2020北师大版九年级上册数学复习知识点及例题

/17形方正形方正性质边对角线性称对第一章2020北师大版九年级上册数学复习知识点及例题第二章特殊的平行四边形复习知识点归纳一•矩形矩形定义：的平行四边形叫做矩形.【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．矩形的性质性质1矩形的四个角都是直角；性质2矩形的对角线相等;具有平行四边形的所以性质。；矩形的判定矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。例1：若矩形的对角线长为8cm;两条对角线的一个交角为600;则该矩形的面积为例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A.对角线互相平分；B.四条边都相等；C.对角相等；D.邻角互补

二•菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）—组邻边相等.菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相平分;并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形.例3、如图；在1"ABCD中;0是对角线AC的中点;过点0作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F;求证：四边形AFCE是菱形.例4、已知如图;菱形ABCD中;E是BC上一点;AE、BD交于M;

若AB=AE,ZEAD=2ZBAE。求证：AM=BE。M例5.（10湖南益阳）如图;在菱形ABCD中;ZA=60°,AB=4,0为对角线BD的中点;过O点作OE丄AB;垂足为E.M6、（2011四川自贡）如图;四边形6、（2011四川自贡）如图;四边形ABCD是菱形;DE丄AB交BA的延长线于E;DF丄BC;交BC的延长线于F。请你猜想例7、（2011山东烟台）如图;菱形ABCD的边长为2;BD=2;E、F分别是边AD;CD上的两个动点;且满足AE+CF=2.（1）求证：ABDE^ABCF；（2）判断ABEF的形状;并说明理由；（3）设ABEF的面积为S;求S的取值范围.|三•正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的;它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形有一组邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形正方形不仅是特殊的平行四边形;并且是特殊的矩形;又是特殊的菱形.正方形定义：有一.组.邻.边.相.等.并且有.一.个.角.是.直.角.的平.行.四.边.形.叫做正方形正方形是中心对称图形;对称中心是对角线的交点;正方形又是轴对称图形;对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线;共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形;又是菱形;所以它的性质是它们性质的综合;正方形的性质总结如下：边：对边平行;四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等;互相垂直平分;每条对角线平分一组对角．注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形;这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质;同时又具有菱形的性质．正方形的判定方法：•（1）有一个角是直角的菱形是正方形；•（2）有一组邻边相等的矩形是正方形．•注意：1、正方形概念的三个要点：•（1）是平行四边形；•（2）有一个角是直角；•（3）有一组邻边相等．2、要确定一个四边形是正方形;应先确定它是菱形或是矩形;然后再加上相应的条件;确定是正方形.例1已知：如图;正方形ABCD中;对角线的交点为O;E是OB上的一点;DG丄AE于G;DG交OA于F.求证：OE=OF.例2已知：如图;四边形ABCD是正方形;分别过点A、C两点作l］〃l2;作BM丄l1于M;DN丄“于N;直线MB、DN分别交12于Q、P点.D.菱形、正方形求证：四边形PQMND.菱形、正方形实战演练：TOC\o"1-5"\h\z1•对角线互相垂直平分的四边形是（）A.平行四边形、菱形B.矩形、菱形C.矩形、正方形2•顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形3•如图;已知四边形ABCD是平行四边形;下列结论中不正确的是（）A.A.当AB=BC时;它是菱形B.当AC丄BD时;它是菱形C.当ZC.当ZABC=90o时;它是矩形D.4.如图;在AABC中;点E,D,F分别在边AB；BC；CA上;且DE〃CA；DF〃BA.下列四个判断中;不正确的是（）A.四边形AEDF是平行四边形B.如果ZBAC=90。；那么四边形AEDF是矩形如果AD平分ZBAC；那么四边形AEDF是菱形如果AD丄BC且AB二AC;那么四边形AEDF是菱形5•如图;四边形ABCD为矩形纸片•把纸片ABCD折叠;使点B恰好落在CD边的中点E处;折痕为AF•若CD=6；则AF等于（）B.3运B.3运C.4J2D.811.如图；已知P是正方形ABCD11.如图；已知P是正方形ABCD对角线BD上一点;且BP=BC;则ZACP度数是6•如图;矩形ABCD的周长为20cm；两条对角线相交于O点；过点O作AC的垂线EF；分别交AD,BC于E,F点;连结CE;则'CDE的周长为（）A．5cmB．8cmC．9cmD．10cm&如图;在矩形ABCD中;对角线AC,BD交于点O；已知ZAOD=120。，AB=2.5；则AC的长为边长为5cm的菱形;一条对角线长是6cm;则另一条对角线的长.如图所示;菱形ABCD中;对角线AC,BD相交于点O;若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形；则这个条件是（只填一个条件即可）.12•如图;矩形ABCD中;O是AC与BD的交点;过O点的直线EF与AB,CD的延长线分别交于E,F.（1）求证：'BOE^△DOF；（2）当EF与AC满足什么关系时;以A,E,C,F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论.3.已知AC为矩形ABCD的对角线;则图中Z1与Z2—定不相等的是（）CBBBCCCBCBBBCCCB7•如图：矩形纸片ABCD;AB=2;点E在BC上;且AE=EC.若将纸片沿AE折叠;点B恰好落在AC上;则AC的长是.第二章一元二次方程第二章一元二次方程一、一元二次方程一)一元二次方程定义含有一个未知数;并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。二)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c二0(a丰0);它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式;等式右边是零;其中ax2叫做二次项;a叫做二次项系数；bx叫做一次项;b叫做一次项系数；c叫做常数项。例方程(m-2)xm2-2+(3-m)x-2=0是一元二次方程;则m=.二、一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。当b>0时;x+a=±^b;x=-a+\b；当b<0时;方程没有实数根。例第二象限内一点A(x—l;x2—2);关于x轴的对称点为B;且AB=6;则x=.2、配方法一般步骤：方程ax2+bx+c=0(a丰0)两边同时除以a,将二次项系数化为1.将所得方程的常数项移到方程的右边。所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方配方;化成(x+a)2=b开方;当b>0时;x=-a土締；当b<0时;方程没有实数根。

例若方程（x-4）2=a有解;则a的取值范围是（）•A.a<0B.a>0C.a>0D.无法确定3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法;它是解一元二次方程的一般方法一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的求根公式：一b一b±\：b2一4ac2a(b2-4ac>0)例已知x2+4x—2=0;那么3x2+12x+2012的值为4、因式分解法一元二次方程的一边为0;另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。例已知一个三角形的两边长是方程x2-8x+15=0的两根;则第三边y的取值范围是（）.A.y<8B.3<y<5c.2<y<8D.无法确定补充：一元二次方程根的判别式根的判别式1、定义：一兀二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）中;b2-4ac叫做一兀二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的根的判别式。2、性质：当b2-4ac>0时;方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时;方程有两个相等的实数根；当b2-4acV0时;方程没有实数根。例若关于X的方程X2-2（a-1）x=（b+2）2有两个相等的实根;则a2013+b5的值为.例若关于x的方程x2—2x（k-x）+6=0无实根;则k可取的最小整数为（）（A）-5（B）-4（C）-3（D）-2补充：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）bc如果方程ax2+bx+c=0(a丰0)的两个实数根是x,x;那么x+x=-一；xx=1212a12a第三章概率的进一步认识、知识概括1、频率即：频率=频数=频数

数据总数即：频率=频数=频数

数据总数=实验次数2）每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率3）在频率分布直方图中;由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率;而各组频率的和等于1。因此;

各个小长方形的面积的和等于1。2、概率的求法：（1）一般地;如果在一次试验中;有n种可能的结果;并且它们发生的可能性都相等;事件A包含其中的m个结果;那么事件A发生的概率为P（A）=-n（2）表格法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。（3）树状图法通过画树状图列出某事件的所有可能的结果;求出其概率的方法叫做树状图法。（当一次试验要涉及三个或更多的因素时;用列表法就不方便了;为了不重不漏地列出所有可能的结果;通常采用树状图法求概率。）例在布袋中装有两个大小一样;质地相同的球;其中一个为红色;一个为白色。模拟“摸出一个球是白球”的机会;可以用下列哪种替代物进行实验（）A）“抛掷一枚普通骰子出现1点朝上”的机会B）“抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会C）“抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会（D）“抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会例如图;图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形;每个扇形上都标有数字;同时自由转动两个转盘;转盘停止后;指针都落在奇数上的概率是（）TOC\o"1-5"\h\z2331（A）（B）（C）（D）-510205例如图;一个小球从A点沿制定的轨道下落;在每个交叉口都有向左或向右两种机会均等的结果;小球最终到达H点的概率是（）（A）-（B）-（C）-（D）-2468例如图是从一副扑克牌中取出的两组牌;分别是黑桃1、2、3、4和方块1、2、3、4;将它们背面朝上分别重新洗牌后;从两组牌中各摸出一张;那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是（）1113（A）-（B）-（C）-（D）32345例在图中的甲、乙两个转盘中;指针指向每一个数字

的机会是均等的.当同时转动两个转盘;停止后指针所指的两个数字表示两条线段的长;如果第三条线段的长为5;那么这三条线段不．那么这三条线段不．能．构成三角形的概率是（（A）仝CB）—（C）12252525三、典型例题)1\2/264”，1,7-(D)16—<<3,25甲乙例1.袋中有红、黄、白色球各一个;它们除颜色外其余都相同;每次任取一个;又放回抽取两次。求下列事件的概率。（1）全红（2）颜色全同（3）无白解：红黄白红（红，红）（红，黄）（红，白）黄（黄，红）（黄，黄）（黄，白）白（白，红）（白，黄）（白，白）1P（全红）二91p（颜色全同）二34P（无白）二一9说明：颜色全同包括都是红色或都是黄色或都是白色；无白指没有白色球。例2.一个密码保险柜的密码由6个数字组成;每个数字都是由0〜9这十个数字中的一个;王叔叔忘记了其中最后面的两个数字;那么他一次就能打开保险柜的概率是多少？解他前面的4个数字都已知道只有最后两个数字忘记了;而最后两个数字每个数字出现的可能结果都有10种情况;1那么组成两个数字的可能结果就有100种;因此正好是密码上的最后两个数字的概率是而。例3.袋中有红色、黄色、蓝色、白色球若干个;小刚又放入5个黑球后;小颖通过多次摸球实验后;发现摸到红球、黄球、蓝球、白球及黑球的频率依次为25％;30％;30％;10％;5％;试估计袋中红色球、黄色球、蓝色球及白色球各有多少个？解：小刚放入5个黑球后摸到的黑色球的频率为5％;则可以由此估计出袋中共有球—二=100（个）。说明此时袋中可能有100个球（包括5个黑球），则有红色球5%100X25%=25个;黄色球100X30%=30个;蓝色球100X30%=30个;白色球100X10%=10个。例4.甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏;转动两个转盘各1次（1）若两次数字之差的绝对值为0;1或2;则甲胜;否则乙胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？2）若两次数字和是2的倍数;则甲胜;而若和是3的倍数或5的倍数;则乙胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？解（1）用列表的方法可看出所有可能的结果：13456810234572112346431012454210136532102从上表中可以看出两个数字之差的绝对值;为0的有4种可能结果;1的有7种可能1713甲胜的可能性比乙大;所以结果，2的有甲胜的可能性比乙大;所以不公平。2）通过列表可知：134568124567923567810457891012568910111367910111214出现的两个数字之和是2的倍数有15种;出现的两个数字之和是3的倍数有10种;5比乙小;所以不公平。的倍数有6种’所以甲胜的概率为比乙小;所以不公平。例5.小明与同学一起想知道每6个人中有两个人生肖相同的概率;他们想设计一个模拟实验来估计6个人中恰有两个人生肖相同的概率;你能帮他们设计这个模拟方案吗？分析：可以用摸球、扑克牌、转盘、计算器模拟随机整数等方法。注意“一次实验”的设计。解用12个完全相同的小球分别编上号码1〜12;代表12个生肖;放入一个不透明的袋中摇匀后;从中随机抽取一球;记下号码后放回;再摇匀后取出一球记下号码……连续取出6个球为一次实验;重复上述实验过程多次;统计每次实验中出现相同号码的次数除以总的实验次数;得到的实验频率可估计每6个人中有两个人生肖相同的概率。第四章图形相似与相似三角形知识点解读知识点1.．相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似;其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（2）全等形可以看成是一种特殊的相似;即不仅形状相同;大小也相同．（3）判断两个图形是否相似;就是看这两个图形是不是形状相同;与其他因素无关．例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变．解：是相似图形。因为它们的形状相同;大小不一定相同．例2.下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形;其中一定是相似图形的是（填序号）.解析：根据相似图形的定义知;相似图形的形状相同;但大小不一定相同;而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形;而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一;它们都相似．答案：②⑤⑥．知识点2．比例线段ac对于四条线段a,b,c,d;如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等;即=石(或a:b=c:d)那么这bd四条线段叫做成比例线段;简称比例线段．ac解读：(1)四条线段a,b,c,d成比例;记作丁=亏(或a:b=c:d);不能写成其他形式;即比例线段有顺序性.bdac在比例式厂=~(或a:b=c:d)中;比例的项为a,b,c,d;其中a,d为比例外项;b,c为比例内项;d是第四比例项.bdab如果比例内项是相同的线段;即〒=—或a:b=b:c;那么线段b叫做线段和的比例中项。bc通常四条线段a,b,c,d的单位应一致;但有时为了计算方便;a和b统一为一个单位;c和d统一为另一个单位也可以;因为整体表示两个比相等.a例3.已知线段a=2cm,b=6mm,求ba分析：求7即求与长度的比;与的单位不同;先统一单位;再求比.b3例4.已知a,b,c,d成比例;且a=6cm,b=3dm,d=—dm;求c的长度.分析：由a,b,c,d成比例;写出比例式a:b=c:d;再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c.知识点3．相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等;对应边的比相等．解读：(1)正确理解相似多边形的定义;明确“对应”关系．明确相似多边形的“对应”来自于书写;且要明确相似比具有顺序性．例5.若四边形ABCD的四边长分别是4;6;8;10;与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30;则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？1分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似;且它们的相似比为对应的最大边长的比;即为3;再根据相似多边形对应边成比例的性质;利用方程思想求出最小边的长．知识点4．相似三角形的概念对应角相等;对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种；应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；相似三角形应满足形状一样;但大小可以不同；相似用“s”表示;读作“相似于”；相似三角形的对应边之比叫做相似比.注意：①相似比是有顺序的;比如△ABCs^A1B1C1湘似比为k,若厶A1B1C1s^ABC侧相似比为1。②若两个三k角形的相似比为1;则这两个三角形全等;全等三角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全等;则这两个三角形相似；若两个三角形相似;则这两个三角形不一定全等.例6.如图;已知△ADEs^ABC;DE=2;BC=4则和的相似比是多少？点D;E分别是AB;AC的中点吗？注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比的顺序性;（2）图形的识别．解：因ADEs^ABC;解：因ADEs^ABC;所以罟==BCABAEAC；因为竺BC2142；所以=AC=2；所以d；e分别是ab；ac的中点.ABAC2知识点5．相似三角的判定方法（1）定义：对应角相等；对应边成比例的两个三角形相似；（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似．（3）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等；那么这两个三角形相似．（4）如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例；并且夹角相等；那么这两个三角形相似（5）如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例；那么这两个三角形相似．（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．经过归纳和总结;相似三角形有以下几种基本类型：平行线型常见的有如下两种;DE〃BC;则厶ADEs^ABCCC相交线型常见的有如下四种情形;如图;已知Z1=ZB;则由公共角ZA得;AADEsAABC如下左图;已知Z1=ZB;则由公共角ZA得;AADCsAACB如下右图;已知ZB=ZD;则由对顶角Z1=Z2得;AADEsAABC旋转型已知ZBAD=ZCAE;ZB=ZD;则厶ADEs^ABC;下图为常见的基本图形.母子型已知ZACB=90°;AB丄。。;则4CBD^^ABC^^ACD.解决相似三角形问题;关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形．例7.如图;点D在厶ABC的边AB上;满足怎样的条件时;AACD与厶ABC相似？试分别加以列举.分析：此题属于探索性问题;由相似三角形的判别方法可知;AACD与厶ABC已有公共角ZA;要使此两个三角形相似;可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可．解：当满足以下三个条件之一时^ACDs^ABCADAC条件一：Z1=ZB；条件二：Z2=ZACB；条件三：；即ACAAD・AB.ACAB知识点6．相似三角形的性质（1）对应角相等;对应边的比相等；（2）对应高的比;对应中线的比;对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．例8.如图;已知△ADEs^ABC;AD=8;BD=4;BC=15;EC=7（1）求DE、AE的长；（2）你还能发现哪些线段成比例.BCAD分析：此题重点考查由两个三角形相似;可得到对应边成例;即AEBCAD分析：此题重点考查由两个三角形相似;可得到对应边成例;即AEABAC解：("•.•△ADEsAABC;;AD=8;BD=4;BC=15;EC=7x15;AD=8;BD=4;BC=15;EC=7x1512x=8X15,x=10;(2)AD_AE丽_EC、a8(2)AD_AE丽_EC设AE二a,贝9_T^，.a=14.a+712例9.已知△ABC^^A.B.C.;一=t；AABC的周长为20cm;面积为40cm2.111；AB311求（"△A1B1C1的周长；（2）4人占&]的面积.分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解易求出△A]B]C]的周长为30cm;△A1B1C1的面积90cm2五、视图与投影1、视图三视图包括：主视图、俯视图和左视图。主视图左视图在画视图时;看得见的部分的轮廓线通常画成实线;看不见的部分轮廓线通常画成虚线。主视图左视图例如图;一几何体的三视图如右：那么这个几何体是，例如果用□表示1个立方体;用□表示两个立方体叠加;用■表示三个立方体叠加;那么下面右图由7个立方体叠成的几何体;从正前方观察方体叠成的几何体;从正前方观察;可画出的平面图形是（）ABCD2、投影1）投影：物体在光线的照射下;在地面上或墙壁上留下它的影子;这就是投影现象。（2）平行投影：太阳光线可以看成平行光线;像这样的光线所形成的投影称为平行投影。（3）中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的;像这样的光线所形成的投影称为中心投影。（4）区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。（5）从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影;是当光线与投影垂直时的投影。①点在一个平面上的投影仍是一个点；线段在一个面上的投影可分为三种情况：线段垂直于投影面时;投影为一点；线段平行于投影面时;投影长度等于线段的实际长度；线段倾斜于投影面时;投影长度小于线段的实际长度。平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：平面图形和投影面平行的情况下;其投影为实际形状；平面图形和投影面垂直的情况下;其投影为一线段；平面图形和投影面倾斜的情况下;其投影小于实际的形状。TOC\o"1-5"\h\z例小明在操场上练习双杠时;在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（）A.相交B.平行C.垂直D.无法确定A__J例小明希望测量出电线杆AB的高度;于是在”A阳光明媚的一天;他在电线杆旁的点D处立一标杆CD;使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、、c、A在一直线上）:量得ED=2米;DB=4米;CD=1.5米;则电线杆AB长=E.DB3、视点、视线、盲区眼睛的位置称为视．点．；由视点发出的线称为视．线．；眼睛看不到的地方称为盲．区．。例当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时;你会发