高中人教A版数学必修4：第26课时 平面向量的应用举例 Word版含解析

第26课时平面向量的应用举例课时目标1.体会向量是解决处理几何、物理问题的工具．2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法．识记强化1．向量方法解决几何问题的“三步曲”．(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的减法与加法类似，可以用向量的方法解决．课时作业一、选择题1．已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是()A．A，B，C三点共线B.eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))C．A，B，C是等腰三角形的顶点D．A，B，C是钝角三角形的顶点答案：D解析：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,4)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－4<0，∴∠C是钝角．2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)答案：D解析：由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．3．在四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，则四边形为()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形答案：D解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))知四边形ABCD是平行四边形，又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴此四边形为菱形．4．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10mA．10m/sB．2eq\r(26)C．4eq\r(6)m/sD．12m答案：B解析：设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝eq\r(v2－2v·v1＋v\o\al(2,1))＝2eq\r(26)(m/s)．5．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．v1－v2B．v2－v1C．v1＋v2D．|v1|－|v2|答案：C解析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，逆风行驶的速度为v1＋v2，故选C.6．点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：①eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0；②eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)－\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)－\f(\o(BA,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)))＝0；③(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.则点O依次为△ABC的()A．内心、重心、垂心B．重心、内心、垂心C．重心、内心、外心D．外心、垂心、重心答案：C解析：①由于eq\o(OA,\s\up6(→))＝－(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－2eq\o(OD,\s\up6(→))，其中D为BC的中点，可知O为BC边上中线的三等分点(靠近线段BC)，所以O为△ABC的重心；②向量eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)分别表示在AC和AB上取单位向量eq\o(AC′,\s\up6(→))和eq\o(AB′,\s\up6(→))，它们的差是向量eq\o(B′C′,\s\up6(→))，当eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)－\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))＝0，即OA⊥B′C′时，则点O在∠BAC的平分线上，同理由eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)－\f(\o(BA,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)))＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))是以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))为边的平行四边形的一条对角线，而eq\o(AB,\s\up6(→))是该四边形的另一条对角线，eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝0表示这个平行四边形是菱形，即|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|，同理有|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，于是O为△ABC的外心．二、填空题7．已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4,3)，vb＝(3,4)，则va在vb上的投影为________．答案：eq\f(24,5)解析：由题知va与vb的夹角θ的余弦值为cosθ＝eq\f(12＋1`2,5×5)＝eq\f(24,25).∴va在vb上的投影为|va|cosθ＝5×eq\f(24,25)＝eq\f(24,5).8．已知点A(0,0)，B(eq\r(3)，0)，C(0,1)．设AD⊥BC于D，那么有eq\o(CD,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))，其中λ＝________.答案：eq\f(1,4)解析：如图|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝2，由于AD⊥BC，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))，所以C、D、B三点共线，所以eq\f(|\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(CB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,4)，即λ＝eq\f(1,4).9．在四边形ABCD中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(7,4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．答案：30解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,6)＝eq\o(AD,\s\up6(→))，∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为矩形，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(20)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(45)，∴S＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝30.三、解答题10.如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝eq\f(1,3)BD，求证：M，N，C三点共线．证明：依题意，得eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))．∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→)).∵eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝3eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(MC,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→)).又eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))有公共点M，∴M，N，C三点共线．11．两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i,j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求：(1)F1，F2分别对该质点做的功；(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．解：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.(1)F1做的功W1＝F1·s＝F1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28；F2做的功W2＝F2·s＝F2·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23.(2)F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F做的功W＝F·s＝F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5.能力提升12．如图，作用于同一点O的三个力eq\o(F1,\s\up6(→))、eq\o(F2,\s\up6(→))、eq\o(F3,\s\up6(→))处于平衡状态，已知|eq\o(F1,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(F2,\s\up6(→))|＝2，eq\o(F1,\s\up6(→))与eq\o(F2,\s\up6(→))的夹角为eq\f(2π,3)，则eq\o(F3,\s\up6(→))的大小________．答案：eq\r(3)解析：∵eq\o(F1,\s\up6(→))、eq\o(F2,\s\up6(→))、eq\o(F3,\s\up6(→))三个力处于平衡状态，∴eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→))＋eq\o(F3,\s\up6(→))＝0即eq\o(F3,\s\up6(→))＝－(eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→)))，∴|eq\o(F3,\s\up6(→))|＝|eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5())\o(F1,\s\up6(→))＋\o(F2,\s\up6(→))2)＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5())\o(F\o\al(2,1),\s\up6(→))＋2\o(F1,\s\up6(→))·\o(F2,\s\up6(→))＋\o(F\o\al(2,2),\s\up6(→)))＝eq\r(1＋2×1×2×cos\f(2π,3)＋4)＝eq\r(3).13．已知A(2,1)、B(3,2)、D(－1,4)．(1)求证：eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))；(2)若四边形ABCD为矩形，试确定点C的坐标，并求该矩形两条对角线所成的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－3,3)．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，∴eq\o