考研数学一(线性代数)-试卷34

考研数学一（线性代数）-试卷34(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且|E+A|=0，则|2E+A2|为()．（分数：2.00）A.0B.54√C.一2D.一24解析：解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又|E+A|=0，所以A有特征值一1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是|2E+A2|=54，选(B)．3.设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m＞n，令r(AB)=r，则()．（分数：2.00）A.r＞mB.r=mC.r＜m√D.r≥m解析：解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n＜m，所以选(C)．4.设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则()．（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3√D.r(A)=4解析：解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4—1=3，选(C)．5.设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O，则()．（分数：2.00）A.r(B)=nB.r(B)＜nC.A2一B2=(A+B)(A—B)D.|A|=0√解析：解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)＜n，于是|A|=0，选(D)．6.设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则（分数：2.00）的逆矩阵为()．A.B.C.D.√解析：解析：7.设A=，则A，B的关系为()．（分数：2.00）A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P1√解析：解析：P1=E12，P2=E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)．8.设A=，则()．（分数：2.00）A.B=P1AP2B.B=P2AP1C.B=P2AP1D.B=P1AP2√解析：解析：显然B==P1AP2—1，因为P1—1=P1，所以应选(D)．二、填空题(总题数：11，分数：22.00)9.设三阶方阵A=[A1，A2，A3]，其中Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且A的行列式|A|=一2，则行列式｜—A1—2A2，2A2+3A3，一3A3+2A1｜=1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：12）解析：解析：10.设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且|A|=3，|B|—4，则|5A一2B|=1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：63）解析：解析：由5A一2B=(5α，5γ1，5γ2)一(2β，2γ1，2γ2)=(5α一2β，3γ1，3γ2)，得|5A—2B|=|5α一2β，3γ1，3γ2|=9|5α一2β，γ1，γ2|=9(5|α，γ1，γ2|一2|β，γ1，γ2|)=6311.设A=，则(A*)—1=1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：|A|=10，因为A*=|A|A—1，所以A*=10A—1，故(A*)—1=．12.设A=，则(A—2E)—1=1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：13.设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]—1=1(用A*表示)．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由A*=|A|A—1得(A*)*=|A*|．(A*)—1=|A|n—1．(|A|A—1)—1=|A|n—2A，故E(A*)*]—1=14.设A==1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：令A=(α1，α2，α3)，因为|A|=2，所以A*A=|A|E=2E，15.设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E一ααT，B=E+ααT，且B为A的逆矩一1—2a=0，解得a=—阵，则a=1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：—0）解析：解析：由AB=(E一ααT1．)ααT一ααT一2aααT=E且ααT≠O，得16.设三阶矩阵A，B满足关系A—1BA=6A+BA，且A=（分数：2.00），则B=1．填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由A—1BA=6A+BA，得A—1B=6E+B，于是(A—1—E)B=6E，B=6(A—1一E)—1=．17.设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=（分数：2.00），则r(AB)=1．填空项1:__________________（正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为|B|=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．18.设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=O，则r(A)=1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．19.P1=，则P12009P2—1=1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：P1==E23，因为Eij—1=Eij，所以Eij2=E，于是P12009P2—1=P1P2—1=三、解答题(总题数：10，分数：20.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：21.证明：D=（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：)解析：22.设D=．(1)计算D；(2)求M31+M33+M34．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：)解析：23.设n阶矩阵A满足A2+2A一3E=0．求：(1)(A+2E)—1；(2)(A+4E)—1（分数：2.00）．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：(1)由A2+2A一3E=O得A(A+2E)=3E，A．CA+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E)—1=A．(2)由A2+2A—3E=O得(A+4E)(A一2E)+5E=O，则(A+4E)—1=(A一2E)．)解析：24.设A为n阶矩阵，且Ak=O，求(E—A)—1．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：Ek一Ak=(E—A)(E+A+A2+…+Ak—1)，又Ek一Ak=E，所以(E一A)—1=E+A+A2+…+Ak—1．)解析：25.设A，B为n阶矩阵，P=（分数：2.00）．(1)求P．Q；(2)证明：当P可逆时，Q也可逆．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：(1)PQ==|A||B|E(2)因为|P|=|A||B|，所以当P可逆时，|A||B≠0，而PQ=|A||B|E，即．)解析：26.设A为n阶可逆矩阵，A2=|A|E．证明：A=A*．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为AA*|A|E，又已知A2=|A|E，所以AA*=A2，而A可逆，故A=A*．)解析：27.设A为n阶矩阵，且A2一2A一8E=0．证明：r(4E—A)+r(2E+A)=n．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由A2—2A一8E=O得(4E—A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得r(4E—A)+r(2E+A)≤n．又r(4E—A)+r(2E+A)≥r[(4E—A)+(2E+A)]=r(6E)=n，所以有r(4E—A)+r(2E+A)=n．)解析：28.证明：若矩阵A可逆，则其逆矩阵必然唯一．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设存在可逆阵B，C，使得AB=AC=E，于是A(B—C)=O，故r(A)+r