《复变函数》考试试题与(十二)

(圆满版)?复变函数?考试一试题与(十二)(圆满版)?复变函数?考试一试题与(十二)(圆满版)?复变函数?考试一试题与(十二)?复变函数?考试一试题〔十二〕一、判断题。〔正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分〕1．设复数z1x1iy1及z2x2iy2，假定x1x2或y1y2，那么称z1与z2是相等的复数。〔〕2．函数f(z)Rez在复平面上各处可微。〔〕3．sin2zcos2z1且sinz1,cosz1。〔〕4f(z)是有界地区D内的特别数的解析函数，且在闭域DDD上连续，那么存．设函数在M0，使得对随意的zD，有f(z)M。〔〕5．假定函数f(z)是特其余整函数，那么f(z)必是有界函数。〔〕二、填空题。〔每题2分〕1．i2i3i4i5i6_____________________。2．设zxiy0，且argz,2arctany，当x0,y0时，arctanyx2arg________________。x3．假定f(z)x(11)iy(11)，那么其对于变量z的表达式为__________。xy2y22x2．nz以z________________为支点。4．假定lnzi，那么z_______________。526．dz________________。zz17．级数1z2z4z6L的收敛半径为________________。．cosnz在zn〔n为正整数〕内零点的个数为_______________。89．假定za为函数f(z)的一个实质奇点，且在点a的充分小的邻域内不为零，那么za是1的________________奇点。f(z)．设a为函数f(z)的n阶极点，那么Resf(z)_____________________。10f(z)za三、计算题〔

50分〕1．设地区

D是沿正实轴割开的

z平面，求函数

w

5

z在D内知足条件

5

1

1的单值连续解析分支在z1i处之值。〔10分〕2．求以下函数的奇点，并确立其种类〔对于极点要指出它们的阶〕，并求它们留数。〔15分〕〔1〕f(z)Lnz的各解析分支在z1各有如何的孤立奇点，并求这些点的留数〔10分〕z21〔2〕求Resezzn1。〔5分〕z03．计算以下积分。〔15分〕〔1〕z7dz〔8分〕，1)3(z2z2(z22)〔2〕x2dx(a0)〔7分〕。(x2a2)24．表达儒歇定理并讨论方程z66z100在z1内根的个数。〔10分〕四、证明题〔20分〕1．讨论函数f(z)ez在复平面上的解析性。〔10分〕2．证明：1znezd(zn)2。2iCn!nn!此处C是环绕原点的一条简单曲线。〔10分〕?复变函数?考试一试题〔十二〕参照答案一、判断题.1.×2.×3.×4.√5.×二、填空题.1.12.()3.f(z)14.0,zz5.i6.27.18.2n219.天性10.三、计算题.1argz2ki1.解：wkz5e5k0,1,2,3,4由511得1e2ki25进而有k1441331iw2(1i)210ei5210(cosisin)54442.解：〔1〕f(z)Lnz的各解析分支为fk(z)lnz2k，(k0,1,L).z21z21z1为f0(z)的可去奇点，为fk(z)的一阶极点(k0,1,L)。Res(f0(z),1)0Res(fk(z),1)ki.(k1,2,L)〔2〕ResezRes1zn1zn1zn1n!n!z0z0n03.计算以下积分解：〔1〕f(z)z71(z21)3(z22)132z(1(1z2)2)zRes(f,)C11f(z)dz2i[Res(f,)]2iz2〔2〕设f(z)z2z222222(za)(zai)(zai)令(z)z2，(z)2aiz(zai)2(zai)3那么Res(f,ai)(ai)2(ai2)1i1!(2ai)34aImz0f(z)dz2iRes(f,ai)2ax2dx(x2a2)22a4.儒歇定理：设

c

是一条围线，

f(z)及

(z)

知足条件：〔1〕它们在

c的内部均解析，且连续到

c

；〔2〕在

c上，

f(z)

(z)那么f

与

f

在c的内部有相同多零点，即f(z)

10

g(z)

z6

6z

有

f(z)

g(z)由儒歇定理知z66z100在z1没有根。四、证明题1证明：.设zxiy有f(z)ezex(cosyisiny)u(x,y)excosy,v(x,y)exsinyuexcosy,uexsiny,vexsiny,vexcosyxyxy易知u(x,y)，v(x,y)在随意点都不知