知识讲解 独立重复试验与二项分布(理)(提高)

知识讲解独立重复试验与二项分布(理)(提高)知识讲解独立重复试验与二项分布(理)(提高)知识讲解独立重复试验与二项分布(理)(提高)知识讲解独立重复试验与二项分布(理)(提高)编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:独立重复试验与二项分布【学习目标】1．理解n次独立重复试验模型及二项分布．2．能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、n次独立重复试验每次试验只考虑两种可能结果与，并且事件发生的概率相同。在相同的条件下重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，称为次独立重复试验。要点诠释：在次独立重复试验中，一定要抓住四点：①每次试验在同样的条件下进行；②每次试验只有两种结果与，即某事件要么发生，要么不发生；③每次试验中，某事件发生的概率是相同的；④各次试验之间相互独立。总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。要点二、独立重复试验的概率公式1.定义如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：（k=0，1，2，…，n）．令得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为令得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为。要点诠释：1.在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n，p，k的意义，才能正确地运用公式．2.独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．要点三、n次独立重复试验常见实例：1.反复抛掷一枚均匀硬币2.已知产品率的抽样3.有放回的抽样4.射手射击目标命中率已知的若干次射击要点诠释：抽样问题中的独立重复试验模型：①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理；②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。要点四、离散型随机变量的二项分布1.定义：在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是，（）．于是得到离散型随机变量的概率分布如下：ξ01…k…nP……由于表中第二行恰好是二项展开式中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作．要点诠释：判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是独立性。即每次试验的结果是相互独立的；其二是重复性。即试验独立重复地进行了n次；其三是试验的结果的独特性。即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。2．如何求有关的二项分布（1）分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，即确定k的值；（2）准确算出每一种情况下，某事件A发生的概率；（3）用表格形式列出随机变量的分布列。【典型例题】类型一、独立重复试验的概率例1．某气象站天气预报的准确率为80％，计算（结果保留到小数点后第2位）：（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【思路点拨】5次预报相当于做了5次独立重复试验．利用独立重复试验公式即可．【解析】（1）5次预报中恰有2次准确的概率为．（2）5次预报中至少有2次准确的概率为．（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率为．【总结升华】解决此类问题，首先应明确是否是n次独立重复试验，其次要弄清公式中n和k的值以及p的值．举一反三：【变式1】甲每次投资获利的概率是p=，对他进行的6次相互独立的投资，计算：（1）有5次获利的概率；（2）6次都获利的概率；（3）至少5次获利的概率．【答案】用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项分布B（6，），且，．（1）他5次获利的概率约等于．（2）他6次都获利的概率约等于．（3）{X≥5}表示他至少5次获利，且{X≥5}={X=5}∪{X=6}．由于事件{X=5}和{X=6}互斥，所以P（X≥5）=P（X=5）+P（X=6）≈+=．故他至少5次获利的概率约等于．【变式2】若，则等于（）A．B．C．D．【答案】D；。【变式3】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少停几次概率最大【解析】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次∴从低层到顶层停不少于3次的概率设从低层到顶层停次，则其概率为，∴当或时，最大，即最大，答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．例2．甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．（1）若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，则甲获胜的概率是多少（2）若进行五局三胜制比赛，则甲获胜的概率是多少【思路点拨】本题考查概率基础知识、独立重复试验等．（1）中应先分类，甲前两局胜，或一、三局胜，或二、三局胜．（2）中用同样的方法分类．【解析】（1）甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜。则．（2）甲前三局胜，或甲第四局胜而前三局仅胜两局，或甲第五局胜而前四局仅胜两局，则．【总结升华】本题中，无论比赛几局，只要甲获胜，必须甲在最末一局胜，如比赛3局，甲以2：1获胜，须前两局中甲胜一局负一局，第三局甲胜．举一反三：【变式】已知乒乓球选手甲、乙进行比赛，而且他们在每一局中获胜的概率都是，规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜。（1）试求甲分别打完四局、五局、六局、七局才获胜的概率；（2）设比赛局数为X，求离散型随机变量X的分布列。【答案】（1）根据比赛规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜，则：①记事件A1=“甲连胜四局”，所以甲打完四局就获胜的概率为：；②记事件A2=“在前四局比赛中甲胜三局且第五局也胜”，所以甲打完五局才获胜的概率为：；③记事件A3=“在前五局比赛中甲胜三局且第六局也胜”，所以甲打完六局才获胜的概率为：；④记事件A4=“前六局比赛中甲胜三局且第七局也胜”，所以甲打完七局才获胜的概率为：。（2）由题意可知，比赛局数X的可能取值为4，5，6，7，并且每种情况比赛总有一人获胜，故离散型随机变量X的分布列为X4567P类型二、离散型随机变量的二项分布例3.一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分的概率分布列。【思路点拨】有放回地依次取3次，相当于三次独立重复试验，其得分服从二项分布，故可用n次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。【解析】（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则（Ⅱ）由题意，的可能取值为3．4．5．6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为的分布列为3456P【总结升华】①本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量服从二项分布，然后运用n次独立重复试验的概率公式计算。②注意n次独立重复试验中，离散型随机变量X服从二项分布，即，这里n是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率。举一反三：【变式1】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．【答案】依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，P(ξ=0)=(95%)=，P(ξ=1)=(5%)(95%)=，P()=(5%)=． 因此，次品数ξ的概率分布是ξ012P【变式2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．解：（1）B(5,)，ξ的分布列为P(ξ=k)=，k=0，1，2，3，4，5；（2）η的分布列为P(η=k)=p(前k个是绿灯，第k+1个是红灯)=，k=0，1，2，3，4；P(η=5)=P(5个均为绿灯)=；（3）所求概率=P(ξ≥1)=1－P(ξ=0)=1－≈.【变式3】一袋中有5个白球，3个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时总共取了X次球，求X的分布列及P（X=12）．【答案】由题意知，X是取球次数，X=10，11，12，…，且每次取得红球的概率是，取得白球的概率是，所以X=k（k=10，11，12…）表示取了k次球，且第k次取到的是红球，前（k－1）次取得9次红球．∴X的分布列为（k=10，11，…），（表格略）．【变式4】某射手击中目标的概率为，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X的概率分布．【答案】错解：X的可能取值是1，2，3，4．P（X=1）=；；；．所以X的概率分布列为X1234P错解分析：错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A首次发生出现在第k次试验中的概率，要使首次发生出现在第k次试验，必须而且只需在前（k－1）次试验中都出现．正解X的可能取值是1，2，3，4．P（X=1）=；P（X=2）=×=；P（X=3）=×=；P（X=4）==．所以X的概率分布列为X1234P类型三、独立重复试验与二项分布综合应用例4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.（１）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（２）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少【思路点拨】本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，每次射中目标都是相互独立的、可以重复射击即事件重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条件的意义.【解析】（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为；(2)记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则，由于各事件相互独立，故答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是【总结升华】射击问题必须弄清所求目标的含义，是否为独立重复试验，再用排列组合知识求解。举一反三：【变式1】一名射击爱好者每次射击命中率为，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，(1)不小于(2)不小于【答案】已知n次独立射击中至少击中一次的概率为；(1)要使，,必须，即射击次数必须不小于次.(2)要使，必须，即射击次数必须不小于次【变式2】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：（1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率；（2）其中恰有3次击中目标的概率；（3）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率。【答案】（1）该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，相当于射击了5次，在第一、三、五次击中目标，在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为；（2）法一：该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标。相当于5次当中选3次击中，其余两次未击中，共有种情况。故所求概率为；法二：因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型。该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率为；（3）该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有目标，把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有种情况。故所求概率为。【变式3】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列.【答案】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=P()=P(A)P()P()=答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……6分（2）ξ的可能值为0,1,2,3P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)所以中奖人数ξ的分布列为ξ0123P例5．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一个巨大的汽油罐。已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是．（1）求油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X，求X的概率分布．【思路点拨】从正面去分析可知：5发子弹必须击中2次，于是有以下几种情况：第1枪击中，第2枪也击中；第3枪击中，前两枪只击中1次；第4枪击中，前3枪只击中1次；第5枪击中，前4枪只击中1次．而利用对立事件去分析更好理解．【解析】（1）解法一：记B表示“引爆油罐”，则射击次数符合独立重复试验，X=2，3，4，5．X=2表明第一次击中，第二次也击中，；X=3表明前2次击中一次，第3次击中，；X=4表明前3次击中一次，第4次击中，；X=5表明前4次击中一次，第5次击中，．所以，．解法二：利用．油罐没有引爆的情况有两种：①射击五次，都没击中；②射击五次，只击中一次．所以．（2）X=2，3，4时同（1），当X=5时，击中次数分别为0，1，2．∴．所以X的概率分布为X2345P【总结升华】要特别注意X=5的意义，当X=5时，表示5枪都未中或5枪中只中1枪或第5枪中且前4枪只中了1枪这三种情况，否则P（X=5）易出错，也可以用概率分布的性质间接检验．举一反三：【变式1】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1－p，且各发动机互不影响．如果至少50％的发动机能正常运行，飞机就可以顺利飞行，问对于多大的P而言，四发动机比二发动机更安全【答案】四发动机飞机成功飞行的概率为，二发动机飞机成功飞行的概率为．要使四发动机飞机比二发动机飞机安全，只要，化简整理，得．∴当发动机不出故障的概率大于时，四发动机飞机比二发动机飞机安全．【变式2】厂