2009年复旦千分考数学试题

2009年复旦大学自主招生考试数学试题选择题：(每题5分，共160分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分)1•若x>y>0,0<a<b<1，则下列各式中一定成立的是()A．xa>yb；B.xa<yb；C.ax>by；2.设a>0,a丰1，函数f(x)=loga|1+x|在(1,+a)上单调递减，则f(x)()A.在(-也-1)上单调递减，在(-1,1)上单调递增;B.在(一°一1)上单调递增，在(一1,1)上单调递减;C.在(—0—1)上单调递增，在(i,l)上单调递增;，则a、b的取值范围是()D.在(一°一1)上单调递减，在(，则a、b的取值范围是()3•若要求关于x的函数y=lglog^2ax2+bx+1的定义域是(—8,+8)丿A.0；4・设Q是有理数集，集合X=x=a+bJ2,a、beQ,xeQ,x丰0》在下列集合(1)^24・设Q是有理数集，集合X=(2)A4个；；(3)｛丄|xe(2)A4个；；(3)｛丄|xex]；(4)、x‘B3个；{x2|xeX}中，与X相同的集合有(C2个；1个5•设x、y、z>0，且xyz+y+z=12，则logx+logy+logz的最大值是(422A3；B4；A3；B4；/\1,xeA,6.定义全集X的子集A的特征函数为f匕丿=仁人这里ACxA表示A在X中的补集，那么对TOC\o"1-5"\h\zA0,xeA,「XA、BX．下列命题中不正确的是()A.AuBof(x)Wf(x)，任意xeX；ABB・f(x)=1—f(x)，任意xeX；AAC.f(C.f(x)=f(x)f(x),任意xeX；AQBABD.f(x)=f(x)+f(x),任意xeX.AUBAB7．如果一个函数f(x)在其定义域内对任意x、y都满足fwf(x)+f(y)、2则称这个函数是下凸函数，下列函数⑴f(x)=2x；⑵f(x)=x3；⑶f(x)=lOg2(>0)；(4)f(xLix<0,f(xLix<0,xN'下凸函数有(A．(1)、(2)；B．(2)、(3)；C．(3)、(4)；D．(1)、(4)．)D．不能确定A．)D．不能确定A．y=1-2lgx；B．y=2-2lgx；C．y=2lgx+1；D．y=2lgx+2．11．用同样大小的一种正多边形平铺整个平面(没有重叠)，有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？()A．2种；B．3种；C．4种；D．5种．8•若实数x满足对任意正数a>0，均有x2<1+a，则x的取值范围是(A.(-1,1)；B.[-1,1]；9.设函数y=102的图像是曲线C，曲线C网C关于直线x=1对称，曲线C2和C］关于直线y=x对称，则C2是下列哪个函数的图像？()12.一个菱形的边长与其内切圆的直径之比为k:1(k>1)，则这个菱形的一个小于-的内角等于()(一—2A.arctanx-\；k2—1丿；B.arctanpk2一1；C.C.arctan=k—Jk2—1D.arctanJk2—1Iax+by=1,13*设a、b是实常数，则二元一次方程组］x—2y=—a—b无解的充分必要条件是()A.2a+b=0且a鼻±1；B.2a+b=0且a+b丰—1；D2a+b=0Ca=1,b=-2或aD2a+b=0已知关于x的方程<3sinx+2cos2弓=a在区间(0,2兀)内有两个不同的根，则常数a的取值范围是()A.(-1,3)；B.(-1,2)u(2,3)；C.[—1,3]；D.[—1,2)u(2,3].设X={0,1,2,…,9),定义X上的运算㊉如下：刘任意m,neX,m㊉n等于m+n除以10的余TOC\o"1-5"\h\z数，给定初值xeX，记n=n㊉n,n=n㊉n,k=1,2,3,…，则使得数列｛n｝取遍X中所0100kk-10k有元素的初值n的集合是()0A.0；B.X；C.｛1,3,9｝；D.｛1,3,7,9“要使函数f(x)20成立，只要x不在区间[a,b]内就可以了这句话的意思是()A.如果f(x)20，那么x»[a,b]；B.如果xe[a,b],那么f(x)<0；D.前面三个解释都不正确.C.如果x专[a,b],那么f(x)20D.前面三个解释都不正确.17•实轴R中的集合X如果满足：任意非空开区间都含有X中的点，则称X在R中稠密•那么“R中的集合X在R中不稠密”的充分必要条件是()A.任意非空开区间都不含X中的点；B.存在非空开区间不含有X中的点；C.任意非空开区间都含有X的补集中的点；D.存在非空开区间含有X的补集中的点.118.某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为2，现有两个这样的细胞,则两次分裂后还有细胞存活的概率是()D．2964D．29646419•设有n+1个不同颜色的球，放人n个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的放法有()A.(()A.(n+1)!种；B.n(n+1)!种；20.设X是含n(n>2)个元素的集合，AC.-(n+1)!种;2(n+1)!种.B是X中的两个互不相交的子集，分别含有m、C2C2n-2n-m-2n-k+2n-m-k；D2n+1-2n-m-2n-k+2n-m-kk(m21,k21,m+kWn)个元素，则X中既不包含A也不包含B的子集的个数是()B2n-m-k；A.2n-m+2n-k—B2n-m-k；21.已知三菱柱ABC-ABC的底是边长为1的正三角形，高AA=1，在AB上取一点P，设APAC111111与底面所成的二面角为a,APBC与底面所成的二面角为0，则tanG+卩)的最小值是()11nnTOC\o"1-5"\h\z人3芒D^3「丽门5忑A；B一C一；D一•4；*15；*13；^8•22半径为R的球内部装有4个半径都为r的小球，则小球半径r可能的最大值是（）A.LR；B.LR；C.R；D.・R.2+芒3+J61+J32+£523.已知平面上三条直线x-2y+2=0,x-2二0,x+ky=0如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是（）A只有唯一值；B可取两个不同值；C可取三个不同值；D可取无穷多个值7a土逅b,7b(88824.设AABC三条边之比AB:BC:CA=3:2:4，已知顶点A（0,0）,B（a7a土逅b,7b(8887a土逅b,7b

[66625.设实数abc25.设实数abc丰0，bcca匚，~bab等成等差数列,c则下列不等式一定成立的是（A.A.|b|W|ac|；Ca2Wb2Wc2；26已知x226已知x2—(tan0+cot0)x+1=0(0<0<兀)，且满足x+x3+…+x2n+1+…，则0的值是)兀5)兀5兀

A—,——；.6’6；兀兀B—,—；.6'3‘D工―哲.3,3，6,6°27.设a27.设a>0，则极坐标方程P=a（1—cos0）（0W0W兀）所表示的曲线的大致图像是（）28.设数列｛a｝、｛b｝满足b=a—a,n=1，2，3,nnnnn1…，如果a0=0,耳=1，且{bn}是公比为2的等比数列，S等比数列，S=a+a+—+an12nS那么limn=(aCa土至b,7b干逅a'；D.a土逅b,7/逅a]16666丿18888丿23362336A．0；C．1；D．2．29•复平面上的点z0=1+2i关于直线l:|z-2-2i|=A．0；C．1；D．2．29•复平面上的点z0=1+2i关于直线l:|z-2-2i|=|z|的对称点的复数表示是(B•1-i；30•设实数r>1，如果复平面上的动点zC•1+i；D•i•满足|z|=r，则动点z+丄的轨迹是(z31．42A•焦距为4的椭圆：B•焦距为一的椭圆：C•焦距为2的椭圆：D•焦距为一的椭圆.rr)，b=(b,b,b)，c=(c,c,c)，如果存在不全为零的实数k、k、12312给定一组向量a=(a1,a2,a312k3使得ka+kb+kc=0，则称向量组a、123b、c是线性相关的•下面各组向量中，哪一组向量a、b、c是线性相关的？()A•a=6,2,1上b=(-1,3,2),c=(3,1,0)；B．a=(1,2,1),b=(-1,3,2),c=(0,1,-1)；C「a=(1,2,0),b=(-1,3,2),c=(0,1,-1)；D．a=(1,2,1),b=(-1,0,2),c=(0,1,-1).32•设向量x=(cos0cosq,cos0sin®,sin0),y=(1一一1—=cos0cos屮,一^=cos0sin屮，J3sin0，其中3丿c兀y,那么向量x和y的夹角的最大值是(Oy,那么向量x和y的夹角的最大值是(—>人兀A•—:2009年名牌大学自主招生考试试题(1)详解适用高校：复旦大学选择题(每题5分，共160分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分)1.［答案］D［解答］因为函数f(x)=ax(0<a<1)在R上单调递减，g(x)=xm(m>1)在R+上单调递增，且x>y>1,0<a<b<1，所以ax<ay<by，选(D).［评注］此题也可以用指数函数图像或特殊值法来解决.［答案］A.1^2［解答］当X>1时，y二二1-—在(1,+a)单调递增，而f(x)在(1,+8)上单调递减，由复合1+X1+X函数的单调性，知0<a<1.理由f(X)为奇函数及复合函数的单调性，选(A).［答案］A.［a<0,［解答］依题意，不等式ax2+bx+1<0对一切xWR恒成市，所以\=b2<4a<0，无0—4a<0解，选(A).［答案］B.［解答］若集合(4)与X相等，则后在集合(4)中，而土42不属于X，与集合(4)的定义矛盾.集合(1)、⑵、⑶均与X相等.又•12又•12二xyz+y+z^3^xy2z2［解答］logx+logy+logz=log4222wxyzW8wxyzW8故log2［答案］D.［解答］(D)不正确，当AHBH0时，取xGAAB，则f而.等式不AoBAB成立.［答案］D［提示］用下凸函数的图像下凸性.［答案］H［解答］依题意知，x2Wl,-lWxWl，选(B).［答案］B［解答］曲线q的方程是y二101—2，c2与q为反函数，选(B).［答案］C.［评注］此题考查学生的空间想象能力.

［答案］B［解答］正n(n23)边形的一个内角0=""_?)兀，若用同样大小的一种正多边形可以平铺整个平面n2n4(没有重叠)，则存在keN*，使kO=2兀，即k==2+，其中使得k为正整数的n只有3、n—2n—24、6三个值，选(B).［答案］D.［解答］设0是菱形的一个小于专的内角，菱形的内切圆半径为r，边长为a，则菱形的高h=2rh1所以sm0==—，选(D).ak［答案］A.b1［解答］由题意知这两个方程表示的两条直线平行，所以a=H，选(A).—2—a—b［答案］B.［解答］依题意知方程sinfx+上—1在(0,2兀)上有两个不同的解，所以a—1亍1

丰一.2a—1亍1

丰一.2<1,解得—1<a<2或2<a<3.选(B)［答案］D［解答］要使n满足题意，其实只需n与10互质即可，选(D).00［答案］C.［解答］原话意味着当x在区间［a,b］内时，f(x)三0也有可能成立，选(C).［答案］B.［解答］“任意”的否定是“存在”.［答案］A1［解答］一次分裂后，两个细胞全死了的概率是41一次分裂后，两个细胞有一个存活，但两次分裂后全死了的概率为；81一次分裂后，两个细胞全部存活，但两次分裂后全死了的概率为；64所以两次分裂后还有细胞存活的概率是139所以两次分裂后还有细胞存活的概率是1396464［答案］D［解答］cLn!=2n(n+1)!种.

［答案］C［解答］用容斥原理.包含A的子集有2n-m个，包含B的子集有2n-k个，既包含A又包含B的子集有2n-m-k，所以既不包含A也不包含B的子集的个数有2n—2n-m—2n-k+2n-m-k个.21.［答案］C［解答］如图，过点P作PQ丄AB.,21.［答案］C［解答］如图，过点P作PQ丄AB.,交AB.于点0,则PQ丄面ABC，过Q作QE丄AC.，作QF丄B.C，交B.C.于点F.由二面角的平面角的定义，知ZPEQ=a,ZPFQ=卩111111111交A1C］于点E,?3ii设QE=x,QF=y，则x+y二,tana=—,tan—2xy所以tanG+b）=討鼻-等22.［答案］B［解答］当四个小球互相外切，且都与大球内切时，小球半径r最大，此时r+r=R，所以r的最<6大值为市R［答案］C［提示］依题意，这三条直线共点或其中有两条互相平行，分情况解得k=-2,0,-1［答案］A7［解答］由余弦定理得cosA=，向量AB所对应的复数为a+bi，向量AB顺时针（或逆时针）旋转所以向量AC对应复数3（a所以向量AC对应复数3（a+bi）arccos8，且将模长变为原来的斗倍可得到向量AC83选(A).［答案］D［解答］依题意，2a2［解答］依题意，2a2c2=b2)三2|ac|b2，所以b2<|ac|Wii一a+ii一a+c所以|b|，选(D).［答案］BXy/3［解答］由=-1-x22^3解得x=-J3或又Tx2<1，-代人原方程tan0+代人原方程tan0+cot0解得tan0选(B)・［答案］C.兀兀［解答］特殊值法•取0=-,-,兀，经排除，选(0・［答案］D［解答］b=2n-i,a=2n-1，求和得S=2n+i-n-2，因此所求值为2.nnn［答案］D［解答］由复数模的几何意义，知l:x+y-2=0，点(