高一数学下学期期末考试分类汇编综合练习二苏教版

欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！综合练习二注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1.若(1−i)z=2+iz，则z在复平面内对应的点位于(    )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】

本题考查了复数的四则运算与复数的几何意义，属于基础题．

由复数的运算求出z，得到其对应的点的坐标即得．

【解答】

解：因为(1−i)z = 2+iz，所以z=21−2i=2.在ΔABC中，若a=9，b=6，A=π4，则cosB=(A.73 B.±73 C.±【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

由已知利用正弦定理可求sinB的值，利用大边对大角可得B<π4，根据同角三角函数基本关系式可求【解答】解：由正弦定理得a sinA=bsinB，得sin B=bsin Aa=6×229=23，

3.某校高一年级有男生400人，女生300人，为了调查高一学生对于高二时文理分科的意向，拟随机抽取35人的样本，则应抽取的男生人数为(    )A.25 B.20 C.15 D.10【答案】B【解析】【分析】本题考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．【解答】解：由已知抽样比为35400+300所以男生抽取人数为400×1故选B．4.在▵ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A=π3，2a=b+2c，则sinCsinAA.37 B.73 C.1 D.1【答案】A【解析】【分析】本题主要考查余弦定理，考查正弦定理，属于基础题．

将代入a2=b2+c2−2bccosA，可得(a−c)(3a−7c)=0，由于a>c，即可得解．

【解答】

解：将代入a2=b2+c2−2bccosA，得a5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱CD的中点，则异面直线A.1525 B.1010 C.105【答案】D【解析】【分析】本题考查异面直线的夹角正弦值，属于基础题．

连接AD1，ED1，异面直线AE与【解答】解：连接AD1，ED1，

由正方体ABCD−A1B1C1D1中，

则AB//C1D1，且AB=C1D1，

所以ABC1D1为平行四边形，

所以AD1//BC1，

则异面直线AE与BC1所成角为∠D16.如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AD=λAC+μAE，则λ−μ的值为(A.3

B.2

C.1

D.−3【答案】D【解析】【分析】本题考查平面向量的基本定理，由正方形ABCD中，E为DC的中点，得到

AE=12【解答】解：∵E是DC的中点，

∴

AE=

12(

AC+

AD)，

∴

AD=−

AC+2

AE，

7.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36∘的等腰三角形(另一种是顶角为108∘的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BCAC=5A.1−254 B.−3+58 【答案】C【解析】【分析】

本题考查诱导公式及二倍角公式的应用，考查解读信息与应用信息的能力，属于基础题．

读懂信息，利用诱导公式和二倍角公式求解即可．

【解答】

解：由题意可得∠ACB=180°−36°2=72°，

且，

，

则，

故选C．

8.古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.下图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形ABCDEFGH中，若AC=xAB+yAH(x,y∈R)，则x+y=

(A.1+22 B.1+2 C.2+2 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是平面向量的基本定理及其应用，平面向量的加法运算，属于中档题．

过C作

CI//AH并与AB的延长线交于点I，连接CH，得到

AC=AI+AH，得到【解答】解：如图所示：

过C作CI//AH并与AB的延长线交于点I，连接CH，

由

CH//AB,AH//CI可得，四边形AHCI为平行四边形，故

AC=AI+AH，

又

AC=xAB+yAH(x,y∈R)，则

y=1，

由于正八边形的内角为

6×180°8=135°，所以

∠I=45°，

∠CBI=180°−∠CBA=45°，

所以二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列各式中，值为3的是()A.2cos2π12−2sin2π12【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了二倍角公式和辅助角公式的应用，两角差的正切公式，属于中档题．

根据二倍角公式和辅助角公式的应用，两角差的正切公式，对选项逐一化简可得出结果．【解答】解：对于A，原式=

，故A符合题意；

对于B，

1+tan 15∘1−tan 15∘=tan 45∘+tan 15∘1−tan 45∘tan 15∘=tan60°=3，故B符合题意；

对于C，

43sin 15∘sin 7510.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是(    )A.P(A)=13 B.事件A和事件B互为对立事件

C.P(B|A)=12 D.事件【答案】CD【解析】【分析】本题主要考查互斥事件的定义，以及相互独立事件的概率公式，属于基础题．

根据已知条件，结合互斥事件的定义，以及相互独立事件的概率公式，即可依次求解．【解答】解：对于A选项，P(A)=24=12，可得A选项错误;

对于B选项，事件B第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数，就可以使得两次向下的数字之和为奇数，

可知事件A和事件B不是对立事件，可得B选项错误;

对于C选项，由P(AB)=24×24=14，可得P(B|A)=P(AB)P(A)=141211.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+bc，则角A.3π4 B.π4 C.7π12【答案】BCD【解析】【分析】【分析】

本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

由已知利用余弦定理整理可得cosA=

c−b2b【解答】解：因为在△ABC中，a

 2=b

 2+bc，

又由余弦定理可得：a

 2=b

 2+c

 2−2bccosA，

所以b

 2+bc=b

 2+c

 2−2bccosA，

整理可得：c=b(1+2cosA)，

可得：cosA=

c−b2b，

对于A，若A=

3π4，可得：−

22=

c−b2b，整理可得：b=

c1−2<0，错误；

对于B，若A=

π4，可得：

22=

c−b2b，整理可得：b=

c2+1>0，

对于C，若A=

7π12，可得：12.如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AD=DE=4，G为线段AE上的动点，则A.AE⊥CF

B.若G为线段AE的中点，则GB//平面CEF

C.点B到平面CEF的距离为433

D.B【答案】ABC【解析】【分析】

本题考查了二次函数，简单多面体(棱柱、棱锥、棱台)及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，面面平行的性质和异面直线所成角，属于中档题．

将几何体ABCDEF补全成棱长为4的正方体ABCD−MFNE，利用正方体结构特征，结合异面直线所成角对A进行判断，利用正方体结构特征，结合面面平行的性质对B进行判断，设点B到平面CEF的距离为ℎ，利用VB−CEF=VE−BCF，结合三棱锥的体积对C进行判断，过G作AD的垂线，垂足为H，连接BH，CH，GD，利用正方体结构特征得BG2+CG2=4AH2−8AH+48，再利用二次函数的最值对D进行判断，从而得结论．

【解答】

解：如下图，将几何体ABCDEF补全成棱长为4的正方体ABCD−MFNE．

对于A.如图：

在正方体中，连接DM，因为CF//DM，

所以CF与AE所成角等于DM与AE所成角，

而DM⊥AE，因此AE⊥CF，故A正确；

对于B.如图：

因为G是AE的中点，所以G是AE与DM的交点．

连接BM，DB．

因为在正方体ABCD−MFNE中，平面BDM//平面CEF，而GB在平面BDM内，

所以GB//平面CEF，故B正确；

对于C.如图：

连接BE，设点B到平面CEF的距离为ℎ，

因为VB−CEF=VE−BCF，所以13S△CEF·ℎ=13S△BCF·EN，

而正方体ABCD−MFNE的边长为4，

因此13×34×422ℎ=13×12×4×4×4，解得ℎ=433，故C正确;

对于D.如图：

过G作AD的垂线，垂足为H，连接三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则

．【答案】78【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，诱导公式，二倍角公式和辅助角公式的应用，属于基础题．

由已知条件结合辅助角公式得，从而，使用二倍角公式即可求解．【解答】解：，

，

，

，

．

故答案为78.

14.已知平面向量a，b，c满足|a|=2，|b−a|=1，c//【答案】23【解析】【分析】

本题主要考查的是向量的模、数量积、共线的综合问题，属于中档题．

可建立坐标系，结合向量的坐标运算求解．

【解答】

解：以向量a方向为x轴建立平面直角坐标系，如图：

因为|a|=2，所以a=2,0，又|b−a|=1，

所以向量b对应的点在以C(2,0)为圆心，1为半径的圆上，

设A(3,0)，分别过O，A作圆C的切线，两切线交于点B，

过O的圆C的切线对应的切点为M，因为CM=1,OC=2，

所以∠MOC=30°，

设c=x,y，因为a⋅c=6，所以2x=6，得x=3，

即向量c对应的点在直线AB15.如图，在ΔABC中，D为边BC上一点，DC=2BD，∠ADB=120∘，AD=2，若ΔADC的面积为3，则∠BAC的余弦值为

．【答案】714【解析】【分析】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．

先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB，最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC．【解答】解：由△ADC的面积为3，可得

，

解得DC=2，则BD=1,BC=3．

在△ABD中，

AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cos120°

=4+1+2×2×1×12=7，

所以AB=7，

因为AD=DC=2，∠ADC=60°，

所以△ADC为等边三角形，16.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=22，则下列结论中正确的结论序号是_______________.①AC⊥BE；平面ABCD；③异面直线AE，BF所成的角为定值；④直线【答案】①②④⑤【解析】【分析】

本题考查棱柱的结构特征，熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的关键，考查空间思维能力，属于较难题．

①AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；②由面面平行的定义可证得结论正确；③可由两个极端位置说明两异面直线所成的角不是定值；④把线面角转化为线线角即∠ABD，即可得知④正确；⑤可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值．

【解答】

解：①∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE，故①正确；

②∵平面ABCD//平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF//平面ABCD，故②正确；

③由图知，当F与B1重合时，令上底面中心为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值，故③错误；

④直线AB与平面BEF所成的角也就是直线AB与平面BB1D1D所成的角，∵AC⊥四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在①z<0，②z为虚数，③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知复数：z=(m(1)若________，求实数m的值；(2)若复数z−m2(1+i)+8的模为2【答案】解：(1)选择①z<0，则m2−2m−8<0,m选择②z为虚数，则m2−4≠0，解得选择③z为纯虚数，则m2−2m−8=0，m2(2)由z=(m复数z−m2(1+i)+8

=(m依题意(−2m)2+16=25，解得【解析】本题考查复数概念及运算，属基础题目．

(1)结合复数相关概念，列方程(组)求解；

(2)根据复数模长运算公式，求m的值．18.已知函数f(x)=23sinxcosx+2(I)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0,π(II)若f(x0)=6【答案】解：(1)由f(x)=23sinxcosx+2cos2x−1，

得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x−1)

=3sin2x+cos2x

=2sin(2x+π6)，

所以函数f(x)的最小正周期为π，

又因为f(x)=2sin(2x+π6)在区间[0,π6)上为增函数，在区间π6,π2上为减函数，

而f(0)=1，fπ6=2，fπ2=−1，

所以函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为2，最小值为−1；【解析】本题考查了二倍角公式及其应用，辅助角公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题．

(1)利用二倍角公式和辅助角公式得f(x)=2sin(2x+π6)，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质计算得结论；

(2)由(1)19.如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB、CD分别交于交于点M、N．

(1)求BD⋅DC(2)若Q是BC的中点，求QM⋅(3)若P是平面上一点，且满足2OP=λOB【答案】解：(1)由正方形可得BC⋅DC=0，

(2)因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于交于点M、N．

所以O为M、N中点，

所以QM⋅QN=(QO+OM)⋅(所以|QO|=1,1⩽|OM|⩽2即QM⋅QN的取值范围为(3)令OT=2OP，由OT=2OP=λ又因为O为M、N中点，

所以|OT|⩾1，从而|OP|⩾因为1⩽|OM|⩽2，

即PM⋅PN的最小值为【解析】本题考查向量的数量积，向量的基本运算，向量的模，向量共线的判定与证明，向量的几何运用，属于中档题．

(1)将向量BD分解为BC+CD，利用垂直和数量积的运算即可求解；

(2)由O为M、N中点可得QM⋅QN=(QO+OM)⋅(QO+ON)=QO2−OM2，再由|QO|和|OM|的范围计算即可；

(3)令OT=2OP，由向量共线的判断可得点T请大家完成下面的问题：(1)根据直方图求以下表格中x、y的值；成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数x¥®350y100(2)求参赛同学初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)若从这1000名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，再在该样本中成绩不低于80分的同学里任选2人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的2人中恰好1人的分数低于90分且1人的分数不低于90分的概率；注：方差公式s【答案】解：(1)因为个体在区间[50,60)内的频率是0.005×10=0.05，

所以频数x=1000×0.05=50;

在[80,90)内的频率是12(1−0.05−0.35−0.1)=0.25，

所以频数y=1000×0.25=250;

(2)平均数为x=55×0.05+65×0.25+75×0.35+85×0.25+95×0.1=76，

方差s2=(−21)2x0.05+(−11)2×0.25+(−1)2×0.35+92x0.25+192×0.1=109;

(3)由等比例分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则抽样比例为201000=150，

∴在区间[80,90)和[90,100]内抽取的人数各为150×250=5和150×100=2，

分别记这7人为a、b、c、d、e和M、N，则事件的总体是

Ω={(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,M)，(a,N)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,M)，(b,N)，(c,d)，(c,e)，(c,M)，(c,N)，(d,e)，(d,M)，(d,N)，(e,M)，(e,N)，(M,N)}，其中共有21个基本事件，

记所求的事件为A，则A【解析】本题主要考查频率分布直方图，平均数及方差的定义，古典概型的计算与应用，考查了运算求解能力，属于中档题．

(1)根据频率分布直方图的性质可求得x，y的值；

(2)直接根据平均数及方差的定义求解即可；

(3)先求得抽样比例，可得在区间[80,90)和[90,100]内抽取的人数，从而利用古典概率公式求解即可．

21.如图，在三棱锥P−ABC中，ΔPBC为等边三角形，点O为BC的中点，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)已知E为PO的中点，F是AB上的点，AF=λAB.若EF//平面PAC，求λ的值．【答案】(1)证明：∵△PBC为等边三角形，点O为BC的中点，∴PO⊥BC，平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，PO⊂平面PBC，∴PO⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴PO⊥AC，∵AC⊥PB，PO∩PB=P，PB⊂平面PBC，PO⊂平面PBC，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面PAC，平面PAC⊥平面PBC．(2)解：取CO中点G，连结EG，FG，∵E为PO的中点，∴EG///PC，∵EG⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴EG//平面PAC，F是AB上的点，AF=λAB，EF//平面PAC，

且EG∩EF=E，EG，EF⊂平面EFG，平面EFG//平面PAC，因为平面PAC∩平面ABC=AC，平面EFG∩平面ABC=FG，∴FG//AC，∴λ=AFAB=CGCB=【解析】本题考查面面垂直、线面垂直的性质定理和判定定理，线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理和性质定理的应用，属于中档题