2019-2020学年山西省运城市高三(上)期末数学试卷(理科)

第第页(共21页)求证：CG丄AF；求平面BCF与平面AEF所成角的正弦值.【解答】解：(1)QCF丄平面ABCD,ABu平面ABCD,CF丄AB,又Q四边形ABCD是正方形，AB丄BC,QBCICF=C，AB丄平面BCF，QCGu平面BCF，CG丄AB，又QBC=CF=2，G为BF的中点，/.CG丄BF，QABIBF=B，.CG丄平面ABF，QAFu平面ABF，CG丄AF；(2)QCF丄平面ABCD，CF//DE，.DE丄平面ABCD．以D为坐标原点，DA，DC，DE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图所示：则D(0，0，0),A(2，0，0),C(0，2，0),E(0，0，1)F(0，2，2).uuuruuuruuur.AE=(-2,0,1)，EF=(0,2,1)，DC=(0,2,0)・r设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量，ruuur.ngAE=—2x=0人.r则iruur，令x=1，则n=(1,—1,2)，ngEF=2y+z=0uuur由题意知DC=(0,2,0)为平面BCF的一个法向量，ruuur

cos(n,DC)=<66rgDCrruuur

cos(n,DC)=<66InIIDCI6x2.平面BCF与平面AEF所成角的正弦值为,,：1-(-^)2=辺66(12分)设S为等差数列｛a｝的前n项和，且a=15,S=65.TOC\o"1-5"\h\znn25(I)求数列｛a｝的通项公式;n(II)设数列｛b｝的前n项和为T，且T=S-10，求数列｛lb1｝的前n项和R.nnnnnn【解答】解：(I)设等差数列｛a｝的公差为d，则由a=15,S=65.n25^得a+d—15，5a+10d二65，11解得a—17，d——2，1故a—17—2(n—1)—-2n+19；n(II)由(I)得：S——n2+18nT——n2+18n—10，nnb=j7,n=1nI—2n+19,n..2易知，当啜n9时，b>0；当n..10时，b<0，nnTOC\o"1-5"\h\z•••1。当1剟n9时，R—lbl+1bl+•••+lbl—b+b+•••+b——n2+18n—10n12n12n2。当n.10时R—lbl+1bl+...+lbl—b+b+...+b一(b+b+...+b)——T+2T—n2一18n+152.n12n1291011nn9故R—<n—n2+18n一10,1剟h9n2—18n+152,n.10(12分)已知函数f(x)—exsinx.求函数f(x)的单调区间；如果对于任意的xG[0,-]，f(x)..kx总成立，求实数k的取值范围.2【解答】解：(1)由于f(x)—exsinx，TOC\o"1-5"\h\z所以f'(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)=\：2exsin(x+),4兀兀3兀当x+g(2k兀,2k兀+兀)，即xg(2k兀——,2k兀+—)时，f'(x)>0；444兀3兀7兀当x+g(2k兀+兀,2k兀+2兀)，即xg(2k兀+—,2k兀+—)时，f'(x)<0.444所以f(x)的单调递增区间为(2k兀--,2k兀+匹)(kgZ)，44单调递减区间为(2k-+西,2k-+7-)(kgZ)；44(2)令g(x)=f(x)-kx=exsinx-kx,-要使f(x)..kx总成立，只需xg[0,—]时g(x)0，2min对g(x)求导，可得g'(x)=ex(sinx+cosx)-k，令h(x)=ex(sinx+cosx)，-则h'(x)=2excosx>0，(xg(0,—))2所以h(x)在［0,号］上为增函数，一1”,—所以h(x)g［1,e2］；对k分类讨论：当k„1时，g'(x)...0恒成立，-所以g(x)在［0,-］上为增函数，2所以g(x)=g(0)=0，min即g(x).0恒成立；—当1<k<e2时，g'(x)=0在上有实根x°,因为h(x)在(0,中)上为增函数，所以当xg(0,x)时，g'(x)<0，0所以g(x)<g(0)=0，不符合题意；0当k..e2时，g'(x)„0恒成立，所以g(x)在(0,扌)上为减函数，

则g(x)<g(0)=0，不符合题意.综上，可得实数k的取值范围是(-8,1].(12分)过x轴上动点A(a,0)引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ,P、Q为切点.(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k和匕，求证：kg为定值，并求出定值;12122)求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标;Suuuruuur(3)当aapo最小时，求AQgAP的值.PQ\1rQA0Z【解答】解：(1)设过A(a,0)与抛物线y=x2+1的相切的直线的斜率是k,则该切线的方程为：y=k(x-a)由Jya)得x2-kx+(ka+1)=0/.△=k2-4(ka+1)=k-4ak-4=0Iy=x2+12则k，k都是方程k2-4ak-4=0的解，故kk=-41212(2)设P(x，y)，Q(x，y)1122由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y=2x(x-x)111贝9一y=2x(a一x)=2xa一2x2=2xa一2(y一1)「.y=2xa+2，同理y=2xa+211111111122则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点(0,2)(3)要使-UHSQ最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离|PQ|2a2+22a2+2

v4a2+1(4a2+1+3)4a2+134a2+1)・・*3当且仅当\：4a2+1=3即a2=时取等号设P(x，y)，Q(x，y)J4a2+121122贝9x+x=2a，xx=-1，1212由贝9x+x=2a，xx=-1，1212Iy=x2+1

uuuruuurAQgAP=(x一a)(x一a)+yy=(x一a)(x一uuuruuurAQgAP=(x一a)(x一a)+yy=(x一a)(x一a)+(2ax+2)(2ax+2)121212129=(1+4a2)xx+3a(x+x)+a2+4=一(1+4a2)+3ag2a+a2+4=3a2+3=—1212222.(10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：<c3x二一2+—t5(t为参数)，它y=2+—t5与曲线C:(y-2)2-x2=1交于A，B两点.求IABI的长；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为(2、：2,乎)，求点P到线段AB中点M的距离.【解答】解：(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2+60t-125=0设A，B对应的参数分别为t，t，则t+1=—,11=——12127127.IABI=It-1I=.(t+1)2-4tt=—1212127(2)由P的极坐标为(2迁，竺)，可得x=2<Icos竺=-2,4p4点P在平面直角坐标系下的坐标为(-2,2)，根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为H307.由t的几何意义可得点P到M的距离为IPMI=I—1=30.2723•已知函数心=存+护1+—(a>0，cb>0，c>0)的图象过定点A(1,3)⑴求证：abc…6；2)求3a+2b+c的最小值.解答】解：(1解答】解：(1)因为函数f(x)11=x2+x3a2bc+^(a>0，b>0，c>0)的图象过定点A(1,3),所以f(1)=++丄=3.16abc3a2bc16abc所以3=—+—+1.33a2bc1即a=3，b1即a=3，b=2