，使下列式子成立:12a b 1+ =a+b.f'(x) f'(x)12证明 (证法一)因为a>0，b>0，所以0<上<1，又因为f(x)在［0,1］上连续,a+b且f(0)二0，f(1)二1.由介值定理知，必有gw(0,1)，使由于f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，函数f(x)由拉格朗日中值定理有:f(g)-f(0)_广(x)(g-0)，f⑴-f(g)_广(x)(1-g)(其中0<x<g<x2<»即有—-01-a+b _ga+b_1-gf'(x)_'f'(x)_-'1 2aaaa+b+f'(x)1aa+b_1—1，f(x)2整理式子即有a+f'(x) f'(x)12例2.7设f(x)在［a,b］上连续，且a<c<d<b，证明在(a,b)内至少存在一点g，使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(g)成立•其中p,q均为任意正的常数.证明(证法一)作辅助函数F(x)=(p+q)f(x)-pf(c)-qf(d),由题设知，F(x)在[c,d]u[a,b]上连续，又F(c)二q[f(c)-f(d)]，F(d)二p[f(d)-f(c)]•由于p,q均为任意正的常数，有F(c)F(d)二-pq[f(d)-f(c)]2<0•当f(c)二f(d)时，F(c)二F(d)二0，则c,d均可取作所求的；当f(c)丰f(d)时，F(c)F(d)<0，由根的存在定理可知，至少存在一点gg[c,d]u[a,b]，使F(g)二0，即pf(c)+qf(d)二(p+q)f(g)•(证法二)由于f在[c,d]u[a,b]上连续，因此存在最大值M和最小值m.即m<f(x)<M,xg[c,d]•因此有 m<f(c)<M，m<f(d)<M•即有 pm<pf(c)<pM，qm<qf(d)<qM•把上面两个式子相加得到(p+q)m<pf(c)+qf(c)<(p+q)M，把以上不等式同时除以p+q，又得到m<pf(c)+qf(c)<M，p+q由介值定理可得必存在一点gg[c,d]u[a,b]，使得pf(c)+qf(c)=f(g)，p+q变换一下形式，得到所求，即pf(c)+qf(d)二(p+q)f(g)•例2.8 (积分第一中值定理)若f在[a,b]上连续，则至少存在一点gg[a,b]，使得

Jbf(x)dx=f(g)(b-a)•a证由于f在［a,b］上连续，因此存在最大值M和最小值m.由m<f(x)<M,xg［a,b］,使用积分不等式性质得到m(b-a)<Jbf(x)dx<M(b-a)，或者a或者m<Jbf(x)dx<M•b一aa再由连续函数的介值性，至少存在一点gg［a,b］，使得1(hf(g)二口J:f(叽在变换一下形式，等式得证.2.4介值定理在实际问题中的应用介值定理在实际问题的解题中具有广泛的应用.往往一些较复杂的难题应用介值定理都能轻易地解决，解题思路清晰，解题步骤简单.下面我们就举几个较复杂的例题，浅谈介值定理在解题中的应用.问题2.9】7］某运动员30min跑了6km,证明一定存在某时刻，该时刻起的5min内该运动员跑了lkm.证明假设x为离开起跑线的公里数.对于［0,5］中的任意一个x,f(x)表示运动员从x跑到x+1所需要的时间•函数f(x)是连续函数•由已知条件知道，f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)二30•由此推出f(0),...,f⑸既不同时都小于5，又不同时都大于5.所以在［0,5］内存在点a,b满足f(a)<5<f(b)•由介值定理可知，在a,b之间存在c，满足f(c)二5•也就是说从ckm到c+1km恰好跑了5min，ckm处对应时刻即为所求.问题2.10［7］某登山运动员于星期六上午7:00开始登山，下午5：00到达山的顶点.在山上宿营后，在星期日上午7:00开始返回，下午5：00到达出发点.证明在星期日的某时刻和星期六的同一时刻在同一高度.证明假设时间格式为24制，且星期日的出发点就是山的顶点.出发点和山的顶点的高度差为h(h>0),f(t)表示运动员在上山过程中在t时刻的位置离出发点的高度，其中tg［7,17］,f(7)二0,f(17)二h,g(t)表示运动员在下山过程中在t时刻的位置离出发点的高度，其中tg［7,17］，g(7)二h,g(17)二0.F(t)二f(t)-g(t)(tg［7,17］)表示在星期日的某时刻和星期六的同一时刻运动员所处位置的高度差.因为函数f(t)、g(t)是连续的，所以函数F(t)也是连续的，且F(7)=_h<0,F(17)二h>0•由介值定理可知，在［7,17］内存在t，0使F(r)=0，即在星期日的t时刻和星期六的同一时，运动员所在高度是相同的.00问题2.1M7］椅子在不平的地面能否放稳？先作以下假设：椅子有四条腿，且每条腿一样长.每条腿与地面有一个接触面，可视为一个点，4个点连线成矩形；地面不平，地面的高度是连续变化的，不允许有台阶，将地面看作连续曲面；椅子在任何位置至少有3个椅脚同时着地；椅子放稳，指四条腿都与地面接触，每条腿的脚与地面的距离为零.椅子虽然可能会倾斜，但不会摇晃.解图2(a)中ABCD为椅子4个椅脚的初始位置，椅子的中心是O点，椅子绕中心旋转180。后的位置如图2(b)所示.记A,D到地面的距离和为f(6)，B,C到地面的距离和为g(6)，则由于椅子必有三条腿同时着地，所以必有两条相邻的椅脚同时着地，即对任意的旋转角，f(6)和g(6)至少有一个为零，因此恒有f(6)g(6)二0，不妨设当6=0时，g(6)=0,f(6)>0.当椅子旋转180。时，ad与bc的位置互换，这样，当6=兀时，g(6)>0,f(6)=0，令h(6)=f(6)-g(6)，则h(0)>0,h(n)<0.(a)初始位置 (b)旋转后的位置图2-1椅子4个椅脚位置示意图因为f(6)和g(6)是连续函数，所以h(6)也是连续函数，由介值定理可知，在［0,］内必存在0使h()=0，即f(0)-g(0)=0.又因为恒有f(9)g(9)二0，所以f(0)g(0)=0,000000即f(0)=g(0)=0说明当椅子绕着中心旋转0方向，椅子的四条腿同时着地.0003介值定理的推广3・1一元函数介值定理的推广对于介值定理，从两个方面进行推广.一方面，从闭区间［a,b］入手，推广为任意区间；另一方面，从常数f(a)与f(b)入手，f(a)与f(b)也可为-g或+a•利用推广的介值定理，得到了求一类方程绝对误差为0.1m(meN)的近似解的一种好方法.3.1.1推广介值定理的内容［8］定理1如果函数f(x)在区间［a,b)内连续，且f(a)=A、limf(x)=B(A丰B)，XTb-不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a,b)内至少有一点c，使得f(c)=C.证明不妨设A<B,因为limf(x)=B，所以对于给定的正数£=B-C，存在一个正数8(6<b-a)，7000xTb-当0<b-x<8时，就有|f(x)-B|<£・贝Uf(x)-B>-£，f(x)>B-£=B-(B-C)=C,0000其中x满足条件0<b-x<8.现从0<b-x<8｝中任取一点d，令D=f(d)，显然00A<C<D，以及a<d<b.又因为f(x)在闭区间［a,d］上连续，且f(a)=A、f(d)=D.由介值定理得：在开区间(a,d)内至少有一点c，使f(c)=C.所以在开区间(a,b)内至少有一点c，使得f(c)=C.同理可得定理2：定理2如果函数f(x)在区间［a,b)内连续，且f(a)=A、limf(x)=-g(或+g)，不xTb-论C是(-g,A)(或(A,+g))中的怎样一个数，在区间(a,b)内至少有一点c，使得f(c)=C.定理3如果函数f(x)在区间［a,+Q内连续，且f(a)二A、limf(x)= (或+s),XT+S不论C是(-S,A)(或(A,+s))中的怎样一个数，在区间(a,+s)内至少有一点c，使得f(c)=C•证明因为limf(x)=-s,XT+S所以对于给定的正数M=C\,必有正数N(N>a)，使得当x>N时，就有f(x)<-M.则f(x)<-M=-|C<C，其中x满足条件x>N.现从4|x>N｝中任取一点d，令D=f(d)，显然D<C<A,以及d>a.由介值定理得：在开区间(a,d)内至少有一点c，使得f(c)=C.所以在区间(a,+s)内至少存在一点c，使得f(c)=C.同理可得定理4：定理4如果函数f(x)在区间［a,+s)内连续，且f(a)=A、limf(x)=B(A丰B),不论xT+SC是A或B之间的怎样一个数，在区间(a,+s)内至少有一点c，使得f(c)=C.以上我们只是讨论了区间［a,b)与［a,+s)这两种情形.实际上，对于其他区间也有类似的结论.这样，就构成了推广的介值定理.3.1.2推广的介值定理的一个应用以推广的介值定理为基础，结合函数的单调性，可以得到求一类方程f(x)=0绝对误差为0.1m(meN)的近似解的一种好方法，其中y=f(x)的定义域D=UI，而y=f(x)在Ii i内单调连续，且I与I(i丰j)无公共内点.ij定理5如果函数f(x)在闭区间［a,b］上单调连续，且f(a)f(b)<0，而a<x<x<…<x<…<b,f(x),f(x),•••,f(x)，…均同号，TOC\o"1-5"\h\z11 12 1n 11 12 1nb>x>x>…>x>…>a,f(x),f(x),•••,f(x)，…均同号，21 22 2n 21 22 2n其中f(x)f(x)<0.1n 2n⑴当limf(x)=limf(x)=0时，则limx=limx=x，且x就是方程f(x)=0在n* 1n n» 2n n»1nn*2n 0 0(a,b)内的那个唯一解.x+x x—x⑵亠亍j为x0的绝对误差为j-的近似值.证明⑴因为函数f(x)在闭区间［a,b］上单调连续，且f(a)f(b)<0，所以方程f(x)二0在(a,b)内只有一个解x，即0f(x0)二因为x,x,…,x，…单调增加有上界•所以limx二c(c为常数，a<c<b).1112 In n*1n又limf(x)=0，limf(x)=0,f(c)=0•TOC\o"1-5"\h\zin innT8 xtc1n所以C也是方程f(x)=0在(a,b)内的一个解.由解的唯一性知，c二x，即limx=x0 In 0nT8同理可得limx=x2n 0nT8⑵因为函数f(x)在闭区间［a,b］的子区间［x,x］上也单调连续，且f(x)f(x)<0，1i2j 1i 2jx+x x—x所以x0"(xii,x2j)，则亠亍斗为％的绝对误差为 的近似值・注如果定理5中的条件闭区间［a,b］改为任意其他区间，而条件f(a)f(b)<0相应变换一下(如f(x)在区间［a,+如上单调连续，且f(a)limf(x)<0)，那么定理5的结论仍成立.xTg例3.1求方程ex二x4的绝对误差为0.01的近似解.解⑴当xg(—g,0)时，方程ex=x4与方程x=4ln(—x)在(—g,0)内是同解的•令g(x)二x—4ln(—x)；因为gr(x)二1—牛；＞0，所以g(x^(-g,0)内单调连续.又因为limg(x)=—g，limg(x)=+g，xT—g xT0—3-1寻找解x］的绝对误差为0.01的近似值

x1n-0.9-0.85-0.83xg(一也0)g(x)n-0.4786-0.19999-0.0847x2n-0.5-0.8-0.81g(x)2n2.27260.09260.0329所以根据定理5,xi〜2 一碱，其绝对误差为。皿⑵当x二0时，显然x二0不是原方程的解；(3)当xg(0,+s)时，方程ex=x4与方程x=4lnx在(0,+s)内是同解的.令f(x)=x-4lnx，因为(x-(x-4)//x而当xg(0,4)时，f'(x)<0；当xg(4,+s)时，f'(x)>0•所以f(x)=x-4lnx分别在(0,4],[4,+s)内单调连续.又因为limf(x)=+a，f(4)=4一4ln4=4ln—<0，limf(x)=+a,4xt0+ xt0+表3-2寻找解x2的绝对误差为0.01的近似值x1n2xg(-s,0)f(x)n0.25050.05410.0174x2n21.51.451.44f(x)2n-0.7726-0.1219-0.0363-0.0186表3-3寻找解x3的绝对误差为0.01的近似值x1n1xe(4,+s)f(x)n-0.3178-0.0603-0.0070-0.0017x2n108.78.658.63f(x)2n0.78970.04670.01980.0090所以根据定理5,x」42+1.44二1.43,xQ8.61+8.63二8.62,所以根据定理5,2 2 3 2综合(1),(2)，⑶得：方程ex=x4一共有三个不同的解x,x,x,而-0.82、1.43、8.62分别1 2 3为它们的绝对误差为0.01的近似值.3.2二元函数的介值定理不仅一元函数有介值定理，二元函数也有介值定理.在此本文只是简单的介绍一下二元函数的介值性定理，仅供读者进行参考.3.2.1二元函数介值性定理的内容⑼设函数f在区域DuR2上连续，若P,P为D中任意两点，且f(P)<f(P)，则对任何1212满足不等式f(P)<u<f(P) (3.2.1)12的实数U，必存在点P，使得f(P)二u.00证作辅助函数F(P)二f(P)-卩，PeD.易见F仍在D上连续，且由不等式(3.2.1)知道F(P)<0，F(P)>0.这里不妨假设P，121P是D的内点.下面证明必存在P(x,y)eD，使F(P)=0.20000由于D为区域，我们可以用有限段都在D中的折线连结P和P.