2023届江苏省南京市玄武区溧水中学高三压轴卷数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知偶函数在区间内单调递减，，，，则，，满足（）A． B． C． D．2．已知函数，若,且，则的取值范围为（）A． B． C． D．3．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为，则C为（）A． B．C． D．4．设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．5．双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝A．3 B．2C．3 D．66．函数y=sin2x的图象可能是A． B．C． D．7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．88．已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（）A． B． C． D．9．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为()A． B． C． D．10．若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是()A． B． C． D．11．已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，边长为1的正三角形中，点，分别在线段，上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值为_______．14．如图，直线是曲线在处的切线，则________.15．如图，在中，已知，为边的中点．若，垂足为，则的值为__．16．直线是曲线的一条切线为自然对数的底数)，则实数__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若是函数的极值点，求的单调区间；（2）当时，证明：18．（12分）已知函数.（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.19．（12分）如图，直线y=2x-2与抛物线x2=2py(p>0)交于M1,M2两点，直线y=p2与（1）求p的值；（2）设A是直线y=p2上一点，直线AM2交抛物线于另一点M3，直线M1M20．（12分）设，函数，其中为自然对数的底数.（1）设函数.①若，试判断函数与的图像在区间上是否有交点；②求证：对任意的，直线都不是的切线；（2）设函数，试判断函数是否存在极小值，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.21．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计已知在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？请说明你的理由；（2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害，现从不患心肺疾病的位男性中，选出人进行问卷调查，求所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率.下面的临界值表供参考：（参考公式，其中）22．（10分）2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为，求的分布列和数学期望.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【答案解析】

首先由函数为偶函数，可得函数在内单调递增，再由，即可判定大小【题目详解】因为偶函数在减，所以在上增，，，，∴.故选：D【答案点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.2．A【答案解析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，则当时，得，即，则满足，则，即，则，设，则，当，解得，当，解得，当时，函数取得最小值，当时，；当时，，所以，即的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.3．A【答案解析】

由题意求得c与的值，结合隐含条件列式求得a2，b2，则答案可求.【题目详解】由题意，2c＝8，则c＝4，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.∴双曲线C的方程为.故选：A.【答案点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.4．A【答案解析】

由及双曲线定义得和（用表示），然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率．【题目详解】由题意∵，∴由双曲线定义得，从而得，，在中，由余弦定理得，化简得．故选：A．【答案点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用表示出到两焦点的距离，再由余弦定理得出的齐次式．5．A【答案解析】

由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【题目详解】双曲线的渐近线方程为y＝±22x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝±答案：A【答案点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.6．D【答案解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．7．A【答案解析】

由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【题目详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，．故选：A．【答案点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．8．D【答案解析】

根据为等腰三角形，可求出点P的坐标，又由的斜率为可得出关系，即可求出渐近线斜率得解.【题目详解】如图，因为为等腰三角形，，所以，,，又，，解得，所以双曲线的渐近线方程为，故选：D【答案点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.9．C【答案解析】

根据表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出关系，求出离心率.【题目详解】设，则由椭圆的定义，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，故选C项.【答案点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出关系，得到离心率.属于中档题.10．B【答案解析】

求得的导函数，由此构造函数，根据题意可知在上有变号零点.由此令，利用分离常数法结合换元法，求得的取值范围.【题目详解】，设，要使在区间上不是单调函数，即在上有变号零点，令，则，令，则问题即在上有零点，由于在上递增，所以的取值范围是.故选：B【答案点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．B【答案解析】

画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得的取值范围.【题目详解】由约束条件作出可行域是由，，三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时，点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时.所以的取值范围是.故选：B【答案点睛】本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.12．A【答案解析】

详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案解析】

设，，在中利用正弦定理得出关于的函数，从而可得的最小值．【题目详解】解：设，，则，，∴，在中，由正弦定理可得，即，∴，∴当即时，取得最小值．故答案为．【答案点睛】本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题．14．.【答案解析】

求出切线的斜率，即可求出结论.【题目详解】由图可知直线过点，可求出直线的斜率，由导数的几何意义可知，.故答案为:.【答案点睛】本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.15．【答案解析】

，由余弦定理，得，得，，，所以，所以．点睛：本题考查平面向量的综合应用．本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到，所以本题转化为求长度，利用余弦定理和面积公式求解即可．16．【答案解析】

根据切线的斜率为，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得的值.【题目详解】，则，所以切点为，故切线为，即，故.故答案为：【答案点睛】本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）递减区间为（-1，0），递增区间为（2）见解析【答案解析】

（1）根据函数解析式，先求得导函数，由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域，并根据导函数的符号即可判断单调区间.（2）当时，.代入函数解析式放缩为，代入证明的不等式可化为，构造函数，并求得，由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函数的最小值，由对数式变形化简可证明，即成立，原不等式得证.【题目详解】（1）函数可求得，则解得所以，定义域为，在单调递增，而，∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，此时是函数的极小值点，的递减区间为，递增区间为（2）证明：当时，，因此要证当时，，只需证明，即令，则，在是单调递增，而，∴存在唯一的，使得，当，单调递减，当，单调递增，因此当时，函数取得最小值，，，故，从而，即，结论成立.【答案点睛】本题考查了由函数极值求参数，并根据导数判断函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立，构造函数法的综合应用，属于难题.18．（1）证明见解析；（2）.【答案解析】

（1）先求出，又由可判断出在上单调递减，故，令，记，利用导数求出的最小值即可；（2）由在上不单调转化为在上有解，可得，令，分类讨论求的最大值，再求解即可.【题目详解】（1）已知，，由可得，又由,知在上单调递减，令，记，则在上单调递增；，在上单调递增；，（2），，在上不单调，在上有正有负，在上有解，，，恒成立，记，则，记，，在上单调增，在上单调减.于是知（i）当即时，恒成立，在上单调增，，，.（ii）当时，，故不满足题意.综上所述，【答案点睛】本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.19．（1）p=4；（2）OA⋅【答案解析】试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程y=2x-2x2=2py，化简写出根与系数关系，由于直线y=p2平分∠M1FM2，所以kM1F+kM2F=0，代入点的坐标化简得4-(2+p2)⋅x试题解析：（1）由y=2x-2x2=2py设M1(x1,因为直线y=p2平分∠M所以y1-p所以4-(2+p2)⋅x1+x（2）由（1）知抛物线方程为x2=8y，且x1+x设M3(x3,x328所以x2+x整理得：x2由B,M3,②式两边同乘x2得：x即：16x由①得：x2x3即：16(x2+所以OA⋅考点：直线与圆锥曲线的位置关系.【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立y=2x-2x2=2py，相当于得到M1,M2的坐标，但是设而不求.根据直线y=p220．（1）①函数与的图象在区间上有交点；②证明见解析；（2）且；【答案解析】

（1）①令，结合函数零点的判定定理判断即可；②设切点横坐标为，求出切线方程，得到，根据函数的单调性判断即可；（2）求出的解析式，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，确定的范围即可．【题目详解】解：（1）①当时，函数，令，，则，，故，又函数在区间上的图象是不间断曲线，故函数在区间上有零点，故函数与的图象在区间上有交点；②证明：假设存在，使得直线是曲线的切线，切点横坐标为，且，则切线在点切线方程为，即，从而，且，消去，得，故满足等式，令，所以，故函数在和上单调递增，又函数在时，故方程有唯一解，又，故不存在，即证；（2）由得，，，令，则，，当时，递减，故当时，，递增，当时，，递减，故在处取得极大值，不合题意；时，则在递减，在，递增，①当时，，故在递减，可得当时，，当时，，，易证，令，，令，故，则，故在递增，则，即时，，故在，内存在，使得，故在，上递减，在，递增，故在处取得极小值．②由（1）知，，故在递减，在递增，故时，，递增，不合题意；③当时，，当，时，，递减，当时，，递增，故在处取极小值，符合题意，综上，实数的范围是且．【答案点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．21．（1）列联表见解析，有的把握认为患心肺疾病与性别有关，理由见解析；（2）.【答案解析】

（1）结合题意完善列联表，计算出的观测值，对照临界值表可得出结论；（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、，其余三人分别为、、，利用列