最新高中数学必修2空间几何体专题辅导

有志者自有千计万计，无志者只感千难万难！PAGEPAGE7高中数学必修2专题辅导一1．多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面平行，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形相似．2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．4．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法.5．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱台S侧＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR36.几何体的外表积(1)棱柱、棱锥、棱台的外表积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的外表积等于侧面积与底面面积之和．题型一空间几何体的结构特征例1设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．题型二几何体的三视图例2如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为eq\f(1,2)，那么该几何体的俯视图可以是()题型三空间几何体的外表积和体积例3一个空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为()A．48B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17)D．80如图，一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，那么该多面体的体积是________．1．(2023·课标全国)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么此几何体的体积为()A．6B．9C．12D．2.高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，那么三棱锥B′—ABC的体积为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),4)3．正六棱柱的高为6，底面边长为4，那么它的全面积为()A．48(3＋eq\r(3))B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2))D．1444．某几何体的三视图如下图，其中俯视图是个半圆，那么该几何体的外表积为()A.eq\f(3,2)πB．π＋eq\r(3)C.eq\f(3,2)π＋eq\r(3)D.eq\f(5,2)π＋eq\r(3)二、填空题(每题5分，共15分)5．(2023·山东)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，那么三棱锥D1－EDF的体积为________6．(2023·天津)一个几何体的三视图如下图(单位：m)，那么该几何体的体积为________m3.7.图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，那么h8．(2023·北京)某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的体积是________．9.用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．10．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a，那么球的外表积为________．三、解答题11．正三棱锥V—ABC的正视图、侧视图和俯视图如下图．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．高中数学必修2专题辅导一1．多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面平行，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形相似．2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．4．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法.5．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱台S侧＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR36.几何体的外表积(1)棱柱、棱锥、棱台的外表积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的外表积等于侧面积与底面面积之和．题型一空间几何体的结构特征例1设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．思维启迪：利用有关几何体的概念判断所给命题的真假．答案①④解析命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的．题型二几何体的三视图例2如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为eq\f(1,2)，那么该几何体的俯视图可以是()思维启迪：对于三视图的有关问题，一定要抓住“投影〞这个关键词，把握几何体的形状．答案C解析假设该几何体的俯视图是选项A，那么该几何体的体积为1，不满足题意；假设该几何体的俯视图是选项B，那么该几何体的体积为eq\f(π,4)，不满足题意；假设该几何体的俯视图是选项C，那么该几何体的体积为eq\f(1,2)，满足题意；假设该几何体的俯视图是选项D，那么该几何体的体积为eq\f(π,4)，不满足题意．应选C.题型三空间几何体的外表积和体积例3一个空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为()A．48B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17)D．80思维启迪：先通过三视图确定空间几何体的结构特征，然后再求外表积．答案C解析由三视图知该几何体的直观图如下图，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为eq\r(42＋12)＝eq\r(17).所以S表＝42＋2×4＋eq\f(1,2)×(2＋4)×4×2＋4×eq\r(17)×2＝48＋8eq\r(17).如图，一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，那么该多面体的体积是________．答案eq\f(\r(2),6)解析如图，四棱锥的高h＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，∴V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6).1．(2023·课标全国)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么此几何体的体积为()A．6B．9C．12D．答案B解析结合三视图知识求解三棱锥的体积．由题意知，此几何体是三棱锥，其高h＝3，相应底面面积为S＝eq\f(1,2)×6×3＝9，∴V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×9×3＝9.2.高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，那么三棱锥B′—ABC的体积为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),4)答案D解析VB′—ABC＝eq\f(1,3)×BB′×S△ABC＝eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(3),4)×12＝eq\f(\r(3),4).3．正六棱柱的高为6，底面边长为4，那么它的全面积为()A．48(3＋eq\r(3))B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2))D．144答案A解析S底＝6×eq\f(\r(3),4)×42＝24eq\r(3)，S侧＝6×4×6＝144，∴S全＝S侧＋2S底＝144＋48eq\r(3)＝48(3＋eq\r(3))．4．某几何体的三视图如下图，其中俯视图是个半圆，那么该几何体的外表积为()A.eq\f(3,2)πB．π＋eq\r(3)C.eq\f(3,2)π＋eq\r(3)D.eq\f(5,2)π＋eq\r(3)答案C解析由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为eq\r(3)，∴外表积S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×π×12＋eq\f(1,2)×π×1×2＝eq\r(3)＋eq\f(3π,2).二、填空题(每题5分，共15分)5．(2023·山东)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，那么三棱锥D1－EDF的体积为________答案eq\f(1,6)解析利用三棱锥的体积公式直接求解．VD1－EDF＝VF－DD1E＝eq\f(1,3)S△D1DE·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).6．(2023·天津)一个几何体的三视图如下图(单位：m)，那么该几何体的体积为________m3.答案4解析此几何体是两个长方体的组合，故V＝2×1×1＋1×1×2＝4.7.图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，那么h答案4解析如图是三视图对应的直观图，这是一个三棱锥，其中SA⊥平面ABC，BA⊥AC.由于V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×5×6×h＝5h，∴5h＝20，∴h＝4.8．(2023·北京)某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的体积是________．9.用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．答案eq\f(\r(3),2)r解析由题意可知卷成的圆锥的母线长为r，设卷成的圆锥的底面半径为r′，那么2πr′＝πr，所以r′＝eq\f(1,2)r，所以圆锥的高h＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)r))2)＝eq\f(\r(3),2)r.10．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a，那么球的外表积为_