清华大学微积分讲座-刘坤林视频讲义

ys2002090701.htm函数与基本不等式函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数四类初等性质（广义奇偶性）极限定义与性质序列与函数极限定义与等价描述极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质三个极限存在准则两个标准极限无穷小量比阶等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。极限相关知识点导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。连续函数基本概念，定义，连续性与极限的关系，连续性等价描述，连续性的判别闭区间上连续函数的性质，零点定理，最大最小值定理。ys2002090702.htm函数与基本不等式函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数四类初等性质（广义奇偶性）

极限定义与性质序列与函数极限定义与等价描述极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质3三个极限存在准则两个标准极限无穷小量比阶等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小最。极限相关知识点导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。连续函数基本概念，定义，连续性与极限的关系，连续性等价描述，连续性的判别闭区间上连续函数的性质，零点定理，最大最小值定理。3.ys2002090703.htm有定义， 在有间断点，在 上连续，且 ，则(©JAK在:上必有间断点;(B)在 上必有间断点;(C)上必有间断点;(C)~0(D)在L 上必有间断点.卷/3)0,6fan/(a)-0 .uf一卷/3)0,例16.设 ，且至少存在一点的W—,小R,»证明»证明例17.设 ，im4im4存在;收敛。«■-14cfan ~=a$0例18.若—SO10 ，则(A)且(A)且(B)II.a(C)a(C)且：。-——(I))II.Lm/(力例19.若 存在，则B㈣/㈤―/m)*** ,■之去心邻域㈤，使当“W*时，火，)1.二.(c)>>^^1之邻域盟―㈤，使当*wW时，/@)1.(D)2 .例20.设 定义在，且都在处连续,

TOC\o"1-5"\h\z若 I" “'则。-0(A) II. ,(B)(C) tL ,(D)例21.设当是比 高阶的无穷小量，例21.设当(A) £ ,(B)4.ys2002090704.htm例15例15.设 '与在有定义，在有间断点，在‘ 上连续，且 ，则(A) 在 上必有间断点;(B) 在(B) 在上必有间断点;(D)例(D)例16.设(C)'在 上必有间断点;上必有间断点.,且至少存在一点证明在 上有正的最大值。例17.设4,3・，2*A),证明TOC\o"1-5"\h\z4 ■-1 -kn工:a，0例18.若' ，则.= ■S-(A)且；(B)且；=J_ ___1_(C)”且 ；(D) 且；：；lim/3例19.若 存在，则述Bm/(*)-/(*,)。之去心邻域 9,使当xeN.时，(0 呸―之邻域㈤，使当*e一时，火力1.二.(D) 工’.例20.设 定义在，且都在 处连续，fgix)/X*/。府“：…若 I,XU,则R(A) SsEx)-0且(0晚或./且«W-«,(D)抬出・°且UW・2例21.设当 是比高阶的无穷小量，则A。b♦(A) ,(B)(0 ,(D)5.ys2002090801.htm第2讲导数定义与性质要点与习题清华大学数学科学系刘坤林主讲导数定义导数定义作为第3标准极限应用技巧导数性质函数可导的充要条件，可微性概念，可导与连续的关系微分与导数计算，高阶导数导数的定号性与函数增减性，局部极值，凹凸性与拐点ys2002090802.htm例1.设了(6-0,则在点可导的充要条件为工in-^-yCl-coaA)im—/(I-*4)(A) 存在，(B) 存在⑹松/aT。在，⑻星团”/⑹存在

例2.若：/*)_A存在，则zkk,Mh-k/3-司-//3-司-/3+旬曰,@1)■阐■工例3.设 可导,且满足条件1 」则曲线产.八力交(1/(叨处的切线斜率为D(A)2,(B)-1,(C)-,(D)-2例4.设J)。在区间(Y⑶内有定义，若当 时,置 测必是的C(A)间断点；(B)连续而不可导的点(C)可导的点，且 (D)可导的点，且例5.设曲线在点 处的切线与x轴交点Si=x为,贝q _例6.若二次曲线 将两条曲线■UsMG产"如工＜2连接成处处有切线的曲线，则该二次曲线为例7.设在 点某领域内可导，且当 ,已知/E 则％DW.二例8.设可导， xXU««X)t若使 处可导，则必有A(A) 。⑻ -亚/E--0.(D)/CT-/*(»-JCO«J[/(X)-<卢X例9.设 ,其中是有界函数,则在处有D(A)极限不存在；(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导；(D)可导.一arctan-jt>0/(*)x例10.设在点 处可导，则DTOC\o"1-5"\h\za■!,A■— ..门(A) ;(B) io--Lb---a*-LA(O 2；(p) 2」

求极限H唱户求极限 iEm侬”... Hu a例12.设S 内的连续奇函数，且MS处的导数为A(A);(B) ;(C);(D)不存在.例13.设在某内存在，已知7.ys2002090803.htm»-X一一例14.函数 的上凸区间为“21例15.例15.设函数=声一某（箝-区（R-一北皿声一某（箝-区（R-一北皿1+2血£sin2—Xcost例16.设 “）,求=Key:Key:例17.求函数 的渐近线。Key:垂直；斜渐进线TOC\o"1-5"\h\z例18.设筐 的某领域内连续， 是的同阶无穷小量（ ）,且为其极大值,则存在,当 时，必有C如江-S20,(B)(«-«)[/(<)-/(«)]E(0_«-9 皿I♦2例19.设（当,时，曲线「与一在。<O<—内相切。又当取值范围为 时，上述二曲线在 内恰有二个交点。例20.设满足 ,讨论例21.已知函数 满足等式 ,且 「则ft处的二次Taylor多项式为 、Iim-■1例22.设 ft 某领域内连续，且 一 ,则A(A)星 的极大值.(B) 是的极小值,(0 星 的拐点.(D)不是的极值点. 也不是 的拐点.例23设/套一蜕*满足3PTrJ惹 逮± ,则B(A)是的极大值.(B)星 的极小值.(0 星 的拐点.(D)不是的极值点， 也不是的拐点.例24.设对一切 /*(*)+!/t*)f7-且 ，其中,则C的晨/3的极大值./网是； 的极小值.(cl(O>/W»送的拐点.

(D)不是的极值点,也不是的拐点.(D)不是的极值点,也不是的拐点.例25.若 内的奇函数，在内 」则在内有B.©—“—。：e)/oa8.ys2002090905.htm第3讲用导数研究函数性态要点与习题清华大学数学科学系刘坤林主讲3.1导数零点定理及应用技巧3.2Fermat定理，Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。3.3Taylor公式及应用3.4开区间与闭区间上的最大最小值问题不等式证明技巧9.ys2002090906.htm.设方程 ，2.讨论取何值时，使得(1)方程有一个实根;(2)方程有二个不同实根;(3)方程有三个不同实根。.设 在」上有二阶导数，且

证明存在3.设在某(A)连续；(B) 为增函数；(C)为正定函数；(D)能取到正值;,证明不等式5.设满足证明存在3.设在某(A)连续；(B) 为增函数；(C)为正定函数；(D)能取到正值;,证明不等式5.设满足证明当时存在常数，使得,并指明的取值范围。6.设二阶可导，对一切内曲线上一点处的切线与该曲线除切点外无交点。7.设二阶可导,试问内有几个无交点？证明你的结论。试问10.ys2002090907.htm8.设在(-1,1)内有二阶连续导数， ，试证:(1)对(-1,1)内的任一 存在唯一的 ，使(2)9.(1)设，证明不等式⑵设,证明不等式.(求最大最小值)10.设可导函数证明函数即存在 L使得证明对任意给定的初值所确定的点列(A) .(B)；,满足条件：㈤)r在 中有不动点,,由迭代公式：收敛于的不动点.(0产.®1.(1)设，证明不等式I(2)设 ，证明不等式11.ys2002091001.htm.设在上二阶可导，且I7(fl1 yl/w"/W证明存在 ，使得

其中为非负常数， ,证明.设在上连续，且maK/(x)■-1nnLfXA28若 ，证明.设 是周期为1的周期函数，在内可导，且—e,证明存在—e,证明存在,使得.设 证明(If——"K18.证明：当时成立不等式19.证明：当时成立不等式 <aretanlx4-1)-三《18.证明：当时成立不等式19.证明：当时成立不等式 <aretanlx4-1)-三《—+1 ,4220.设函数 由X, O+&X确定,求 在 处的切线方程与法线方程.Key:切线7+法线7+X2L设/㈤l-x177,则产㈤-(1”尸7c22.设厂在任意点*满足"若7（1）-《»彳，则/⑴{k 1”《rrt«U确定，则,/tA-24.已知函数/S在131上二阶可导.从若线段■与曲线）■/（*）交于点值/&）»g«＜韵，证明：存在“（”），使得o°。12.ys2002091002.htm清华大学数学系刘坤林主讲并提供文档资料本节课程内容：第4讲原函数与不定积分清华大学数学科学系刘坤林主讲1原函数关于原函数与可积性的特别说明4.2不定积分计算技巧凑微分法，变数替换法，分部枳分法，回归法与递推法，有理分式与三角有理分式的积分1.求下列不定积分dx“arctanx」 —_I-jkI—z- 5-dxxarctanx--ta(l+U)--areE'x+C(4)J "r .⑸J.■ ;-x-w-*«cm4<4-ta(l-^A-<u)4-Cjarctan一g，""2"nctaa•"+■"*+arctan.")+C13.ys2002091003.htm清华大学数学系刘坤林在讲

并提供文档资料本节课程内容：«an»瓜&⑺JQ.2Vx«shVx*2^-k*Cf▲"r—arctan+C⑻J(2三fjd♦:； Jl+公2.求下列不定积分T-F—x2x7hV*2b -1-47bV*c； JlW-I

J——，——誓后2J7|dG+2+«nian石-*Carctai(而tanm*Cbh+tan—+G21*(72*tai-*(72—tai—2(8)/而2x+2sinx■卜卜职一”*-in1-cojxI*C(9)(8)/而2x+2sinx■卜卜职一”*-in1-cojxI*C(9)h^W~~T^~c(10)，启tI,IcJm；E—；+cf”产+2_而h .+•-J--arctsnx+C 『了"=,-2arcsn£⑴)J—D;历？ (12)J屈F 2或ancm-：+C2.Kl*<)3⑴设…・丁，计算""

amx(2)设 一个的原函数为4,设在1。.吟■心・0上可导，其反函数为，广由dtW求」(立Key: +5.设的表达式，并说明 是否 的原函数。K*04X«I&C0■«x*l—l<x«2Key: L2 ,不是 的原函数.事实上" 没有原函数。co«<0，则的一个原函数为B_*<0才20x<07.设在i 上可积，则下列命题中不正确的是R(A)函数叫L的任意两个原函数之差必为常数;的任意两个原函数之和必为 的原函数;(D)若为的一个原函数， 为连续函数,则必为03》的原函数。&己知"等"里&己知"等"里一得”，则1*9.设为 的一个原函数，常数，则9BLOX, 血。. 立OX. aiax—=—一=— *c (A)<*» 。⑻dJS.(C) 06 1,(D) »10.设 为已知单调可导函数,为 的反函数,&皿(扪3(A)(B)(C(C)JW(D)xunx.-77V/(»)11设/白〉在(一°上连续，记e)=r(*・&v(M.试证(1)若/(工)为偶函数，则 也是偶函数;(2)若」(工)单调不增，则 单调不减.14.ys2002091009.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料本节课程内容:3,设八II,且。则A(A)2;(B)3;(C)4;(D)1./所苣G6广lyC - ， ，当；时，是＜处的_£_(A)高阶无穷小.(B)低阶无穷小。(C)同阶但不等价的无穷小.(D)等价无穷小..已知连续曲线，■/《工)关于点gqs**，对称，则吗,21/(2«-*)& 2JB/(2a-x)A 2f*/(c;(B) ;(0 ;(D)&求 1maJ I,7设连续，已知0)7Jg3■三j,求"♦，.己知 上的连续曲线)=/(*)关于直线 2对称，J/(x>&=2J/(x>&TOC\o"1-5"\h\z证明一 « ^L-Psh(fnix)ifEIt=ncoa(rinx)de,,.设" , * ,则A与/：的关系为L(A)A<'1。(B)4>/，1,(C),I-G。(D)不确定..drk D_(A)皿XT)’；(B)0;(C) :(D).设，(x)wC(<,#1,/!<.”<,,则极限*»»J« D(A) );(B)」;(C)0;(D)/»)-/(•).ys2002091010.htm清华大学数学系刘坤林主讲并提供文档资料设正定函数/u5a.*),则或2・0在(*含)内根的个数为g_(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.13.设了， ，且 单调减少，对任意/ 记4・4｝皿(A)A)4。(B).设证明：.设则在上必有(A)恒为零；(B)恒为常数；(C)恒为线性函数；(D)恒为平均值为零的周期函数.16,设*1淮第'8 且曲3a—-则由已知函数表出的_c_o(C)M O则与的关系为A4 ©八-4。(D)不确定.,且非负单调减少，I “r、f,且对满足 的一切有B(2001-ex2)(A)(B)(D)|(X)Jk-1)lys2002091011.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料本节课程内容：设）在3*61/如）・0上可导，其反函数为r）,.设 在区间 内恒有D叫㈤[3记，・匚-4则必有且（A） ）；（B） °；（C） °；（D）不确定；TOC\o"1-5"\h\z既*）-r f.设 ，贝i] _A_（A）必为正的常数.（B）必为负的常数.（C）恒为零.（D）不为常数。"A f（*）"I"，一« rttt-.设 为连续奇函数，且 ，则 _0_..设为连续奇函数，且，二则卜.设-求户—立（答案：岛）24. dx

24. dx(A) 。(A) 。(B)-(C) -(D)25.确定常数的值，使A£ 2).ys2002091101.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料本节课程内容：第6讲定积分综合问题及应用要点与习题清华大学数学科学系刘坤林主讲1定积分区间变换及其应用综合问题与技巧定积分应用问题几何应用物理应用由定积分决定的函数性态研究，变限积分与含参数积分综合问题积分不等式与处理技巧ys2002091102.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料本节课程内容：第6讲定积分综合问题及应用要点与习题清华大学数学科学系刘坤林主讲1定积分区间变换及其应用综合问题与技巧定积分应用问题儿何应用物理应用由定积分决定的函数性态研究，变限积分与含参数积分综合问题积分不等式与处理技巧19.ys2002091103.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料本节课程内容：TOC\o"1-5"\h\zL 上.证明 =J・卜XXK.1,Ninit fy(x)&-o.设 上连续，3.且满足 ，证明存在 ，使得 Q..证明连续周期函数的原函数必为线性函数与周期函数之和.r /“dir.(1)设为正整数，6.计算 ,⑵计算 1(3)设为正整数，计算广义积分1' .(4)设为正整数，求积分⑸计算

(6)计算ys2002091304.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料本节课程内容：7.证明8.，并讨论的连续性.7.上可导,界定的面积,界定的面积,证明对任意常数存在唯一的 使得ys2002091305.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料TOC\o"1-5"\h\z.设 为 上的连续非负单调增函数， 为力J n"+8前的形心证明 2..设/w在上非负，f@d (kj0为〉)生围成区域之形心，试证 ^.设为 上的非负可积函数,且满足 ",又设当时，--■，记⑴求切三⑵若—，求小£〃»*«*；0)若/W在1一U】上可积，在处连续，求22.ys2002091306.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料本节课程内容：U.设/在3"上连续，fX*)*4®,且，/(x)<&-0fjff(x)/(x)<*c-0,则 ，试证明：(1)在, 内有零点;(2)若 内可导，则在内亦有零点。.设 上连续，在内可导，且满足，证明至少存在一点 D,使得 .(例10.1.8).设函数在上可导，=, -/"0且满足(1)求导数(2)证明 时成立不等式：.设73〉满足J： ，求 的极值及渐近线,并作 的图形.(2000基础摸).已知是 上的连续偶函数，证明：16,设是 上非负连续且单调减的函数。

证明有极限。证明有极限。23.ys2002091307.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料本节课程内容:17.设17.设在 ！上连续非负，且为单调增函数,旋转•周生成的体积记为,旋转•周生成的体积记为,试证I二阶可导，并求. 上给定,对任意的 ，记是由所围成的面积，记是由所围成的面积，问取何值时，总面积取得最大最小值，说明理由。. 上给定,对任意的 ，记是由所围成的面积，记是由所围成的面积，问取何值时，总面积取得最大最小值，说明理由。.在曲线上点 处引该曲线的法线.由该法线，轴及该曲线的部分围成区域为D,求D绕轴旋转一周生成的体积.确定..设曲线 由确定.则该曲线当 时的法线方程为.设在区间।上有一阶连续导数，记试证（1）当为正整数时，且时，证明（2）求二.ys2002091401.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：九一阶与高阶可降阶常微分方程（一）一个概念：微分方程的“解”方程及其分类解：方程的阶、线性非线性解：一般解、特解、定解条件、初值问题（二）三类方程：按类求解；现察侍定函数或常数方法。一阶方程：高阶可降阶方程：高阶线性方程：线性方程解的结构理论常系数线性方程的规察侍定法欧拉方程：X2y*-axy*十"=f[x）差分方程简介（三）儿类应用问题几何问题：切线、法线，曲率，弧长和面积

物理力学问题：根据力学和物理定律,其他方面简单问题。微分方程及解的概念判断函数兑卜）=."+1为k)=x(x)+%k)为任意常数，是否是方程：（a）/=2x^-jr)xy*~1一2二2b'=°之解？是否通解？求积分Jxeasinxdx（2—exsinx--(jr-1)?Jcosx+C（2方程是周期为的周期函数,讨论:此解是否一定是周期函数？若是请证明，：若不•定是请举反例，并找出-一定为周期解的条件：试讨论这种方程解的特点。满足条件:xyg+3x(y/y=l-e~x7(o)=y(o)=oXZr^Ax2其中/.是常数，试***************end***************ys2002091501.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料本节课程内容：.设在区间「1】(”)上仃一阶连续导数， ♦,(1)写出带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；⑴证明至少存在一点•使得.设 均为区间：।上的连续函数，并且满足 ，r.. )(方式试证明在0】上成立不等式.设 在 某邻域内的连续函数，且当，时是 的高阶无穷小量，可置a-»oJ» 时是的旦(A)底阶无穷小量；(B)高阶无穷小量；(C)同阶但不等价的无穷小量；(D)等价无穷小量。(综例10.2.16)证明存在一点使得证明存在一点使得.ys2002091502.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料本节课程内容：例题1.(1)讨论取何值时，广义积分 收敛,key: 收敛(2)又取何值时，广义积分 收敛.收敛,key: 收敛_>1 £提示：用极限比较法， 时与比较。时用定义，(1) ;(2)发散。.计算广义积分.、一)i ..就参数的取值讨论下列广义积分的收敛性⑴J。 .⑵Lifa*X.(4)27.ys2002091503.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料本节课程内容：例题1.(1)讨论取何值时，广义积分 收敛,key: 收敛(2)又取何值时，广义积分 收敛.收敛,key: 收敛Byi£"~T提示：用极限比较法， 时与比较。时用定义，(1) ;(2)发散。.计算广义积分. ..就参数的取值讨论下列广义积分的收敛性⑴k.⑵J：“hl.(3) (4)28.ys2002091504.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料本节课程内容：n.设，收敛，则 收敛性结论是(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)发散；(D)不定.(91)已知级数 ,则级数等于(C)(A)3;(B)7;(C)8;(D)9。.设 , 一(1)求 ；(2)证明，(2) ,(3)级数收敛。.设 且单调减，若级数 发散，试问 是否收敛？证明结论。

选 上连续可导，令选 上连续可导，令,证明级数 收敛。17.设 ,其中,若则使级数 收敛的取值范围是(A) ;(B) ;(C) <;(D)29.ys2002091701.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料本节课程内容：.设 二收敛，则 收敛性结论是(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)发散；(D)不定.(91)己知级数 ,则级数等于(C)(A)3;(B)7;(C)8;(D)9。13.设 一(2)证明，((2)证明，(2),(3)级数收敛。14.设且单调减，若级数发散，试问14.设且单调减，若级数发散，试问是否收敛？证明结论。TOC\o"1-5"\h\z.设 , ,求 ..设为 上的连续周期函数，周期为1,且 一“Arnit --t/(4在 上连续可导，令 ,证明级数 收敛。j im八'-017.设 ,其中,若, :则使级数 收敛的取值范围是(A) ;(B) ;(C) ;(D)30.ys2002091702.htm清华大学数学系刘坤林主讲并提供文档资料本节课程内容：第8讲函数项级数级数综合问题与技巧1函数项级数基本问题累级数与泰勒级数级数的展开与求和函数展开与求和函数

(A)事级数收敛及解析性的特点:(B)幕级数的间接展开方法与依据:八个基本初等函数在原点的台劳级数:…4tAVxe(-Ul特别是有常用公式(5-1)a——I占'/ Vxe(-19(5-2)(5-3)嵩・1亭v-q8.4傅里叶级数的展开及发敛定理。函数富氏展开的几种提法:若是周期为的周期函数，则有系数公式fix.m■OJXA>sm■OJXA若先给出在区间 上的表达式，要求：“将在区间 1上展成富氏级数”.其意思是有一周期为的周期函数 ，它在区间 上是，其他地方按周期延拓。因此，其富氏系数可用公式计算:给出在区间 I上的表达式，要求：“将 展成正（余）弦级数”或“作奇（偶）延拓"；其意思是有一周期为的奇（偶）函数 ，它在区间［a1上是，其富氏系数公式计算：正弦级数：一・。124；11 1 （»-IZA.q―一f/（/Joos idi余弦级数： 1 R :•LL。三角级数逐点收敛定理：若 周期为的可积期函数，其条件满足以下之一者：在周期区间上逐段可微；在周期区间上逐段单调；则有:1.若处发散，而在点收敛,则的取值范围是谑)」(B) (c)Z<・43；(D)2“<32.(88)若级数 ,在 处收敛，则此级数在 处(B)(A)条件收敛：(B)绝对收敛；(C)发散：(D)敛散性不能确定。31.ys2002091703.htm清华大学数学系刘坤林主讲并提供文档资料本节课程内容：.若 收敛半径为，级数 的收敛半径为，则必有(A) ;(B) '；(0 :(D)不能确定..(D级数 的和为(3)(2) 的和为(0)5.求 也 处的t级数展开式,指明收敛域.

试将展成的城级数，并求级数的和试将展成的城级数，并求级数的和.(综例13.7.5).求 的收敛域。.求 的和。32.ys2002091704.htm清华大学数学系刘坤林主讲

并提供文档资料本节课程内容：9.设函数 ，⑴求 及的值：(2)试证当取正整数时 亦为正整数.(93)设 ，的付里叶级数为，则其中的系数的值为(3).(89)设广"Aa而」 ,-,其中等于(B).

其中(A)(B)(C)(D)12.(99)其中等于（C）.(A)(B)(C)(D)13.设满足〃为正整数，且,求函数项级数的和。14.将(A)(B)(C)(D)12.(99)其中等于（C）.(A)(B)(C)(D)13.设满足〃为正整数，且,求函数项级数的和。14.将展为的指明收敛域。Key:15.将在处展开。Key:33.ys2002091901.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：（续）九一阶与高阶可降阶常微分方程一阶微分方程及其解法可分离变量ary=/tx）.g（＞）可化为分离变量型7'=y=/■+切一阶线性方程：,'+何前=4卜）伯努利方程：y/+p（x）y=（7（r）＞A全微分、简单积分因子：兑卜。&+玲）必=0判断下列一阶方程的类型：产，＞'=土y（可分离型））3+/产，＞'=土y（可分离型））3+/》一4+/均=o可分离型，明显积分因子）x(ln1-ln汹-M=0,(零齐方程)y,y,tgx:-y=5（可分离型，-阶线性，明显积分因子）©（零齐方程，一阶线性，明显积分因子）-smj（对x是一阶线性，明显积分因子）（零齐方程，明显积分因子）"了+）="J""（零齐方程，伯努利方程，全微分方程）& *j（y=f3+切）型）***************end***************ys2002091902.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：（续）九一阶与高阶可降阶常微分方程/MrWx=2jr%xTOC\o"1-5"\h\zUo）=i 7=解方程：x .（尸 ）\o"CurrentDocument"（0—） 203）函数了=/（*）过2 ,且其切线斜率.皿十二）为，则/（x）=?y=J^xln（14-x2>it-ii（l+xa）^n（l+xa）-l）（91）连续函数/R满足M2则/⑴是（B）（A）M2.（B）；（O+ln2；（D）e"+ln2（92）y+ytanx=co«x的通解是（j=*+c）cbx）

(93)求+(叼-=0满足XP)=1之特解sinx-1二k（88）求'-V“J」的通解.（零齐；伯努利；全微分）若八g+2/-l,求一般解.(+27-l-21n(^4jr+2/-l4-1)=x-c若小“ ，求一般解.（伯努利若(丁十-―/2»'+/2=0x=-1yt+c_y%二)ydx+^c-3xiydx+^c-3xiy1\fy=°,求一般解.（简单积分因子若的也+6―—方=°,求一般解.（积分因子、零齐、对*线性/-/=c/）若”y*-xy=y求一般解.（佰努利、积分因子、置换工'=£：x2-y=Cxy）综合题:

(99)今有，'-2j=(p(k)J(0)=030=«其中(一(99)今有，'-2j=(p(k)J(0)=030=«其中(一99上的连续函数解。(/(*)=<-1,X<1Q_g々上山(96)设, 为连续函数求初值问题y+aj=/(x)j(0)=0的解.其中，«>0.数―有网"”廿)(01)函数列无H>i=L2,A,满足初值问题:柒)-£々)=L一求SQ各&)…(一)|y+<z(x)jr=/(x)初值问题&Q)=" 且lim俟=0,其中aKI/W为连续函数，证lim>(jr)=0明：上述初值问题之解J-/,有I** .若方程j'+上尸=/"W中，之为常数，/W是周期为71连续周期函数，试证：存在唯一的周期为’的特解。(二阶可降阶方程及其解法•僦J及，的方程:》・= 直接枳分；•缺j的方程：),=，G,y),令a(6•版式的方程：j'= 令p(y)=y”'=P关八G*,（令八,其解为:（（x+q）a+（/+ca）2-1）产=/㈤.yya+y2=0y（0）=L/（0）=； r\y=J^+1（021,2） 2,求/一JUJ（J-♦"十,或y2=k+i）（1+?»・+么/=/（令八r（x）X3XJ^=--7+g5限gx+Cj124 ）yy*-^ya=0y=常趣或/=―-—c（x+qyy*-^ya=0”+1=广求_般解。勺>。:-p-+#+q>)=+jc+c2Cj<0:. arcsin(7-G|/)=±x+内Cj<0:-J-ci***************end***************35.ys2002091903.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：(续)九一阶与高阶可降阶常微分方程解方程:解方程:一］(93)函数，=♦(幻过'2 ,且其切线斜率.)为，则/W=?j=1xln(l+一粒-12(1+/低(1+—)_1)⑼)连续函数/(x)满足一' ,E2则/㈤是⑻（92）/+^toX=C（93）求（”—D^+（sinx—1y=/i（ X-1）（88）求”一产人若y=J4x+Zy-：81的通解是（J^=（x+C）COTX）如-cosx>£r=o满足>（?）=1之特解;的通解.（零齐；伯努利；全微分）1,求一般解.（A） ；（B）e2jhi2;（c）e1+ta2:（D）e^+hil（j4x+2j-l-21n（/4x1 ,4xlms工卜”一2）产丫188一1）））若（"+约一丁2»+12=£性，X=+cJ）若W^+G-Sx夕1均=0z1KO4-3Iny-C2面 ）若2j□曲十6-玄2%=0x2_）2=Cj，）若一户求一般解.F27-l+l）=Jr-G）求一般解.（伯努利求一般解.（对X线,求一般解.（简单积分因子,求一般解.（积分因子、零齐、对X线性（佰努利、积分因子、置换工”=£：x2-y=Cxy）综合题：(99)今有y-2j=（p(99)今有y-2j=（p（/）j（o）=o<pW=«其中(-8,8)上的连续函数解。(-8,8)上的连续函数解。(X<1。一二々、蚤/21)(96)设. )(96)设. )为连续函数求初值问题y+a^=/(x)J(Q)=° 的解.其中，。>，若火幻I"若火幻I"(常数)，证明当JfAO,有阚二(1-「)

CZ(01)函数列无⑸二二乜八,满足初值问题:X?㈤-£k)=“rA(i)=-n求硝各9—ry+a(x)jf=/(a)初值问题=为 且fa(x)&=-K>limZ^=0 ,、“、,其中41/W为连续函数，证明；上述初值问题之解J有一*s 。若方程/十七y=/W中，归为常数，/是周期为‘：连续周期函数，试”:a”面证：存在唯一的周期为的特解。( ■ --r )二阶可降阶方程/= 及其解法缺j及y的方程:『•=作)直接积分；僦J的方程：/= 令p(x)=7，(x}版*的方程：/=Ay»f\令？G)=/>/=p~八G十尸》(令八p㈤其解为((x+q)2+(y+ca)Q=1)严=0)厂舟啥\yya+y,2=o(021,2)型=""°)=2求7=9或>一+i)(14？旷+均=x3(令/=p(x)

x3xy=h7+c1aze124 )"。旷=0"。旷=0"常就或八ctx+c2)yy，+^=yr,求一般解。±x4-<?2. arcsin(7-q/)=±x+内Cj=0:/=±x+,***************cnd***************ys2002091904.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：（续）十高阶线性方程一般理论及常系数线性方程（三）高阶线性微分方程及其解法”阶线性齐次方程方程：卢I.S卢/IAI Ia.&A=0'阶线性非齐次方程方程:严+.(x)/t)+an阶线性常系数齐次方程方程：/1）+./T!+A+a.J+dj=0二阶线性常系数非齐次方程方程：>W+//*+A+.J+d.y=f&）线性微分方程解的结构理论常系数线性齐次、非齐次方程求解（89）01”），4二门和J工：是连续函数，且线性无关的三个函数Jl，）［，•>"都是二阶线性非齐次方程之解，S和,2是任意常数，则其通解是：（D）（A）+。必十七；⑻+。仇-仁十七弘；（0二-必；⑻2（。1）设（Gf，i=LZ为任意常数），为某二阶常系数齐次微分方程的通解，则该方程为（尸-2/4■刀=。）补充：求方程d'-d'*J=°的一般解。y=/?|X+i72xJ-5-r/r（ LX）***************end***************ys2002092101.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：(续)卜高阶线性方程一般理论及常系数线性方程(三)高阶线性微分方程及其解法'阶线性齐次方程方程：产+珥G/t)+A+arlG/+@.(jc)y=0■阶线性非齐次方程方程：产 +A 1GW+4(x)y=/(sr)总阶线性常系数齐次方程方程：/㈤++A+a.J+<rj=0■阶线性常系数非齐次方程方程：产+.k1+A ~/W线性微分方程解的结构理论常系数线性齐次、非齐次方程求解(89)或。和”「是连续函数，且线性无关的三个函数勺都是二阶线性非齐次方程之解，G和,2是任意常数，则其通解是：（D）（A） 为+力⑻cm+WzFFM；（0sji+以-a-A-cjijj（D）RXiF%+”，一，）%2（。1）设j二.・卜1°近五飞（：皿），（q»'=L2为任意常数），为某二阶常系数齐次微分方程的通解，则该方程为（J，-ZJ'+2J=O）补充：求方程*>"一¥>'+/=°的一般解。?0Xy=G|X4-c2x|-=-4&（ ix）***************end***************38.ys2002092102.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：（续）十高阶线性方程一般理论及常系数线性方程3.（00）具有特解'，2定的三阶线性常系数齐次方程是：（B）尸…⑻/+4_/7=0（C）尸-6-11/-6y=0；(D)尸-2，"一>'+2y=04(93)二十@'+。=**有一特解J二一十(1+川求6儿/及通解。(Q二-(4十Za)二一3P=ltXa=2r=-i)5.(89)方程，一/二二+的一个特解应具有形式(”》力为常数)是(B)(A)a—+b；(B)<zxe"+d；©ad+Ax；(D)ax^4-dxya"=一(00)求M°)="I)=1的特解.y=-+-en+—eix(44 2 )(96)求¥'-2/+叩=4”之通解.(y=/01§也*十七co«jc)+c)(90)求/+"+4""之通解.>=(q十右产十三把..( z)(92)求>"+2/'-3j=g以之通解，j=qg*+"一”——xe~^初求尸+zy+z八工+3之通解)=9.cosx-CjsinxX*+-+1( 2)(87)求人3+/=,/之通解，J=&+<?曲7+」C，)初求y-31y+2j="之通解，)幽求/+3h2*=3血工之通解J=qg”+q/，0疝彳-9(;(»幻(88)函数满足方程,j'+3j'+力=麓， 611),在点处之切线与曲线》"厂_*+1#*上加“、*在该点切线重合，求/=%).(y=0*一统二心―.⑼)求y+p=Ac，之通解J-,cosjr+q血I,+1—ainx+-jc(2)(90)求y*+4(90)求y*+4>/+4y=Ji之通解e7~~~”2”27㈢+?+5一二a=2y（ 4 ）(87)求J+61y+(9+a)7=1之通解y=cy=ct4-(c2cosax4-qsin"X9+a2)***************end***************39.ys2002092103.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：（续）十高阶线性方程一般理论及常系数线性方程综合题y= 6.(89)利用代换 COSX将方程y*coajc-2ysinjr+3ycoax=化简cos2x.sin2x.1e*y=c +. 4 厚求，般解(icmxcoax5cosjt)./"(x)=«inx-1(x—城21(89)设 * ,求1x/(x)=-smx+-cosx/㈤。( 2 223（00）泡在向2）可导,网＞1满足:

曲+㈤一马科=0求函数f&)=?(2)证明：26(01)若/*k)=g(4g'a)=加"-/w,X0)=0g(0)=2求T(爵像心l+eK25(97)设/W二阶连续可导，且2=/^*3通?)满足方程:=""求/W(小)==・+%\27.(022)设27.(022)设WO满足:lim当xlim当x70时，求zta^.+xa)(c).(A)不存在；(B)等于1;(C)等于2;(D)等于39y=2^-^-y(84)设级数 =I 求收敛域；证明满足方程;求和函数.

(1)8(2) £(缈；y=⑶——+]=血+12ODX今j,=S^(-to<jr<+co)(021)(1)验证级数1：..满足方程、u'+y=/：CD-3n(2)利用上述结果求级数 的和函数(占@0!3 3)(00)在半空间彳＞口，对任何光滑有向曲面$,有用/(M殳_；9%珈&-g^a&rfy三0其中fW在I。#*)-阶连续可导，且㈤——2o,(94)/eC\/(0)=0,/'(0)=l^UK4+『)-/(幻•『拉+(f(x)+x。均=0是全微分方程，求，)，并求方程通解。(f(x)=2cmx+shx+Jta-2)

***************end***************40.ys2002092405.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：(续)十一、欧拉方程、线性差分方程及微分方程的应用(四)欧拉方程：也dxX >+处=0对一般齐次方程：令y=x*得X(X_l)+"+q=0=足+(p_l)X+q=0；单根：4=2,㈤7,重根："，为3)=1111>复根：X=。上甲U>y=x"如=温"班3= (cosG?Idx)tisin(^lux))y(-2)=210^-2)=-In2,X=atifi cosG^lnxl兑y(-2)=210^-2)=-In2,1.Eurler方程：求解y(r)=-xx2-xln(-x)

( 2 )

（五）线性微分方程组一般的二阶方程为:=小山）-抵“）,利用消元法:（五）线性微分方程组一般的二阶方程为:=小山）-抵“）,利用消元法:--。后&4）乌=«§■,小，,/）-居m）at化成一阶方程:¥=」）（g（x,/t（xHr词- 吊3"*））2,求方程组=x+2y+et=4x+3j之通解.（了二G。"-****************end***************41.ys2002092406.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：（续）十一、欧拉方程、线性差分方程及微分方程的应用

（六）.线性差分方程求解问题。一阶线性差分方程:二阶线性差分方程:.”0,0«二阶线性差分方程:.”0,0«[%=a，n=B“3=)％+"■+£解法I:•阶线性差分方程的递推求解:彳*以4■工 川U-&=“ 2P人J+Z.="展・1+X-t)+Zi=/»/=1- =1- 十M二十工）二A=XQp解法2：二阶线性齐次差分方程⑪N+GX"=。的特征根法求解:令形式解.一",代入方程得特征方程：十°=°,根:（i）明）为实根，对应有解：史0 和”3/；mif-CltrnJIX.=Ilin =flOC m.（2）为重根，对应有解：=-a和 ，或者乙⑶Z=c±zj?=r-ei*t4.=彳・=二3 二广3(cosn©±igin/，对应有解：x?=gicaw.和9二二4而即（4）关于解的结构理论与线性微分方程类似，由此得一般解：

3.(98)求差分方程3.(98)求差分方程-阳的一般解。5方)5.银行实行贷款购房业务， 贷元，月利，力个月本利还清，在这7个月内按复利计息，每月连本带息还工元。的关系;nxA..

v= lim(2)记二个月的平均利息 死，求”8卜”+「)< (]”)■7(1%=4***************end***************42.ys2002092407.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：(续)十一、欧拉方程、线性差分方程及微分方程的应用(七)微分方程应用问题

两类问题：几何方面的应用，物理、力学方面的应用;两种方法：一是规律“翻译”；二是微量平衡分析；做题的三步曲：列方程解方程解的分析.在几何方面的应几何量的分析表示:切线,必£方程Y-y=f•小f次切距尸区二卜."1"^J'LMP=MP=4Pd切线长法线那％方程 r ；次法距0?=卜・0«|=1/y1,法线长mq=Jmr、qr2=62+3寸'）孤微分与弧长:必=孤微分与弧长:必=j（去r+（"y=J”修）小/=2+”<&_da_darvtanj，_ /,曲率："二五二而灰=国彳严09）函数之0）二阶可导，且1/'（1）＞。，=1

过曲线3=J6)上任一点作该曲线的切线及；轴的垂线,过曲线3=J6)上任一点作该曲线的切线及；轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形面积记为~i,区间上以J 为曲边的曲边梯形面积记为S],并设2*1-S?恒为1.求此曲线y=的方程。(»=")(95)设曲线(在第一象限，其上任一点二之切线与j轴总相交，记交点为，1,己知网•网又过总》求此曲线之方程。(/=也x-金)(91)在上半平面上求上凹曲线，其上任一点j处的曲率等于此曲线在该点法线段A4长的倒数，又曲线在’11点处与X轴平行。(98))=7㈤为上凸连续曲线，其上任-点处的曲率等1于，且在点(°』)点处的切线方程为y=，+1,求此曲线的方程及其极值。由条件二」二确定其解08)y=/go在连续，若曲线了=/(4)、直线与人轴所围的平面图形，绕.轴旋转一周而成的旋转体积为叫=#")-成的旋转体积为叫=#")-8］则v,且求y= 所满足微分方程及条件，并求其解。()=x-x3y)(01)平面曲线上上任一点C"，刀，U>UJ,到原点的距离恒等于该点处切线在了轴上的截距，且过点该点处切线在了轴上的截距，且过点y_1求曲线工的方程)= ' )求在第一象限部分的一条切线使其与.及两坐标轴所围面积最小。(96)过平面曲线j=/WG>o)(96)过平面曲线j=/WG>o)上任-点㈤切线在)轴上的截距等于‘岛 ,求曲线’，的方程j二Ft)(/二^+心必五)(022)求微分方程的地r+1-2yMe=°一个解y=y=j(0,使得由曲线)二」1)与直线"=1・1=2以及.轴所围成的平面图形绕轴旋转周的旋转体体积最小。J=X+O2产售)=J=X+O2产售)=若。+郸嘴(93)物体4从点(0,1)沿y轴正向以常速/运动，物体?从(-1,0)与［同时出发，速度为2匕指向4求的8运动微分方程及初始条件(00)从船上向海中下沉某种仪器，需确定下沉深度严(从海平面算起)与下沉速度/之间的函数关系。设仪器在重力作用下，由静止从海平面垂直下沉，在下沉中阻力与速度成正比，比例系数)°,同时受到浮力，

设仪器质量为体积为8,海水比重为0,试建立方程并求解/=/(*).=空丫_制(喉一Bp)1n图-Bp一-(y上/ mg-Bp)光线穿过薄水层时，被吸收之数量与入射量以及水层厚度成正比。若穿过12米厚的水层时，最初的光线被吸收掉’，试问到达水深12米处时，光线还剩多少？磔2)=0即口v_(oo)某湖泊水量为，每年入湖含污物a的污水，入湖污水量6,入v_v_湖不含A的水量为6,流出量3。己知1999年底湖中有污物超过国家标准。为治污从2000年初开始，限定入湖污水含A浓度不超过a♦,问多少年后湖中含污物的量降至加二色■1a♦,问多少年后湖中含污物的量降至加二色■1十城(2k}1/=6ta313.作一个柱台座，柱台座断面而积函数为*s(.)=s(],台柱高为力，其上受力为p)1(/),使每个断面上的压强都一样(等强度柱台座)，PP——S。)一容器总高为三，一面积为目的小孔求£=£卜)($(/)£*9在高度为h处的断面面积为S=微?,在底部有,若水流出速度净水深13M函数，若在容器装满水后，将底部小孔打开，问多久水将流将质量为目的物体，以初速Li直向上射出，设空气阻力与运动速度的平方成正比，比例系数区 L求物体到达的高度,到这最高处的时间，落到原地时的速度及下落时间？（上升的最高度上升到顶点的时间:；其中；其中43.ys2002092408.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：（续）十一、欧拉方程、线性差分方程及微分方程的应用（七）微分方程应用问题两类问题：几何方面的应用，物理、力学方面的应用;两种方法：一是规律“翻译”；二是微量平衡分析；做题的三步曲：列方程耳解方程国解的分析.在几何方面的应几何量的分析表示:次切距切线长法线方程次法距法线长次法距孤微分与弧长:曲率:

上述两宜线与西所围成的三角形面积记为国，区间引II上以为曲边的曲边梯形面积记为I回，上述两宜线与西所围成的三角形面积记为国，区间引II上以为曲边的曲边梯形面积记为I回，并设求此曲线的方程。(b总相交，记交,又过点,求此曲线之方程。(91)在上半平面上求上凹曲线，其上任一点处的曲率等于此曲b总相交，记交,又过点,求此曲线之方程。(91)在上半平面上求上凹曲线，其上任一点处的曲率等于此曲线在该点法线段回长的倒数，又曲线在 点处与彳轴平行。I)(98)为上凸连续曲线，其上任一点处的曲率等,且在点于点处的切线方程为求此曲线的方程及其极值。由条渊确定其解(98)在连续，若曲线、直线昌(98)为上凸连续曲线，其上任一点处的曲率等,且在点于点处的切线方程为求此曲线的方程及其极值。由条渊确定其解(98)在连续，若曲线、直线昌h所围的平面图形，绕E当W旋转一周而,且,且成的旋转体积为所满足微分方程及条件，并求其解。

到原点的距离恒等于到原点的距离恒等于求曲线目1勺方程旦求在第一象限部分的一条切线使其与13k两坐标轴所围面积最小。上任一点(96)过平面曲线上任一点切线在由上的截距等于,求曲线13向方•个解,使得由曲线与直线切线在由上的截距等于,求曲线13向方•个解,使得由曲线与直线以及目轴所围成的平面图形绕回h旋转一周的旋转体体积最小。(93)物体A从点(0,1)沿y轴正向以常速r运动，物体夕从(T,0)与/同时出发，速度为2匕指向4求的6运动微分方程及初始条件(00)从船上向海中下沉某种仪器，需确定下沉深度y(从海平面算起)与

下沉速度/之间的函数关系。设仪器在重力作用下，由静止从海平面垂直下沉，在下沉中阻力与速度成正比，比例系数L3_I,同时受到浮力,设仪器质量为国，体积为国，海水比重为国试建立方程并求解囚I3(yl 1)光线穿过薄水层时，被吸收之数量与入射量以及水层厚度成正比。若穿过2米厚的水层时，最初的光线被吸收掉,2米厚的水层时，最初的光线被吸收掉,试问到达水深12米处时，光,入湖不含A的水量为，流出量。己知两年底湖中有污叵，超,入湖不含A的水量为，流出量。己知两年底湖中有污叵，超线还剩多少？(I(00)某湖泊水量为国每年入湖含污物A的污水，入湖污水量过国家标准。为治污从2000年初开始，限定入湖污水含A浓度不超过，问多少年后湖中含污物的量降至，问多少年后湖中含污物的量降至13.作一个柱台座，柱台座断面面积函数为13—台柱高为13］其上受力为国使每个断面上的压强都一3•容器总高为国，在高度为国的断面面积为归 I.在底部有将质量为目的物体，以初速Li直向上射出，设空气阻力与运动速度的平方成正比，比例系数国L求物体到达的高度,到这最高处的时间，落到原地时的速度及下落时间？（上升的最高度上升到顶点的时间:上升到顶点的时间:3落地时间： I；其中）.44.ys2002092601.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：（续）十二向量代数与空间解析几何题目:证明余弦定理和正弦定理。证明5.(87)设三直线三直线交于一点的充要条件是：（D）三向量线性相关；（B）三向最线性无关;(C)rank()4）；(D)相关，而无关.6,若求；13由回I所构成的平面上的投影向量：（三向量共间的距7,求两条空间直线间的距离。（8,求点13到平面的距离.9,证明：不共线的三向量构成封闭三角形的充要条件是:若三个非零向量满足条件:试求它们之间的夹角及各自的模。（11在什么条件下，关于回勺向量方程解？有多少解？解的一般形式是什么？***************end***************45.ys2002092602.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：（续）十二向量代数与空间解析几何题目:

证明余弦定理和正弦定理。3证明一3三向量J I线性相关；（B）三向量线性无关;3 T1(0rank(Lz! 1)9 I);Fq(d)L=! I相关，而L± I无关.6,若叵求国吏得习；（―同吏得回；（旧国由国］所构成的平面上的投影向向量共量;向量共量;7,求两条空间宜线匕 I间的距3离。（I I）8,求点国到平面但 I的距离.a（I 1）39,证明：不共线的三向量匕! I,构成封闭三角形的充要条件是：3若三个非零向量上± 满足条件:Lz 试求它3们之间的夹角及各自的模。（ I）11在什么条件下，关于目J勺向量方程I有解？有多少解？解的一般形式是什么？46.ys2002092603.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：（续）十二向量代数与空间解析几何空间解析几何平面与宜线的方程:方程:或或平面，直线间的关系：以I囚I来判断其垂直、平行、相交的情况。二次曲面:

O b特殊曲面：柱面，锥面，旋转面柱面：方程中缺变量：如I可才锥面：方程中变量次数相同，如旋转面，如,I区」旋转面，如,I区」上曲线囱囚 I旋转而成之曲面方程为:空间区域的不等式表示椭球体:***************end***************47.ys2002092604.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：（续）十二向量代数与空间解析几何题目:13.(90)过点"(1,2,T),两宜线13.(90)过点"(1,2,T),两宜线求:16.今有直线:求:£3快于原点对称的直线方程；（与国快于I.因」平面对称的直线方程;(对称的宜线方程;与国X对称的宜线方程;与国X；于平面17.平分由两平面:,所成两面角的平面方程是什么？(87)过点,(87)过点,垂直于直线,平行于平面的宜线是(I19.求过」19.求过」的直线方程，满足下列条件:找直线、平面问关系的问题(93)之间夹角是3(89)己知曲面Lz! I上尸点之切平面平行3 I,求尸点./>(1,1,2).交于一点；(B)重合；(C)平行不重合；(D)异面。24.(94)己知区 I与 I,线段巨］绕轴导转一周所成的旋转面flTOC\o"1-5"\h\zS,求S及平面［旦 I所围立体的体积.(I I)3 । ।(98)求直线I 在平面I旦 上投影直线zo的方程，并用zo绕国脑旋转一周所成的曲面S的方左 L

26.己知二次型习的秩2,凶凶 凹求特征值：（L^J uz! L± L± b；指出表示什么曲面？（椭圆抛物面）指出表示什么曲面？（椭圆抛物面）***************end***************48.ys2002092801.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：（续）十三多元微分学及其应用（1）多元函数定义与符号：函数符号的三式：多元极限：多路迳连续：初等函数连续性，闭域上连续函数的三性质：有界性，取最大最小性，中值性（2）导数与微分导数：偏导数，方向导数与梯度，一元化方法复合函数求导法则：函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数；儿多中间变量有几多项；几层复合有几层积。关键在函数关系分析。微分：定义为线性主部，可微，可导，连续的关系：微分的几何意义：切平面存在可微的充分条件：一阶偏导连续（3）多元微分学的应用求空间曲面的法线、切平面：求空间曲线的切线与法平面；多元台劳公式研究函数性态多元极值问题：无条件、条件极值问题：闭域上最值问题ys2002092802.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：（续）十三多元微分学及其应用多元微分方法***************cnd***************ys2002092803.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

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十三多元微分学及其应用(94)国I在L^!I的两个偏导存在是函数旦 在旦连续的(D)(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)既非充分又非必要。(1)1-3|在但 (1)1-3|在但 I连续；(2)续；)13 1在目 1可微；(4)在.则有：(A)(A)(2)?(3)?(1);(B)(3)?(2)?(1);(C)(3)7(4)?(1);(D)(3)?(1)?(4);"xl其中I

"xl其中I(0)(0)3 )u.设求表示式:3 （注意循环对称性）旧 |囚13.若（13.若（*）,则称，为4次齐次函数。证明：f为k瞒足关系:次齐次函数目］含有隐函数的导数问题14.（87）设14.（87）设z是方程所确定的函数315.（91）方程I I所确定的函数且I在点加1,0,-1）处的全微分.3-（I ）17.设函数国 I有连续偏导数，18.且g I由方程所确定，19.求du.3 )33|由方程I确定,33|由方程I确定,I)(92)函数在点"(1,2,-2)处的梯度值。(93)数量场(01)51.ys2002092804.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：(续)十三多元微分学及其应用多元微分学的几何应用27.(88)求椭球面S在某点M之切28.平面029.使之过直线01和和230.(93)由曲必 I,绕y轴转一周而31.成的曲面在点[71 '处的指32.向外侧的单位法向是什么? a \)37.证明曲面S:w I为常助，上任一点处的法线必与直3线L: '相交。52.ys2002092909.htm清华大学数学科学系谭泽光主讲

并提供文档资料本节课程内容：（续）十三多元微分学及其应用多元极值问题明确捕婺裁碑：什么函数，（目标函数）?在什么条件下，（约束条件）?求什么极值？（极大，极小）？3339.（99）设生产某种产品缜投入两种要素xl和x2为其投入量，40.。为产出量,41.若生产函数为L3 I,42.其中I囚I为正常数,43.且-3I,44.设两种要素价格分别是。/和,45.试问产出量为12时,46.两要素投入多少，47.可使费用最小？

48.(00)设企业在两个分割的市场上出售同49.一产品，50.其需求函数分别是,51.其中和是市场售价万52.元吨，53.为销售量吨,54.该企业生产该产品的总成本函数是若企业按价格差别策略，试确定两个市场上该产品的售量与价格，使利润最大;若实行无差别策略，试确定其两个市场上该产品的售量与统一价格，使利润最大.；(2)小山高度函数为面,58.底部区域为(1)小山高度函数为面,58.底部区域为(1)设为区域目上的一点,司 *一问口 I在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若此方向导数的最大值为的表达式。(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡最大的点作攀登起点，即，要在国的起点，即，要在国的边界线上找出使(1)中的达到最大的点，试确定攀登点的位置。63.在三角形国_I内找一点，64.使到三边距离的平方和最小。（设目 I为三边之边长，I囚」为所设点到三边之垂线长,13为三角形之面积.65.底面三角形一定，66.体积一定的三棱锥，67.何时表面积最小。（设E I为底面三角形三边之边长，I囚J为顶点在底面之投影点到三边|3 I之垂线长，国为底面三角形之面积，三棱锥体积为国I 1为三棱锥之高.3 ,)68.证明光线投射在光滑曲面的反射定理。53.ys2002093001.htm十四重积分及其应用(D二重积分定义与符号：积分和式的极限,性质：被积函数有界性；可积性；对区域的可加性；运算的单调性；估值与中值定理等。54.ys2002093002.htm十四重积分及其应用计算：(1)在宜角坐标系下的计算33(2)在极坐标系下的计算方法、技巧:坐标系的选择;积分次序的确定:域和函数的对称性的利用;

对区域可加性的利用;儿何、物理意义的利用.55.ys2002093003.htm十四重积分及其应用1.将二重积分化成累次积分。3.(88)计算4.(90)计算7.(87)等于：（B）g8.（87）求由曲线所围成图形的面积。（8.（87）求由曲线9.计算10.计算（解:11.(88)计算］（国）12.(91)