2018年高考理科数学(3卷)答案详解(附试卷)

第第页共21页・•・OD=2+4=6.・•・三棱锥D・•・三棱锥D-ABC体积的最大值为x2y211.设是双曲线C：--石=i（a>°，b>°）的左、右焦点，。是坐标原点•过f2作C的一条渐近线的垂线，垂足为只若IpfJOp，则C的离心率为A.、5B.2C.*3D.迓_,b【解析】双曲线C的渐近线方程为y=±ax，即bx土ay=0.abc・•.点F2到渐近线的距离为d==b，即\PF\=b，y>a2+b22\OP\=■'\OF\2-\PF\2=Jc2-b2=a,22\PF1\=46\OP\=j6a，在Rt△在Rt△OPF2中，cosZPFO=2|PF|2IOFI2PF\2+IFFI2—IPFI2b2+4c2一6a2在Rt△FiPF2中，TOC\o"1-5"\h\zcosZ在Rt△FiPF2中，22IPFI・IFFI4bc2i2bb2+4c2一6a2=，化简得4c2一6a2=3b2，将b2=c2一a2代入其中得c2=3a2，c4bc

图All【答案】C12•设a=I。％。3,b=log0.3，则2a图All【答案】C12•设a=I。％。3,b=log0.3，则2a+b<ab<0a+b<0<abD.ab<0<a+b【解析】•・•log1<log0.3<log0.20<a<1.0.20.20.2•・•log20.3<log22,・•・b<-1.7叩叩=-+丄二log2+log0.2二log0.4<log0.3二1,ab<0,abab0.30.30.30.3综上所述ab<a+b<0.答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,力.若c〃(2a+b)，则X=1X1【解析】2a+b=(4,2),△-=-，解得X=2I-乙乙【答案】2

14.曲线y=(ax+l)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2，则a=.【解析】・・•y'=aex+(ax+1)e%=(ax+a+1)e%,.・.y'I二a+1=-2,.・.a=-3x=0【答案】-3n15.函数f(x)=cos3x+；在［0,n］的零点个数为k6丿解析】令(n)解析】令(n)cos3x+—k6丿nn=0，得3x+—=—+kn(kgZ)623k+19n(kgZ)18…0<n<n(kgZ)・9-3<k…0<n<n(kgZ)・9・•・函数f(x)=cos3x+在【0，n］内有3个零点个数.【答案】316.已知点M(-1,1)和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，两点.若ZAMB=90。,则k=.【解析】令由题意可知，抛物线C的焦点为F(1,0)，直线AB的方程为y=k(x-1).［y=k(x-1)联立］2外，得k2x2-2(2+k2)x+k2=0，Iy2=4x设A(x1,设A(x1,y1)B(x2,y2)则有x1+x24+2k2=4k2k2+2，xx=1，124・y1+y2yy=k2(・y1+y2yy=k2(x-1)(x-1)=-4121212k・M(-1,1)，・MA=(x1+1,y1-1)，MB=(x2+1,y2-1)・.・ZAMB=90,・・.MA丄MB，44・MA•MB=(x1+1)(v1土人-1)(y2-1)=込-工+1=°，即k2+4k+4=o，解得k=2.【答案】2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(12分)等比数列｛a｝中，a=1,a=4a.n153求｛a｝的通项公式；n记S为｛a｝的前n项和.若S=63，求m.nnm【解析】(1)设｛a｝的公比为q，由题设得a=qn-i.nn由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)，q=—2或q=2.故a=(-2)n-1或a=2n-1.nn(2)若a=(—2)n-1，则S=1—(—2)n.由S=63得(—2)m=—188，此方程没有正整数解.nn3m若a=2n-1，则S=2n—1.由S=63得2m=64，解得m=6.nnm综上，m=6.18．(12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第…种生产方式第二种主产方式86556899762701223456689H776543328144521100g0(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2(ad一be附：K2(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)P(K2三k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析】(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.(2)由茎叶图知m(2)由茎叶图知m二79+812二80.列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于K2二律15；,5；：^二io>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有20x20x20x20差异.19.(12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C,D的点．证明：平面AMD丄平面BMC；当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.【解析】(1)由题设知，平面CMD□平面ABCD，父线为CD.因为BC^CD，BCu平面ABCD，所以BC^平面CMD,故BCDDM.因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM^CM.又BCCM=C,所以DM□平面BMC.而DMu平面AMD,故平面AMD□平面BMC.(2)以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

当三棱锥M当三棱锥M-ABC体积最大时，M为CD的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)AM=(—2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0)设n二（x,y,Z）是平面MAB的法向量，则n-AMn-AM二0,即Vn-AB二0.—2x+y+z=0,2y=0.可取（1，0,2）.DA是平面MCD的法向量,因此如",DA=nDAi手sin：n,DAj=所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是琴20.（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：手+斗二1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1,m）（m〉0）.IJ⑴证明：k<-.（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FA+FB二0.证明：FA,FP,FB成等差数列,并求该数列的公差．x2y2x2y2【解析】⑴设A"人）,叭y2），则丁+丁=1方+t=1y—y两式相减，并由2=k得x—x12x+xy+y

由题设知p2=2=m，于是34m由题设得0<m<I,故k<—g.(2)由题意得F(I，0)，设P(x,y)，则33(x一1,y)+(x一1,y)+(x一1,y)=(0,0).

331122由(1)及题设得x=3—(x+x)=1,y=—(y+y)=—2m<0.31231233又点P在C上，所以m=4，从而P(1，—|)，1Fp\=-.于是IFA1=¥(xi—1)2+yj=(xi—1)2+3(1—丁)=2—--.同理|FB|=2所以丨FAI+1FB1=4—1(x+x)=3.故21FP1=1FAI+IFBI，即IFA1,1FP1,1FBI成等差数列.设该数列的公差为〃，则21dI=IIFBI—IFA11=丄Ix—xI=丄J(x+x)2—4xx.口21221212将m=4代入□得k=—1._

71所以i的方程为y=—x+4，代入c的方程，并整理得7x2—14x+4=0.故x+x二2,xx二1，代入□解得IdI二322112122828所以该数列的公差为或—32r-21．(12分)已知函数f(x)=G+x+ax2)ln(1+x)—2x.(1)若a=0，证明：当—1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0；(2)若x=0是/(x)的极大值点，求a.解析】(1解析】(1)当a=0时，f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x，f'(x)=ln(1+x)-xx设函数g(x)=广(x)=ln(1+x)―，则gg(x)=.1+x(1+x)2当-1<x<0时，g'(x)<0；当x>0时，g'(x)>0.故当x>-1时，g(x)>g(0)=0，且仅当x二0时，g(x)=0，从而f(x)>0，且仅当x二0时，f(x)=0.所以f(x)在(-1,+s)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0.(2)(i)若a>0，由(1)知，当x>0时，f(x)>(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0)，这与x二0是f(x)的极大值点矛盾.(ii)若a<0，设函数h(x)==ln(1+x)一.2+x+ax22+x+ax2由于当IxI<min{1,1-1}时，2+x+ax2>0,故h(x)与f(x)符号相同.Ial又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.12(2+x+ax2)-2x(1+2ax)x2(a2x2+4ax+6a+1)h(x)二二1+x(2+x+ax2)2(x+1)(ax2+x+2)2

如果6a+1>0,贝y当o<x<6a+14a且如果6a+1>0,贝y当o<x<6a+14a的极大值点.如果6a+1<0,贝的极大值点.如果6a+1<0,贝ya2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0故当xG(X],0)Ixl<min{1,}时,Ialh'(x)<0，所以x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1=0，则h(x)=x3(x一24)(x+1)(x2-6x-12)2.则当xG(-1,0)时，hh(x)>0；当xG(0,1)时,h'(x)<0.所以x=0是h(x)的极大值点，从而x=0是f(x)的极大值点综上，a=-

二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)在平面直角坐标系x°y中，0°的参数方程为［X=C°S,(9为参数)，过点(0,-v2)且倾斜角为Iy=sin9a的直线l与0O交于A,B两点.1)求a的取值范围;2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解析】(1)O的直角坐标方程为x2+y2二1.当a=时，1与°交于两点.O2兀,—\2当a北恳时，记tana—k，则1的方程为y=kx-2.1与°交于两点当且仅当1|<1，2V1+k2解得k<—1或k>1，即ag（4,2）或aG（2，才）•综上，a的取值范围是(4,普).Ix=tcosa,兀⑵1的参数方程为|y一迈+1sina(t为参数，4w3兀)4)，t+t设A,B，p对应的参数分别为t，,，，则t—ABABPP2，且t,满足12-2^2tsina+1=0.AB-Ix—tcosa,于是t+1=2\2sina，t=、：2sina.又点P的坐标（x，y）满足1abpIy=-Q2+1sina.ip所以点P的轨迹的参数方程是1x=sin2a,2/兀3兀、（a为参数，一<a<）.迈迈宀为参数，44y=——cos2a2223．［选修4—5：不等式选讲］(10分)设函数f（x）=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)当x丘［0,+8),f(X)Wax+b，求a+b的最小值.(2)由(1)知，y二f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a>3且b>2时，f(x)<ax+b在［0,+Q成立，因此a+b的最小值为5.2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学3卷、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={xIX—120},B={0,1,2},则AB=1.A.{0}B.{1}J{1,2}D.{0,1,2}2.(1+i)(2-i)=2.A.—3—iB.—3+iC.3—iD.3+i3.3.4.若sina=—3则cos2a4.若sina=—3则cos2a=L)C．C．D．5.6.(5.6.(2、5X2+2的展开式中X4的系数为kX丿A．10B．20直线X+Y+2=0分别与X轴，Y轴交于A,值范围是C．40D．80B两点，点P在圆(x-2匕+Y2=2上，则△人^尸面积的取A.[2,6〕B.[4,8〕C.卜运,3<2]D.[2<2,32]7.函数y=-x4+x2+2的图像大致为8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（X二4）<P（X二6），则p=A.A.0.7B.0.6C.0.4D.0.39.9.△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，bc，若sc的面积为心产，则C二A.B.A.B.C.D.10.设A,B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，“ABC为等边三角形且其面积为9朽，则三棱锥D-ABC体积的最大值为A.A.12*3B.18^3C.2413D.54朽O是坐标原点.过F作C的一条渐211.设F，F是双曲线C：=1（a>O是坐标原点.过F作C的一条渐212a2b2近线的垂线，垂足为P.若IpfJ=“IopI，则C的离心率为A.启B.2C./3设a=log0.3,b=log0.3，贝V0.22A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。TOC\o"1-5"\h\z已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,力.若c〃(2a+b)，则X=.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2，则a=.15．函数f(x)=cosf3x+-］在〔0,n］的零点个数为.k6丿16.已知点M(-1，1)和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若ZAMB=90。，贝卩k=.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17．(12分)等比数列｛a｝中，a=1，a=4a．n153求｛a｝的通项公式；n记S为｛a｝的前n项和.若S=63，求m.nnm18．(12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第…种生产方式第二种生产方式865568^9762701223456689H77654332144521100◎01)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；求40名工