反函数知识点总结计划讲义教案

反函数知识点总结计划讲义授课设计反函数知识点总结计划讲义授课设计反函数知识点总结计划讲义授课设计.班级：一对一所授年级+科目：高一数学授课教师：课次：第次学生：上课时间：理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，授课目的会利用反函数的性质解决一些问题．授课重难点反函数的求法，反函数与原函数的关系．反函数知识点总结授课设计【知识整理】一．函数的定义若是在某个变化过程中有两个变量x和y,并且关于x在某个围的每一个确定的值，依照某个对应法那么,y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数，x就叫做自变量，x的取值围D称为函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的会集A叫做函数的值域，记为：yf(x)x∈D.二．反函数定义一般地，函数yf(x)(x∈D),设它的值域为A,我们依照这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，获取x(y),若是关于y在A中的任何一个值，经过x(y),x在D中都有唯一的值和它对应，那么，x(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x(y)〔y∈A)叫做函数yf(x)(x∈D)的反函数.记作：xf1(y)反函数xf1(y)中，x为因变量，y为自变量，为和习惯一致，将x,y互换得：yf1(x)(x∈A).注：其实不是所有的函数都有反函数.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一照射确定的函数才有反函数；三．主要方法：1．求反函数的方法步骤：①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域；②由yf(x)反解出xf1(y)(把x用y表示出来)；③将x,y互换得：yf1(x)，并写出反函数的定义域2．分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数.3．原函数与反函数的联系..反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，假设yf(x)与yf1(x)互为反函数，函数yf(x)的定义域为D、值域为A，那么f[f1(x)]x(xA)，f1[f(x)]x(xD)；函数yf(x)反函数yf1(x)定义域DA值域AD互为反函数的函数图象间的关系一般地，函数yf(x)的图像和它的反函数yf1(x)的图像关于直线y=x对称，其增减性相同.释意：若是点(a,b)在函数yf(x)的图像上，那么点(b,a)必然在它的反函数yf1(x)的图像上。换言之，若是函数yf(x)的图像上有点(a,b)，那么它的反函数yf1(x)的图像上必然有点(b,a).1．求以下函数的反函数：〔1〕f(x)x2x(x1)；x21(0x1)〔2〕f(x){2(1x0).x解：〔1〕由yx2x(x1)得y2(x1)21(x1)，24∴x1y21(y0)，∴所求函数的反函数为y1x21(x0)．2424〔2〕当0x1时，得xy1(1y0)，当1x0时，得xy(0y1)，∴所求函数的反函数为yx1(1x0)．x(0x1)2．函数y1ax(x1,xR)的图象关于yx对称，求a的值．1axa解：由y1ax(x1,xR)得x1y(y1)，∴f1(x)1x(x1)，1axaa(y1)a(x1)..由题知：f(x)f1(x)，1x1ax，∴a1．a(x1)1ax3．假设(2,1)既在f(x)mxn的图象上，又在它反函数图象上，求m,n的值．解：∵(2,1)既在f(x)mxn的图象上，又在它反函数图象上，f(1)2mn2，∴m3．∴，∴f(2)12mn1n74．设函数f(x)12x，又函数g(x)与yf1(x1)的图象关于yx对称，求g(2)的1x值．解法一：由y12x得x1y，∴f1(x)1x，f1(x1)xx，1xy2x23∴g(x)与yxx互为反函数，由2xx，得g(2)2．33解法二：由yf1(x1)得xf(y)1，∴g(x)f(x)1，∴g(2)f(2)12．5．函数yf(x)〔定义域为A、值域为B〕有反函数yf1(x)，那么方程f(x)0有解xa，且f(x)x(xA)的充要条件是yf1(x)满足f1(x)x(xB)且f1(0)a．6．f(x)a2x1(aR)，是R上的奇函数．〔1〕求a的值；〔2〕求f(x)的反函数；2x1〔3〕对任意的k(0,)解不等式f1(x)log21x．k解：〔1〕由题知f(0)0，得a1，此时f(x)f(x)2x12x12x112x0，即f(x)为奇函数．2x12x12x112x〔2〕∵y2x112，得2x1y(1y1)，∴f1(x)log21x(1x1)．2x12x11y1x1(x)1x，∴1x1xx1k，〔3〕∵flog21xk，∴k1x11x1..①当0k2时，原不等式的解集{x|1kx1}，②当k2时，原不等式的解集{x|1x1}．7.函数f(x)3x1的反函数yf1(x)，g(x)log9(3x1)〔１〕假设f1(x)g(x)，求x的取值围D；〔２〕设函数H(x)g(x)1f1(x)，当xD时，求H(x)的值域.2解：∵f(x)3x1，∴f1(x)log3(x1)．〔１〕∵f1(x)g(x)即log(x1)log(3x1)∴log9(x1)2log9(3x1)，39∴(x1)23x1,解之得0x1∴xD0,1．x10.〔２〕∵H(x)g(x)1f1(x)log9(3x1)1log3(x1)22log9(3x1)log9(x1)log93x1x0,1x．1令t3x132，显然在[0，1]递加，那么有1t2．x1x1∴0H(x)log92，即H(x)的值域为{y0ylog92}．8.函数yf(x)在其定义域D是减函数，且存在反函数，求证：yf(x)的反函数yf1(x)在它的定义域E也是减函数〔E是yf(x)的值域〕．证明：∵yf(x)在其定义域D是减函数，∴设x1,x2D，且x1x2，有f(x1)f(x2)．令y1f(x1),y2f(x2)，有y1,y2E，且y1y2．∵函数yf(x)在上D存在反函数yf1(x),xE，∴x1f1(y1),x2f1(y2)．由题意，y1y2x1x2f1(y1)f1(y2)，且y1,y2E，∴yf1(x)在定义域E是减函数．..9.函数f(x)x12,x1.(1)x〔1〕求f(x)的反函数f1(x)；〔2〕判断f1(x)在其定义域的单调性；〔3〕假设不等式(1x)f1(x)a(ax)对x[1,1]恒成立，数a的取值围.164解：〔1〕由y=〔x1〕2，得x=1y.又y=〔1－x2〕2，且x＞1，x11y1∴0＜y＜1∴f－1〔x〕=1x〔0＜x＜1〕.1x〔2〕设0＜x1＜x2＜1，那么x1－x2＜0，1－x1＞0，1－x2＞0.∴f－1〔x1〕－f－1〔x2〕=2(x1x2)＜0，即f－1〔x1〕＜f－1〔x2〕.(1x1)(1x2)∴f－1〔x〕在〔0，1〕上是增函数.〔3〕由题设有〔1－x〕1x＞a〔a－x〕.1x∴1+x＞a2－ax，即〔1+a〕x+1－a2＞0对x∈［1，1］恒成立.164显然a≠－1.令t=x，∵x∈［1，1］，∴t∈［1，1］.16442那么g〔t〕=〔1+a〕t+1－a2＞0对t∈［1，1］恒成立.42由于g〔t〕=〔1+a〕t+1－a2是关于t的一次函数，1a)1a20,11(15〕＞0，即4∴g〔〕＞0且g〔1解得－1＜a＜．42a)1a20,4(12【反应练习】1函数yx22ax3在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是〔D〕A、a,1B、a2,C、a[1,2]D、a,1U2,2函数y2x1(x1)的反函数是〔A〕A．ylog2(x1),x(1,3)B．y1log2x,x(1,3)..C．ylog2(x1),x(1,3]D．y1log2x,x(1,3]3假设函数f(x)是函数y22x20x1的反函数，那么f(x)的图象为〔B〕yyyyOxOABC

xD

O

x

O

x4假设函数yf(x)的图象经过第三、四象限，且存在反函数，那么函数yf1( )的图象经过(B)x〔A〕第一、二象限〔B〕第二、三象限〔C〕第三、四象限〔Ｄ〕第一、四象限5设a0,a1，函数ylogax的反函数和ylog1x的反函数的图象关于〔B〕a(A)x轴对称(B)y轴对称(C)yx轴对称(D)原点对称6函数f(x)lnx1(x0)，那么f(x)的反函数为(B)〔A〕yex1(xR)〔B〕yex1(xR)〔C〕yex1(x1)〔D〕yex1(x1)7设f1x是函数fx1axaxa1的反函数，那么使f1x1成立的x的取值围为〔A〕2A、(a21,)B、(,a21)C、(a21,a)D、(a,)2a2a2a解:a1时，fx单调增函数，所以f1x1ff1xf1xa21f12a。128设函数f〔x〕是函数g〔x〕=2x的反函数，那么f〔4－x〕的单调递加区间为〔C〕A.［0，+∞〕B.〔－∞，0］C.［0，2〕D.〔－2，0］．解：f〔4－x2〕=－log2〔4－x2〕,x∈〔－2，0］时，4－x2单调递加；x∈［0，2〕时，4－x2单调递减.9函数f(x)axb的图象过点〔１，７〕，又其反函数的图象经过点〔４，０〕，那么f(x)的表达式为_____________.f(x)=4x310关于反函数有以下命题：①二次函数必然有反函数；②反比率函数必然有反函数；③假设函数yf(x)与其反函数yf1(x)有公共点，那么该点必然在直线yx上；④单调函数在其单调区间上必然有反函数．以上命题，正确的命题的序号是____②④______.11函数y3x1xa,a1的反函数就是它自己，那么a___.-3xa3..12假设函数fx存在反函数f1x，且方程fxxa、方程f1xxa分别有唯一实根x1、x2，那么x1x2=_________。〔a为常数〕ax－1，设f〔x〕的反函数是y=g〔x〕，13函数y=f〔x〕是奇函数，当x≥0时，f〔x〕=3那么g〔－8〕=______________解：当x＞0时，－x＜0，f〔－x〕=3x1.又∵f〔x〕是奇函数，∴f〔－x〕=－f〔x〕，即－f〔x〕=3x1.∴f〔x〕=13x∴f〔x〕=3x1x0,∴f－1〔x〕=log3(x1)x0,13xx0.log3(1x)x0.f－1〔－8〕=g〔－8〕=－log3〔1+8〕=－log332=－2.14求函数的反函数：yx33x23x1.解：由yx33x23x1得y(x1)32，∴x13y2(yR)，∴所求反函数为f1(x)13x2(xR)．15设函数f(x)12x，又函数g(x)与yf1(x1)的图象关于yx对称，求g(2)的值.1x解法一：由y12x得x1y，∴f1(x)1x，f1(x1)x，1xy2x2x3∴g(x)与yx互为反函数，由2x，得g(2)2x3x3解法二：由yf1(x1)得xf(y)1，∴g(x)f(x)1，∴g(2)f(2)1216求函数y5x8)3x的值域．(掌握利用反函数法求函数值域25x8∴x2y8∴y5∴函数的值域为{y|y5}解：∵y23y5333x17x22x,x0,求f1x。fx1解：由fx1x22xx21fxx21x11..Qx1,yx210,yx21xy1y0故所求的反函数是f1xx1x01设a0,a1，函数ylogax的反函数和ylog1x的反函数的图象关于()a(A)x轴对称(B)y轴对称(C)yx轴对称(D)原点对称2函数f(x)(1)x1，那么f1(x)的图象只可能是〔〕y2yyyx1Ox1x2xO12O1O(A)(B)(C)(D)3假设函数f(x)的图象上经过点(0,1)，那么函数f(x4)的反函数的图象上必经过点〔C〕Ａ．(1,4)Ｂ．(4,1)Ｃ．(1,4)Ｄ．(1,4)4函数yf(x)有反函数，那么方程f(x)a〔a为常数〕〔B〕Ａ．有且只有一个实根Ｂ．至多有一个实根Ｃ．最少有一个实根Ｄ．实根的个数无法确定5函数y2x1〔xN〕的反函数是〔C〕x1N〕x1Z〕A．y2〔xB．y〔x2x1正奇数〕x1正奇数〕C．y2〔xD．y〔x26设函数f(x)x22x3，x,1，那么f1(x)的定义域是〔D〕A．0,B．(2,)C．,1D．2,7假设yax6与y1xb的图象关于直线yx对称，且点(b,a)在指数函数f(x)的图象上，3那么f(x)．8假设函数f(x)3x2R且a2x有反函数,那么实数a的取值围是_____________．a.a3..x21(0x1)1(5)9设f(x){1x0)，那么f．2x(4x2(x0)10求函数y3x(x的反函数．0)解：当x0时，yx2那么反函数为yx〔x0〕；当x0时，y3x那么反函数为y1x〔x0〕，3原函数的反函数为:yx(x0)1x(x0)311求以下函数的值域；〔1〕x23x1y；〔2〕yx．2x13解：〔1〕先由yx2xy2y1yyR且y12x可得1，，故原函数的值域212y2〔2〕先由y3x1可得x3y1，y3，故原函数的值域为yyR且y3x33y说明：经过求反函数的定义域来求原函数值域的方法，经常适用于函数的剖析式为一次分式的情况．12函数f(x)x2ax(x1)，且函数f(x)拥有反函数，求常数a的取值围．设a0是满足上述条件的a的最大值，当aa0时，求f(x)的反函数．解：二次函数fxx2ax对称轴为x