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第二节格林公式及其应用函数一、格林公式二、两类型曲线积分的关系1.区域连通性的分类

设D为平面区域,复连通区域单连通区域一、格林公式否则称为则称D为平面复连通区域.成的部分都属于D,如果D内任一简单闭曲线所围单连通区域,当观察者沿边界行走时,(1)

P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;(2)曲线L是封闭的,并且取正向.注规定边界曲线L的正向区域D总在他的左边.格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,在D上具有一阶连续偏导数,则有2.

格林公式公式(1)称其中L是D的取正向的边界曲线.格林公式.(1)先对简单区域证明:证明若区域D既是又是即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.同理可证(2)再对一般单连通区域证明:积分区域的可加性

若区域D由一条按段光(如图)将D分成三个既是又是的区域滑的闭曲线围成.(3)

对复连通区域证明:由(2)知

若区域不止由一条闭曲线添加直线段则D的边界曲线由及构成.所围成.GFCEAB

便于记忆形式:格林公式的实质之间的联系.沟通了沿闭曲线的积分与二重积分(1)计算平面面积3.简单应用格林公式得闭区域D的面积

例1

求椭圆解由公式得D所围成的面积..(2)简化曲线积分的计算例2其中L为圆周解由格林公式有对称性的正向.对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,比较简单时,常常考虑通过格林公式化为二重积分来计算.(1)

P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;(2)曲线L是封闭的,并且取正向.例3

计算分析但由可知非常简单.其中AO是从点⌒的上半圆周到点此积分路径⌒不是闭曲线!为应用格林公式再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单,使之构成闭曲线.所以因而这里补加直线段直线段.通常是补充与坐标轴平行的由格林公式解的方程为故所以,(3)

简化二重积分则解令例4为顶点的三角形闭区域.格林公式解记L所围成的闭区域为D,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.例5令有即L为不包围原点的任一闭曲线.即L为包围原点在内的任一闭曲线.由格林公式应用由格林公式,得作位于D内圆周注意格林公式的条件∴其中l的方向取逆时针方向练习计算L是圆周:如把圆周写成参数方程:再将线积分化为定积分计算,用格林公式易求.答案:分析则过程较麻烦.其中二、两类曲线积分的关系可用向量表示有向曲线元则推广空间曲线例6解

所以把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分.其中L为沿抛物线从点(0,0)到(1,1).例7设在单连通的有界闭区域上有连续的二阶偏导数，试将曲线积分（为的正向边界，为的单位外法线向量）化为上的二重积分解：因为，则由格林公式格林公式小结单(复)连通区域的概念

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