2022-2023学年福建省莆田市承璜中学高三数学文测试题含解析

2022-2023学年福建省莆田市承璜中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据三视图可知该几何体是球挖去一个三棱锥，利用三视图中数据，分别求出球与三棱锥的体积，从而可得结果．【详解】根据三视图可知，该几何体是半径为2的球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示：则该几何体的体积为,故选D．【点睛】本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，根据三视图的特征找出几何体结构特征是关键．解三视图相关问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体.2.在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力()A．平均数与方差

B．回归直线方程

C．独立性检验

D．概率参考答案：C3.使不等式成立的充分不必要条件是

（

）A．B C

D，或参考答案：C4.是双曲线的右支上一点，点分别是圆和上的动点，则的最小值为

(

)A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C5.已知数列为等比数列，若，则的值为（

）A． B．

C．

D．参考答案：C试题分析：，故选C．考点：等比数列的性质．6.函数（

）A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）参考答案：C7.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点且当棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的度数为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：C8.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是

（

）

参考答案：C略9.已知集合,集合,则集合等于(

)A.B.C.D.参考答案：A10.设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（

）A.－3 B.3 C.1 D.－1参考答案：D【分析】整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【详解】由题,,因为纯虚数,所以,则,故选:D【点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）设向量与的夹角为θ，，，则cosθ等于．参考答案：∵，，∴=（1，2）∴=2+2=4∴cosθ===故答案为：12.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时.的最大值为

．参考答案：2【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用“当点P，M，N三点共线时，取得最大值”，此时≤，而，可得=，可知当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值，求出即可．【解答】解：设点O是此正方体的内切球的球心，半径R=1．∵，∴当点P，M，N三点共线时，取得最大值．此时≤，而，∴=，当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值，∴==2．故答案为2．13.已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为．参考答案：﹣4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d=．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4；故答案为：﹣4．14.已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线1：x﹣2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|﹣|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为_____．参考答案：【分析】求得双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得b＝2a，由双曲线的定义可得a，b，再由a，b，c的关系可得c，进而得到焦距．【详解】解：双曲线C：-＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为y＝±x，一条渐近线与直线1：x﹣2y＝0相互垂直，可得＝2，即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|﹣|PF2|＝3，可得a＝，b＝3，即有c＝＝＝，即焦距为2c＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和焦距的求法，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力．15.若关于x的二项式的展开式中一次项的系数是-70，则a= .参考答案：展开式的通项公式为.由，得，所以一次项的系数为.由，得.16.

如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=1，PO=4，则⊙O的半径为

。参考答案：217.已知数列中，则_____________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设{an}为各项均为正数的等比数列，且a2=，a6=．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求和：T2n=a1﹣2a2+3a3﹣…﹣2na2n．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（I）利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．（II）由（I）可得：（2n﹣1）a2n﹣1﹣2n?a2n=（2n﹣1）﹣2n=（4n﹣3）?．利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a2=，a6=．∴=，解得q=．∴an==．（II）由（I）可得：（2n﹣1）a2n﹣1﹣2n?a2n=（2n﹣1）﹣2n=（4n﹣3）?．∴T2n=a1﹣2a2+3a3﹣…﹣2na2n=+5×+9×+…+（4n﹣3）?．∴T2n=+5×+…+（4n﹣7）?+（4n﹣3）．∴T2n=+…+﹣（4n﹣3）=﹣（4n﹣3）．化为：T2n=．19.已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣1|的最小值为m，且f（a）=m．（Ⅰ）求m的值以及实数a的取值集合；（Ⅱ）若实数p，q，r满足p2+2q2+r2=m，证明：q（p+r）≤2．参考答案：【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）|x+3|+|x﹣1|≥（x+3）﹣（x﹣1）=4，即可求m的值以及实数a的取值集合；（Ⅱ）由（Ⅰ）知p2+2q2+r2=4，再由基本不等式即可得证．【解答】（Ⅰ）解：因为|x+3|+|x﹣1|≥（x+3）﹣（x﹣1）=4当且仅当﹣3≤x≤1时，等号成立，所以f（x）的最小值等于4，即m=4，f（a）=m，则实数a的取值集合为{a|﹣3≤a≤1}；（Ⅱ）证明：p2+2q2+r2=4≥2pq+2qr，∴pq+qr≤2，即q（p+r）≤2，当且仅当p=q=r时取等号．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，属于中档题．16.(本小题满分12分)设是公差大于零的等差数列，已知，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是以函数的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅰ）设的公差为，则解得或（舍）……5分所以………………6分21.如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足＝λ(λ∈R)，PO⊥F2M，O为坐标原点．(1)若椭圆方程为＋＝1，且P(2，)，求点M的横坐标；(2)若λ＝2，求椭圆离心率e的取值范围．

参考答案：(1)∵，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kOP＝，kF2M＝－，kF1M＝，∴直线F2M的方程为y＝－(x－2)，直线F1M的方程为y＝(x＋2)．(4分)由解得x＝，∴点M的横坐标为.(5分)(2)设P(x0，y0)，M(xM，yM)，∵＝2，∴＝(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)，∴M，.∵PO⊥F2M，＝(x0，y0)，∴，即x02＋y02＝2cx0.(8分)联立方程得消去y0得c2x02－2a2cx0＋a2(a2－c2)＝0，解得x0＝或x0＝.(11分)∵－a<x0<a，∴x0＝∈(0，a)，∴0<a2－ac<ac，解得e>.综上，椭圆离心率e的取值范围为(,1).(14分)22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞1）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P作两条相互垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N，若线段MN的中点在x轴上，求此时直线MN的方程．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，且c=b，由此能求出a，b，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用点差法，求出直线MN的方程．解答： 解：（Ⅰ）由c=b，可得a2=3b2，椭圆C：+=1（a＞b＞1）过点P（﹣1，﹣1），可得，解得a2=4，b2=，所以椭圆的方程为：．．…（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，因为线段MN的中点在x轴上，所以y1+y2=0，从而可得（x1+x2）（x1﹣x2）=0．…若x1+x2=0，则N（﹣x1，﹣y1）．因为过点P作两条相互垂直的直线l1，l2，所以PM⊥PN，所以，得x12+y12=2．又因为x12+3y12=4，所以解得x1=±1，