常系数线性微分方程

1y(n)

a

y(n1)

an1

y

an

y

f

(x)一、常系数齐次线性方程通解求法n阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式y

a1

y

a2

y

0二阶常系数非齐次线性方程的标准形式y

a1

y

a2

y

f

(x)n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式1

n1

ny(n)

a

y(n1)

a y

a y

0-----特征方程设解为:y

erx

,(r2

a

r

a

)erx

01

2将其代入上方程,得erx

0,故有r2

a

r

a

01

221,2a

2r

a

4a

1

1 2

,特征根y

a1

y

a2y

01.

二阶常系数齐次线性微分方程的通解求法有两个不相等的实根11r

x2y

e

,,22r

xy

e两个线性无关的特解得齐次方程的通解为21

C

er2

x

;y

C

er1

x(

0)有两个相等的实根(

0)1

2y

(C

C

x)er1

x

;,21ar1

r2

2特征根为

1

2a

2

a

2

a

4a

a

4ar

1

1 2

,

r

1

1 2

,得齐次方程的通解为有一对共轭复根r1

i,r2

i,得齐次方程的通解为y

ex

(C1

cos

x

C2

sin

x).11r

xy

e

,,21ar1

r2

有两个相等的实根(

0)一特解为得齐次方程的通解为

C2

x)e

;r1

xy

(C1u

(2r

a

)u

(r2

a

r

a

)u

0,1

1

1

1

1

2知

u

0,取u(x)

x,则

y2

xe

,r1

x设另一特解为

y2

u(

x)e

1

,r

x将y2

，y2

，y2

代入原方程并化简，特征根为求方程y

4

y

4

y

0的通解.解特征方程为

4r

4

0

,r

2解得r1

r2

2

,故所求通解为y

(C

C x)e2

x

.1

2例1例2求方程y

2

y

5

y

0的通解.解

特征方程为

2r

5

0

,r

2解得r

1

2i

,1，2故所求通解为y

e

x

(C

cos

2x

C

sin

2x).1

22.

n

阶常系数齐次线性方程解法y

a

y

0nn1y(n)

a

y(n1)

a1nn1r

a

01特征方程为rn

a

rn1

a特征方程的根通解中的对应项若是k重根r(C

C x

C

xk

1

)erx0

1

k

1若是k重共轭复根

jk

1[(C0

C1

x

Ck

1

x

)cosx

(D

D

x

D

xk

1

)sinx]ex0

1

k

1注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.y

C1

y1

C2

y2

Cn

yn特征根为r1

2,

r1,2

1

3i1故所求通解为

y

C

e2

x

e

x

(C

cos

3x

C

sin

3x).2

3例3

解方程:

y

8

y

0,解

特征方程为:

r3

8

0,(r

2)(r2

2r

4)

0,

4

y

10

y

12

y

5y

0.例4

解方程:

y(4)解

特征方程为:

4r3

10r2

12r

5

0.r4特征根为(r

1)2

(r2

2r

5)

0.r1,2

1,

r3,4

1

2i.故所求通解为y

(C

c

x)ex

ex

(C

cos2x

C

sin

2x1

2

3

4练习求方程的通解：1.

y

y

12

y

0.3.

y

5.

y

y

0.2.

3y

4.

y

8

y

16

y

0.答案：1

21.

y

c

e3x

c

e4

x

.

2

x3

.2.

y

c1

c2e21

2y

c1

siny

(c

c

x)e4

x

.21

2332x5.

y

c

e

x

e

(c

cosx

c3

sin

2

x)y

a1

y

a2

y

f

(x)(1)二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程y

a1

y

a2

y

0的通解为y,则(1)通解结构y

y

y,m

x二.二阶常系数非齐次线性方程解的求法1.

f

(x)

e

P

(x)型:则有特解:.Km

xy

x

Q

(x)e若不是特征方程的根若是特征方程的单根若是特征方程的重根k

0.k

1.k

2.Qm

(x)与Pm是同次多项式.难点：如何求特解y

？方法：待定系数法.m

k

x设

y

x

e

Q

(x)

,210

不是根k

是单根,是重根上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.注意y

a

y

a y

p

(x)ex1

2

m的特解:例

写出下列方程的特解形式:1.

y

2

y

3y

x2e

x2.

y

3y

3y

y

e3x

.解

2r

3

0

r1

3,

r2

1.特征方程为:

r21,2,3

3r2

3r

1

0

r

11.

y

x(

Ax2

Bx

C)e

x

.解

2.

特征方程为:

r3

y

Ae3x

.求方程y

3

y

2

y

xe2

x

的通解.解对应齐次方程通解r

2

3r

2

0,特征方程特征根r1

1，r2

21

2y

c

ex

c

e2

x

,

2

是单根

设

y

x(

Ax

B)e2x

,代入方程,得2Ax

B

2A

x

2

,B

1

A

12(

1

1)ex2

xx

于是.22原方程通解为y

C1e例4求方程y

3y

2y

1的通解.例5解

特征根r1

1，r2

2对应齐次方程通解y

c

ex

c

e2x

,1

2设

y

A,

0

不代入方程,得2A

1

..211

2y

C

ex

C

e2

x

例6原方程通解为:求方程

y

y

23y

xe2x

的通解.解

f1

(x)

f2

(x)

xe

1.2

x2221

1

.原方程通解为:

y

C

enl[P

(x)

cosxx

P

(x)sin

x]型(2)m

mk

x

(1)(x)sinx],

x

e

[R

(x)

cosx

R2、f

(x)

e则特解为:y其中R(1)(x),R(2)(x)是m次多项式m

mm

m,1

i是单根

i不是根k

0例5

写出下列方程的特解形式:1.

y

y

cos

2x

cos

x.r1,2

i12

21cos2cos)(

cos解

特征根21f

(x)

1

cos

x

的特解y

x(

A

cos

x

B

sin

x)1

1

122f

(

x)

1

cos

3x的特解2

2

2sin

3x)y

(A

cos3x

By

y

y

x(

A

cos

x

B

sin

x)

A

cos3x

B

sin

3x.1

2

1

1

2

2求方程y

4y

x

sin

2x

的通解.解

对应齐方通解y

C1

cos2x

C2

sin

2x,

2i代入原方程:例6是特征方程的单根,y

x[(

A

x

B

)

cos

2x

(

A

x

B

)

sin

2x].1

1

2

2(8A2

x

4B2

2A1

)

cos2x121

比较系数得:1682

21

1A

00B,,,

1

.A

1

B

168

1

)

sin

2x].

y

通解为:y

y

y

四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:写出相应的特征方程;求出特征根;根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)r2

a

r

a

01

2y

a1

y

a2

y

0特征根的情况通解的表达式实根r1

r2实根r1

r2复根r1,2

iy

C1e

r1

x

C2er2

xy

(C1

C2

x)er2

xy

ex

(C1

cos

x

C2

sin

x)e

P

(x), (可以是复数）x(1)

f

(

x)

my x

e

Qm(x);

k

x2.

非齐次方程求特解:是重根20

不是根k

1

是单根,xe [P

(

x)cosx

P

(

x)sinx],l

n(2)

f

(

x)

(2)mm

k

x

(1)y x

e

[R

(x)

cosx

R

(x)sinx];,1

j是单根k

0

j不是根y

2y

y

xex

ex

,

y(1)

y(1)

1.

2r

1

0,r

2

r1

r2

1,对应的齐次方程的通解为y

(C

C

x)ex

.1

2设原方程的特解为y*

x2

(ax

b)ex

,例9

解方程解

特征方程6

2a

1

,

b

1

,代入原方程比较系数得原方程的一个特解为6

2exx3

x2y*

ex

,故原方程的通解为.23

CC21

x)y(e代入初始条件.有26.622

1

1

123e

6

2

ey

[

(

)

x]e答:

x(Ax+B)e3x.04考题例3(03考题)解方程答:

y

c

ex

c

e2

x1 2补充题例2

求方程

y-y-6y=xe3x的一个特解形式.2xL例4

已知f

(

x)可微,且f

(0)

1

,同时使线积分[e

f

(x)]dx

f

(x)dy

与路径无关,求f

(x).

f

(x)

f

(x).P

Q

,

exy

x解:

f

(x)

f

(x)

ex

.2其通解:

f

(

x)

ce

x

1

ex

.2由f

(0)

1

,得c

1.2

f

(

x)

e

x

1

ex

.求通解

y

2y

y

xex

ex.例5

2r

1

0,r

2解

特征方程特征根r1

r2

1,对应的齐次方程的通解为y

(C

C

x)ex

.1

2设原方程的特解为y*

x2

(ax

b)ex

,则(y*

)

[ax3

(3a

b)x2

2bx]e

x

,(

y*

)

[ax3

(6a

b)

x2

(6a

4b)

x

2b]e

x

,将

y*

,

(

y*

),

(

y*

)

代入原方程比较系数得a

1

,

b

1

,6原方程的一个特解为26*xxe

,x2x3e

2y

故原方程的通解为.262321)e(

x.2

y1

y2求通解

y

例6解方程不显含x

.dy令

y

P,

y

P

dP

,代入方程，得dy

2

ydP

1

P

2P

,1解得，

1

P

2

C

y,

P

C1

y

1,1dx即

dy

C y

1,故方程的通解为21CC1

y

1

x

C2

.二、方程1nxn

y(

n

)xy

p y

f

x)n1

p

xny

n1()1

p的方程(其中形如叫

方程.p1

,p2

pn

为常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．解法：

方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.作变量变换

x

et

或

t

ln

x,dy

dy

dt

1

dy

,dx dt

dx x

dt22

,dt

dt

dx2

dx

x

dt

xd

2

y

d

1

dy

1

d

2

y

dy

将自变量换为t

,33

3

2

,dy

dx3

x3

dt

3

dt

2

dt

( )

d

y

1

d

y d

2

y用D表示对自变量t的求导运算

D

d

.

则xy

Dy,dt22dt

2

dtd

2

y

dy

(

D

D)

y

D(

D

1)

y,x

y

2333d

3

y

d

2

y

dy

3D

2D)

y

D(D

1)(D

2)

y,x

y

3

2

(Ddt

dt2

dtxk

y(

k

)

D(D

1)(D

k

1)

y.将上式代入线性微分方程.求出这个方程的解后，即得到原方程的解.一般地，的常系数把t换为ln

，x例

8

求23

34xy2

的通解．解作变量变换x

et

或t

ln

x,方程，则化为以t

为自变量四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:写出相应的特征方程;求出特征根;根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)原方程化为D(D

1)(

D

2)

y

D(D

1)

y

4Dy

3e2

t

,即D3

y

2D2

y

3Dy

3e2

t

,或dt

3

dt

2

dtd

3

y d

2

y

dy

2

3

3e2

t

.(1)

2r

2其特征方程r

331

2

3r

0,r

0,

r

1,

r

3.33

1x

C

x3

.

C2

C

e3t

Cy

C

C

et1

2设特解:2

2Ae2t

,

y

1

e2t.

1

x