中学物理习题中辅助圆

11v习题研究11v

巧构辅助圆

妙解物理题浙江海盐元济高级中学（）王建峰浙江海盐高级中学（）马永芬解物理习题时，若能巧借辅助圆，将会产生意想不到的效果。辅助圆按其作用与功能可分为“量圆、等时圆、等势圆、动态圆、谐振圆文试想通过几例来阐述辅助圆在解题中的妙用。1矢量圆矢量即有大小，又有方向，且运算时满足平行四边行法则。在矢量的合成与分解中若能借助“量圆”能有效地化繁为简，并能加深对矢量概念的理解。例一宽为L的河流，水流速为，船在静水中划行的度为v，v＜。要使船到达对岸的位移最短，船的航向如何？

D解析水速u船在静水中的速度v与的合速度v构成一矢量三角形，且船在静水中的速度v大小不变，方向不定，构建如图1所示的矢量圆。显然，当AD与量圆相切时，船航行的位移最短。由图可

L

vA得船的航向与河岸的夹角

vu

。

图12

等时圆如图2所，竖直放置的圆环，若物体从最高点沿各光滑弦加速下滑，其下滑的时间相等，且时间

4g

（为环的半径为力加速度样圆环称

R之为“等时圆解有关动学问题时，恰当地构建等时圆不但能化解难点，而且能激发学生的解题思维。

图例两滑斜面的高度都为h、两面的总长度都为l，只是OD斜由两部组成，如图3所示，将甲、乙两个相同的小球从面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一球先到达斜面底端？解析（法O）本题往往采用甲v-t图求解，作乙

V

vC

O

甲乙

A出物体分别沿OC斜运动

B的v-t图（如图所示图可得乙球先到达

图

D

C

图4

t

乙

t

甲t

图

D

C斜面底端。（解法）构建如图5所示的等时圆，交OC于A点交OD于B点由“等时圆”可知t

0B

。由机械能守恒定律可知BA

D

v

BD

为斜面的总长度相等

s

BD

，根据

v

st

得，

tBDAC

，所以有

t甲

，即乙球先到达斜面底端。3等势圆点电荷的等势面是以点电荷为圆心的圆面组成，这样的圆面称之为“等势圆势圆来解题化难为易。例（年江苏等省理综第题图6所直角三角的斜边倾角为°边BC长2L，/

22CDCC处在水平位置斜边AC是滑绝缘的在底边中点处放置一正电荷Q一个质量为，电量为的负电的质点从斜面顶端A沿斜边滑下滑斜边上的垂足D时度为v则该质22CDCC

A

ADD点运动到非常挨近斜边底端点时速度v为少？没斜面向下的加速度a为多少？B解析点荷沿斜面AC下滑时，电场力在不断变化利动能定理及能量守恒关系直接列式求解，从而使解题陷入困境。

。O图

CQ图由几何关系可引入图示的等势圆由C二位于同一等势圆上电从D运动到C电力做功为零，只有重力做功，所以电荷在D点机能与点机械能相等，即：11mvmgCD30vgl22对电荷在C点力（如图示牛第二定律得：

Nsin30

Qq

，解得：

13ag2ml2

。

图4动带电粒子进入匀强磁场，若带电粒子的速度大小、方向不定，则粒子在磁场中作一系列圆心、半径在时刻变化的“动态圆系列动态圆

y能化俗为奇。

例半径为的形匀强磁场域界y轴切于坐标原点，磁感应强度，方向垂直纸面向里在原点O处一放射

x源可沿纸面向个方向射出速率均为

v3.2

6

m/

的粒

α知已知粒子的质量为

6.64

，电量

c

，试确定α粒子通过磁场的最大偏向角。解析α粒子在磁场中作半径为r的速圆周运动，可得：

图mv6.643.2r0.332

6

cm从而可构建一系列半径为并交于点旋转动态圆（如图所各态圆不难得到要使α粒子的偏向角最大，必α粒子在磁场区域内的弦最长。所以α粒子的最大偏向角

2

Rr

60

0例核变反应需要几百万度以上的高温把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应常采用磁约束的方法（托卡马克装置图10所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为

R

1

r1

R

2=0.5m，半径=1.0m磁场的磁感强度，被束缚带电粒子的荷质比12为q/m=4×

7

C/㎏，中空区域内带电粒子具有个方向的速度。试计算

图10（1粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2所有粒子不能穿越磁场的最大速度。解析（1粒子沿环状的半径方向射入磁场，在磁场区域中作圆周运动，由于粒子的速度大小不定，/

12ACCD构建如图10所的半径不同的动态圆，要使粒子不能穿越磁场，从各动态圆中不难得到粒子临界动态圆必须与外圆相切。12ACCD由图中知

r21

21

R2

2

，解得

rmVBqr由BqVm1得V1/rm所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为

O

O2

11

7

/

。

图11（2所有粒子在磁场中作半径不定，圆心也不定的动态圆，在所有动态圆中粒子以的速度沿与内2圆相切方向射入磁场且动态圆与外圆相切时速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界2（如图示图中知

r2

Bqr210.25算出对应的速度1.07m/

，这一速度即为所有粒子不能穿越磁场的最大速度。5谐当一个物体（质点）在一平面上做匀速圆周运动时，它的投影点的运动是简谐运动，这个圆通称为“谐振圆用振圆，可以振动这部分知识融为一体，而且它利用学生相对熟悉的圆周运动为起点，降低了学生的认知难度。利用谐振圆，能使问题直观明了，在求解振动的时间问题时尤显优势例题如图所示，一只椭球形的鸡蛋长轴6cm，短轴是4cm鸡蛋在x轴做简谐运动，运动过程中椭球的焦点在x轴上，鸡蛋的端点正好不碰到AB两，即在A、B间往复运动，现有一支枪固定在支v

B架上直x轴的向射出子弹正好瞄准处子弹可看成质点，子弹的速度比鸡蛋的速度大得多，现有一个瞎子扣动扳机，那么他击中鸡蛋的概率是多大？

01224x/cm图解析鸡蛋中心在

cm到x21cm

之间作简C谐运动，但只有在

cm到xcm

之间时能被击中。构建如图所

D示的谐振圆，要击中鸡蛋相