高中人教A版数学必修4：第21课时 平面向量基本定理 Word版含解析

第21课时平面向量基本定理课时目标1.了解平面向量的基本定理及其意义．2．能正确的运用平面向量基本定理解决问题．识记强化1．平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a、eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．如果a与b的夹角是90°，我们就说a与b垂直，记作a⊥b.课时作业一、选择题1．下列各组向量中，一定能作为基底的是()A．a＝0，b≠0B．a＝3e，b＝－3e(e≠0)C．a＝2e1－e2，b＝e1＋2e2(e1，e2不共线)D．a＝4e1＋4e2，b＝－2e1－2e2(e1，e2不共线)答案：C解析：由平面向量基本定理知，a，b不共线，∴选C.2．设a，b是不共线的两个非零向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b.若A，B，D三点共线，则p的值为()A．1B．2C．－2D．－1答案：D解析：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，由A，B，D三点共线，知存在实数λ，使2a＋pb＝2λa－λb.∵a，b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＝2,p＝－λ))，∴p＝－1.3．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝e2，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)(e1＋e2)B.eq\f(1,2)(e1－e2)C.eq\f(1,2)(2e2－e1)D.eq\f(1,2)(e2－e1)答案：A解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝e2，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(e1＋e2)，故选A.4．已知非零向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共线，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(xOA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则x，y满足的关系是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0答案：A解析：由eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→)).又2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ,y＝－2λ))，消去λ得x＋y＝2.5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝()A．λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，λ∈(0,1)B．λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C．λ(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，λ∈(0,1)D．λ(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))，λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))答案：A解析：如图所示，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).又点P在AC上，∴eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))同向，且|eq\o(AP,\s\up6(→))|<|eq\o(AC,\s\up6(→))|，故eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，λ∈(0,1)．6．若点O是▱ABCD的两条对角线AC与BD的交点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝4e1，eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e2，则3e2－2e1等于()A.eq\o(AO,\s\up6(→))B.eq\o(CO,\s\up6(→))C.eq\o(BO,\s\up6(→))D.eq\o(DO,\s\up6(→))答案：C解析：3e2－2e1＝eq\f(1,2)(6e2－4e1)＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→)).二、填空题7．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5k,2)))e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________.答案：－2或eq\f(1,3)解析：由题设，知eq\f(k2,2)＝eq\f(1－\f(5k,2),3)，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或eq\f(1,3).8．已知e1，e2是两个不共线向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________.答案：－eq\f(1,2)解析：因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以存在唯一的μ，使2e1－e2＝μ(e1＋λe2)＝μe1＋μλe2，所以μ＝2，μλ＝－1，故λ＝－eq\f(1,2).9．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，eq\o(AP,\s\up6(→))＝yeq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，且均不为0.若eq\o(PQ,\s\up6(→))∥eq\o(BE,\s\up6(→))，则eq\f(x,y)＝________.答案：eq\f(1,2)解析：∵eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))－yeq\o(AD,\s\up6(→))，由eq\o(PQ,\s\up6(→))∥eq\o(BE,\s\up6(→))，可设eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(BE,\s\up6(→))，即xeq\o(AB,\s\up6(→))－yeq\o(AD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝－eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)λ,y＝－λ))，则eq\f(x,y)＝eq\f(1,2).三、解答题10.如图，在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M为BC的中点，试用a，b表示eq\o(MN,\s\up6(→)).解：由eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，知N为AC的四等分点．eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.11．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，若存在实数λ和μ，使d＝λa＋μb与c共线，那么实数λ和μ应该是什么关系？解：∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，若d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．能力提升12．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.答案：eq\f(4,3)解析：选择eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))作为平面向量的一组基底，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)λ＋μ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(λ＋eq\f(1,2)μ)eq\o(AD,\s\up6(→))，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))所以λ＋μ＝eq\f(4,3).13.如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.求证：B、E、F三点共线．证明：如图所示，延长AD到G，使eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，连接BG、CG，得到平行四边形ABGC，则eq\o(AG,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\u