2022年北京市西城区第一五六中学高三最后一模数学试题含解析

2022年高考数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的展开式中的系数是-10，则实数()A．2 B．1 C．-1 D．-22．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（）A．3 B．2 C． D．13．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数4．如图所示的程序框图，若输入，，则输出的结果是（）A． B． C． D．5．已知变量的几组取值如下表：12347若与线性相关，且，则实数（）A． B． C． D．6．如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（）A． B． C． D．7．函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）8．已知集合，则（）A． B．C． D．9．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）．A． B． C． D．10．已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．11．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（）m．A．1 B． C． D．212．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列满足对任意，若，则数列的通项公式________．14．已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.15．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为__________.16．已知i为虚数单位，复数，则＝_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知均为正实数，函数的最小值为.证明：（1）；（2）.18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.点在曲线上，点满足.（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点的轨迹的极坐标方程；（2）点，分别是曲线上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值.19．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．20．（12分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等．其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级四级每月应纳税所得额（含税）不超过3000元的部分超过3000元至12000元的部分超过12000元至25000元的部分超过25000元至35000元的部分税率3102025（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除．请问李某月应缴纳的个税金额为多少？（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额的分布列与期望．21．（12分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.22．（10分）已知是递增的等差数列，，是方程的根.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可.【详解】二项式展开式的通项为，令，得，则，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.2．A【解析】

根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案.【详解】解：由于，根据导数的几何意义得：，即切线斜率，当且仅当等号成立，所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.3．C【解析】

根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【详解】解：是奇函数，是偶函数，，，，故函数是奇函数，故错误，为偶函数，故错误，是奇函数，故正确．为偶函数，故错误，故选：．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．B【解析】

列举出循环的每一步，可得出输出结果.【详解】，，不成立，，；不成立，，；不成立，，；成立，输出的值为.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.5．B【解析】

求出，把坐标代入方程可求得．【详解】据题意，得，所以，所以．故选：B．【点睛】本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值．6．B【解析】

，将,代入化简即可.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.7．B【解析】

根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。【详解】根据题意，函数满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称，若函数在上单调递减，则在上递增，所以要使，则有，变形可得，解可得：或，即的取值范围为；故选：B．【点睛】本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。8．C【解析】

由题意和交集的运算直接求出.【详解】∵集合，∴.故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.9．B【解析】

先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，解得即可．【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，∵是直线上任意一点，则直线与直线的距离，∵圆与双曲线的右支没有公共点，则，∴，即，又故的取值范围为，故选：B．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．A【解析】

利用双曲线：的焦点到渐近线的距离为，求出，的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．【详解】双曲线：的焦点到渐近线的距离为，可得：，可得，，则的渐近线方程为．故选A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.11．C【解析】

由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解【详解】由题中图像可得，由变速直线运动的路程公式，可得．所以物体在间的运动路程是．故选：C【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.12．B【解析】

设，利用两点间的距离公式求出的表达式，结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设，因为是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，所以，则，当时，，当时，，当且仅当时取等号，此时，，点在以为焦点的椭圆上，，由椭圆的定义得，所以椭圆的离心率，故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由可得，利用等比数列的通项公式可得，再利用累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论.【详解】由，得，数列是等比数列，首项为2，公比为2，，，，，满足上式，.故答案为:.【点睛】本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题.14．【解析】

设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程．【详解】设切点坐标为，，，，则曲线在点处的切线方程为，由于该直线过原点，则，得，因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．15．【解析】

基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，由此能求出抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率．【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，分别为：，，，，，，，，，，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为．故答案为：【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，求解时注意辨别概率的模型．16．【解析】

先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.【详解】．故答案为：.【点睛】本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值.（2）利用基本不等式即可得到结论，注意等号成立的条件.【详解】（1）由题意，则函数，又函数的最小值为，即，由柯西不等式得，当且仅当时取“=”.故.（2）由题意，利用基本不等式可得，，，（以上三式当且仅当时同时取“=”）由（1）知，，所以，将以上三式相加得即.【点睛】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.18．（1）（）；（2）【解析】

（1）由已知，曲线的参数方程消去t后，要注意x的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；（2）设，，由（1）可得，，相加即可得到证明.【详解】（1），∵，∴，∴，由题可知：，：（）.（2）因为，设，，则，，.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.19．(1);(2).【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以．进而得到角A；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到，联立两式得到．解析：（I）因为，所以，由正弦定理，得．又因为，，所以．又因为，所以．（II）由，得，由余弦定理，得，即，因为，解得.因为，所以.20．（1）李某月应缴纳的个税金额为元，（2）分布列详见解析，期望为1150元【解析】

（1）分段计算个人所得税额；

（2）随机变量X的所有可能的取值为990，1190，1390，1590，分别求出各值对应的概率，列出分布列，求期望即可．【详解】解：（1）李某月应纳税所得额（含税）为：29600−5000−1000−2000＝21600元

不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元

超过3000元至12000元的部分税额为9000×10%＝900元，

超过12000元至25000元的部分税额为9600×20%＝1920元

所以李某月应缴纳的个税金额为90＋900＋1920＝2910元，

（2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000−2000＝12000元，

月应缴纳的个税金额为：90＋900＝990元

有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000＝14000元，

月应缴纳的个税金额为：90＋900＋400＝1390元；

没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−2000＝13000元，

月应缴纳的个税金额为：90＋900＋200＝1190元；

没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000＝15000元，

月应缴纳的个税金额为：90＋900＋600＝1590元；

．

所以随机变量X的分布列为：990119013901590．【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，考查了随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题．21．横线处任填一个都可以，面积为．【解析】

无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式，展开后，可求得角，再由余弦定理求得，从而易求得三角形面积．【详解】在横线上填写“”.解：由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又（若，则这与矛盾），所以.又，得.由余弦定理及，得，即.将代入，解得.所以.在横线上填写“”.解：由