1.2.2 同角三角函数的基本关系(优秀经典公开课比赛教案)

1.2.2同角三角函数的基本关系备课教师：刘德清、龙新荣、郭晓芳、刘世杰、王焕刚、沈良宏一、教学目标：1•理解同角三角函数的基本关系式，会用解方程组的通法求三角函数值；培养运用数形结合的思想解决有关求值问题；培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．通过对同角三角函数的基本关系式的学习，揭示事物间的普遍联系规律，培养辨证唯物主义思想。二、教学重难点教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及应用（求值、化简、恒等式证明）教学难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养.三、教学过程：教学环节教学内容师牛互动设计意图复教师提出问题，推出习引入复习单位圆和三角函数线；三角函数定义和勾股定理学生回答sin2a+cos2a=1sina、、卄=tana这两cosa个最基本的关系式。同角三角函数的基本关系式：提问：更好地理解同角三角关sin2a+cos2a=11•何谓“同函数的基本关系式及sina二tana角”？2.同角三角函功能。系式cosa数的基本关系式的作用，它可以用来解决哪些问题？的“同角”的概念与角的表达形式无关，如：3.利用同角三深.asin—2asin23a+cos23a=1=tan—角函数的基本关系式解题的化理解a2cos—2当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个三角函数关系式和三角函数定义，就可求出这个角的其余三角函数值。此外，还可用它们化简三角注意事项？

函数式和证明三角恒等式。当然，上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立4例1已知sina二5，并且a是第二象限角，求a的例1可让学生自己解决例1是已知一个角的任一三角函数值可求其他三角函数值.出这个角的其余各三分析：由平方关系可求cosa的值，由已知条角函数值的简单应件和cosa的值可以求tana的值，进而用倒数关系求得cota的值.用。解：°.°sin2Q+cos2Q=l,a是第二象限角cosa=-J1-sin2a1'3=—11—(—)2=——,计*5'应4sina54.tana-一一一cosa33用513cota——.tana4举例2.已知cosa——，求sina、tana的值.17体现分类讨论的思想，比较与例1的异例分析：cosaVOa是第二或第三象限角.因此要对a所在象限分类.同。当a是第二象限角时，例2可让学生讨论解决

.rA/8、15sma=*1-cos2a=J-(-—)2=一,\171715sina1715tana==———=———.cosa88当a是第三象限时，•卄L/815sina=—弋1—cos2a=—.1—(——)2=——,V171715sina1715tana==——=——.cosa88例3已知sina一cosa=一——，180。<a<2700,5求tana的值.解：以题意和基本三角恒等式，得到方程组rinacosa=5，消去a，得5cos2a-sin2a+cos2a=1L、、■V5cosa—2=0,由方程解得cosa=-5-,或cosa=—~5，因为180°vav270°，所以cosavO,即运、2逛cosa=——^，代入原方程组得sina=一一亍，于是sinatana==2.cosa，，…sin0—cos0例4化简：x——.tan0一1学生独立完成，并交流不同解法，比较优劣。提问：你怎样理解化简？证明恒等式有哪些途径？由学生完成证明，展示不同证法，可能的证法除课本给出的以外，左侧还给出了一些证法，供参考。结合例6,由学生总结证明三角恒等式的常体现方程的思想展示不同的解题方法，培养学生灵活应用公式的能力和思辩的能力。体会如何运用公式化简，明确化简的目标。三角函数式的化简是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本解题原则。通过讨论探究，培养发散思维，提高综合运用知识思考、解决问题的能力。体验证明的过程就是通过化简与消去

用方法。教师在证明思路和解题规范上给予指导。等式两边差异来促成统一。、sin9-cos9sin9-cos9解：原式=sin91=sin9-cos9=cos°cos9cos9用方法。教师在证明思路和解题规范上给予指导。等式两边差异来促成统一。例5化简：丫1—sin2440点评：三角函数化简时，应合理利用公式，明确化简的基本要求，尽量化为最简形式。解：原式=、：'1—sin2(360°+80°)=、1—sin280°=Jcos280°=cos80°.例6求证：sin4a—cos4a=2sin2a—1tan2a—sin2a=tan2a-sin2acosa1+sina=1一sinacosa分析：思路1.把左边分子分母同乘以cosx,再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以(1+sinx)先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法.证明：(1)原式左边=(sin2a+cos2a)(sin2a—cos2a)=sin2a—cos2a=sin2a—(1—sin2a)=2sin2a—1=右边.因此sin4a—cos4a=2sin2a—1.(2)原式右^=tan2a(1—cos2a)=tan2a—tan2acos2asin2a=tan2a—-cos2a=tan2a—sin2acos2a=左边.因此tan2a—sin2a=tan2a-sin2a.(3)证法1：左边=cosx-cosx_1—sin2x_1+sinx(1—sinx)cosx(1—sinx)-cosxcosx

右边，・•・原等式成立+证法2：亠、丄(1+sinx)-cosx(1+sinx)-cosx(1+sinx)(l-sinx)1-sin2x(1+sinx)-cosx1+sinx———右边cos2xcosx证法3：cosx1+sinxcos2x一(1一sin2x)1一sinxcosx(1一sinx)-cosx•••,coS2x一coS2x八==0(1一sinx)-cosxcosx1+sinx•_••*1-sinxcosx、‘1+sinx证法4：.cosx主0,..1+sinx主0,.•主0,cosxcosx1一sinxcos2x…1+sinxG+sinx)(-sinx)cosxcos2x==11-sin2xcosx1+sinx•_•••1-sinxcosx4、亠cosxcosx证法5:左边=1一sinxcosxcos2x(1-sinx)-cosx'亠、召1+sinx1一sinx右边cosx1一sinx1一sin2xcos2xcosx(1-sinx)(1-sinx)cosx'•・左边=右边・•・原等式成立.证法6:•(1一sinx)(1+sinx)=1一sin2x=cos2x=cosx-cosx

cosx1+sinx•••1-sinxcosx证法7:•/sin2a+cos2a=1,cos2x=1一sin2xcosx-co