高三一轮复习函数性质(偏难题)含

高三一轮复习函数性质(偏难题)含高三一轮复习函数性质(偏难题)含高三一轮复习函数性质(偏难题)含函数的性质及其应用

教师用函数的基本性与函数的合运用是高考函数容考的重中之重，其中函数性与奇偶性是高考命的必考容之一，有详尽函数，会涉及抽象函数。函数性是函数在定域某个区上的性，函数奇偶性是函数在整个定域上的性。研究基本性，不能忽略定域函数性的影响。函数定域体了函数像左右方向的延伸程度，而域又表了函数像在上下方向上的延伸程度。函数性要深入复，深刻理解性定，熟运用性定明或判断一个函数的性，掌握区的求法，掌握性与奇偶性之的系。掌握性的重要运用，如求最、解不等式、求参数等，掌握抽象函数性的判断方法等等。要充分重运用方程与函数、等价、分及数形合等数学思想，运用分别量方法解决函数相关，并函数性解析解决函数合。一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，以A定域，B域的函数共有6个．3射去掉，其他照射的像集都是{4，5}，函数的本是一个数集到另一个数集的照射，因此，构成以A定域，B域的不同样的函数共有82=6个，故答案6．2确定的会集D最多有9个．解：∵f（x）=x21，∴f（0）=1，f（±1）=0，f（±）=1因此，定域D有：{0，1，}，{0，1，}，{0，1，}，{0，1，}，{0，1，1，}，{0，1，1，}，{0，1，，}，{0，1，，}，{0，1，1，，}共9种情况，故答案：9（3）（2013?）区I上有定的函数g（x），g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定域[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）x=0有解x，x=2．00解：因g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），因此于函数f（x），当x∈[0，1），f（x）∈（2，4]，因此方程f（x）x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2），f（x）∈[0，1），因此方程f（x）x=0即f（x）=x无解；因此当x∈[0，2）方程f（x）x=0即f（x）=x无解，又因方程f（x）x=0有解x0，且定域[0，3]，故当x∈[2，3]，f（x）的取属于会集（∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案：2．二、函数域及最求法例2、（1）（2011?）g（x）是定在R上，以1周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区[0，1]上的域[2，5]，f（x）在区[0，3]上的域[2，7]．解：g（x）R上周期1的函数，g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区[0，1]【正好是一个周期区度】的域是[2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]，t=x+1∈[1，2]，此，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1，因此，在t∈[1，2]，f（t）∈[1，6]⋯（1）同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]，t=x+2∈[2，3]此，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）=[x+g（x）]+2因此，当t∈[2，3]，f（t）∈[0，7]⋯（2）由已知条件及（1）（2）获取，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]故答案为：[﹣2，7]．（2）（2013?黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]?（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值围是（0，4）．解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为[f（a），f（b）]，因此f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb，222因此ma﹣4a+1=0且mb﹣4b+1=0，因此mx﹣4x+1=0必定有两个不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4．∴实数m的取值围是（0，4）．故答案为：（0，4）．（3）．（2012?虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，关于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值围是[﹣2，6]．解：∵函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，要使上述围总能找到x2满足g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[﹣1，1]上单调递减，∴值域为[﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案为：[﹣2，6]．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013?资阳一模）已知函数2（﹣1，3）．若f（2m+1）＞f（m﹣2），则实数m的取值围是解：∵x≤1时，函数y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，在（﹣∞，1]上单调递加；x＞1时，函数y=x3+1在（1，+∞）上单调递加，又x≤1时，﹣x2+2x+1≤2，x＞1时，x3+1＞2，∴函数，∴函数在R上单调增，2m+1＞m2﹣2，∴m2﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，故答案为：（﹣1，3）2）已知是R上的增函数，那么a的取值围是1，3）．解：∵是R上的增函数，∴∴a∈（1，3）故答案为：（1，3）（3）（2012?）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）=3．解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，又g（1）=11+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3，故答案为34）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）=﹣3．解：由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1）=﹣g（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2），因此f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，因此f（2012）=f（4×503）=f0）=g（1）=﹣g（﹣1）=﹣3，f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（﹣1）=g（0）=0，因此f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案为：﹣3．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足

的值为

。解：（2）函数y=f（x）是定在R上的奇函数，且足f（x2）=f（x）所有x∈R都成立，又当x∈[1，1]，f（x）=x3，以下四个命：①函数y=f（x）是以4周期3称；④函数y=f（x）的象关于（2，0）称．其中正确的命是①②③④．解：∵函数y=f（x）是定在R上的奇函数，∴f（x）=f（x），∵f（x2）=f（x）所有x∈R都成立，∴f（x4）=f（x），∴函数y=f（x）是以4周期的周期函数，故①正确．当x∈[1，3]，x2∈∈[1，1]，f（x2）=（x2）3=f（x），∴f（x）=（2x）3，故②正确．∵f（x2）=f（x），f（1+x）=f（1x），∴函数y=f（x）的象关于x=1称，故③正确．∵当x∈[1，3]，f（x）=（2x）3，∴f（2）=0，∵f（x2）=f（x），f（x2）=f（x）=f（x）=f（x2），∴f（x+2）=f（x2），∴函数y=f（x）的象关于（2，0）称．故正确的命有①②③④，故答案①②③④．（2）若f（n）n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17f（14）=17，f（n）=f（n），f（n）=f[f（n）]，⋯，f（n）=f[f*k2010121k+18）=8．解：f（18）=f（8）=64+1=656+5=11，f（28）=f[f（18）]=f（11）=121+1=122=1+2+2=5f3（8）=f[f2（8）]=f（5）=25+1=26=8，f4（8）=f[f3（8）]=f（8）⋯因此f2010（8）=f3（8）=8，故答案：8五、函数像的称性例5、（1）已知函数yf(2x1)偶函数，函数yf(2x)像关于直称，函数yf(x)像关于直称。解：yf(2x)像关于直1x1x称，函数yf(x)像关于直2（2）．1006．解：若a+b=1，f（a）+f（b）=====1，因此=[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+⋯+[f（）+f（）]=1+1+⋯+1=1006．故答案：1006．（3）已知函数f（x）的定域R，以下命中：①若f（x2）是偶函数，函数f（x）的象关于直x=2称；②若f（x+2）=f（x2），函数f（x）的象关于原点称；③函数y=f（2+x）与函数y=f（2x）的象关于直x=2称；④函数y=f（x2）与函数y=f（2x）的象关于直x=2称．其中正确的命序号是④．解：①不正确．由于f（x﹣2）的图象是由f（x）的图象向右平移两个单位而获取，结合f（x﹣2）是偶函数知，f（x）的图象关于x=﹣2对称，②由f（x+2）=﹣f（x﹣2）变形得f（x+8）=f（x）是周期函数．不能够得出函数f（x）的图象关于原点对称，故不正确．③不正确，由于函数y=f（2+x）是由f（x）向左平移2个单位，函数y=f（2﹣x）的图象是由f（﹣x）的图象向右平移2个单位，故两函数的图象依旧关于原点对称．④以下列图，正确．故答案为：④．六、函数性质的综合应用例6、（2013?春季）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b是偶函数”．判断该命题的真假．若是是真命题，请给予证明；若是是假命题，请说明原由，并类比题设的真命题对它进行更正，使之成为真命题（不用证明）．解：（1）平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，3由于函数y=x﹣3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（2）设h（x）=的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数．设（x）=h（x+a）﹣b则f（x）=﹣b，即f（x）=．由不等式的解集关于原点对称，得a=2．此时f（x）=﹣b，x∈（﹣2，2）．任取x∈（﹣2，2），由f（﹣x）+f（x）=0，得b=1，因此函数h（x）=图象对称中心的坐标是（2，1）．3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．更正后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．例7、已知函数f（x）=ax2+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F（x）=，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣1，1]时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，数k的取值围；3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）可否大于0．解：（1）依题意，有，解得，∴f（x）=x2+2x+1，∴（2）由（1）得g（x）=f（x）+kx=x2+2x+1+kx=x2+（k+2）x+1，∴函数g（x）的对称轴x=，∵g（x）在区间[﹣1，1]上是单调函数，∴．解得k≥0，或k≤﹣4．∴实数k的取值围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞），（3）∵f（x）=ax2+bx+1为偶函数，∴b=0，即f（x）=ax2+1（a＞0），∴∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，不如设n＜0＜m，则有0＜﹣n＜m，∴m﹣n＞0，m+n＞0．∵F（m）+F（n）=am2+1﹣an2﹣1=a（m+n）（m﹣n），F（m）+F（n）＞0．例8、（2012?）已知f（x）=lg（x+1）1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值围；2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）x∈[1，2]）的反函数．解：（1）由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由得：．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）y=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10，x∴所求反函数是y=3﹣10，x∈[0，lg2]．例9、（2012?卢湾区二模）关于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y=f（x）的“均值”．（1）判断1可否为函数（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明原由；（2）若函数f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，数a的取值围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试试究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不用证明）．解：（1）对任意的x1∈[﹣1，1]，有﹣x1∈[﹣1，1]，当且仅当x2=﹣x1时，有，故存在唯一x2∈[﹣1，1]，满足，因此1是函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”．（2）当a=0时，f（x）=﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为﹣3；22都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）=ax﹣2x（1＜x＜2）单调，故有或，解得a≥1或a＜0或，综上，a的取值围是或a≥1．3）①当I=（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为；②当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③当I=（a，+∞）或（﹣∞，a）或[a，+∞）或（﹣∞，a]或[a，b）或（a，b]时，函数f（x）不存在“均值”．①当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为；②当且仅当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③当且仅当I形如（a，+∞）、（﹣∞，a）、[a，+∞）、（﹣∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一，函数f（x）不存在“均”．例10、已知函数y=f（x），x∈R足f（x+1）=af（x），a是不0的常数．（1）若当0≤x≤1，f（x）=x（1x），求函数y=f（x），x∈[0，1]的域；2）在（1）的条件下，求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；3）若当0＜x≤1，f（x）=3x，研究函数y=f（x）在区（0，+∞）上可否可能是函数？若可能，求出a的取；若不能能，明原由．解：（1）∵，∴．（2）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z），f（x）=af2（x2）（x1）=afn﹣1nn﹣1nn（xn）（n+1x）．═af1（xn），fn（x）=a3）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z），fn（x）=afn﹣1（x1）=a2fn﹣1（x2）nnx﹣nnx﹣n，n≥0，n∈Z═af1（xn），∴fn（x）=a?3；然fn（x）=a?3，x∈[n，n+1]当a＞0是增函数，此∴fn（x）∈[an，3an]，若函数y=f（x）在区[0，+∞）n+1n区[0，+∞）上不是函数；因此a≥3．七、演一．填空1、（2009?）将函数（x∈[0，6]）的象坐原点逆方向旋角θ（0≤θ≤α），获取曲C．若于每一个旋角θ，曲C都是一个函数的象，α的最大arctan

．解：先画出函数（x∈[0，6]）的象，是一个弧，心知当此弧坐原点逆方向旋角大于∠MAB，曲象，∴∠MAB=arctan故答案：arctan

M（3，2），由可C都不是一个函数的，2、（2013?）区I上有定的函数g（x），g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定域[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）x=0有解x，x=2．00解：因g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），因此于函数f（x），当x∈[0，1），f（x）∈（2，4]，因此方程f（x）x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2），f（x）∈[0，1），因此方程f（x）x=0即f（x）=x无解；因此当x∈[0，2）方程f（x）x=0即f（x）=x无解，又因方程f（x）x=0有解x0，且定域[0，3]，故当x∈[2，3]，f（x）的取属于会集（∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案：2．3、（2008?）函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=xf（x）的象点（1，2），函数y=f﹣1（x）x的象必然点（1，2）．解析：由函数y=xf（x）的象点（1，2）得：f（1）=1，即函数y=f（x）点（1，1），其反函数点（1，1），因此函数y=f﹣1（x）x的象必然点（1，2）．3、（2011?）g（x）是定在R上，以1周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区[0，1]上的域[2，5]，f（x）在区[0，3]上的域[2，7]．解：g（x）R上周期1的函数，g（x）=g（x+1），函数f（x）=x+g（x）在区[0，1]【正好是一个周期区度】的域是[2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]，t=x+1∈[1，2]，此，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1，因此，在t∈[1，2]，f（t）∈[1，6]⋯（1）同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]，t=x+2=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）=[x+g

∈[2，3]，此，f（t）=t+g（t）（x）]+2，因此，当t∈[2，3]，f（t）∈[0，7]⋯（2）由已知条件及（1）（2）获取，f（x）在区[0，3]上的域[2，7]故答案：[2，7]．4、（2011?北区二模）f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的域[1，3），f（x）g（x）的域（3，1]．解：由f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，获取f（x）=f（x），g（x）=g（x），∵1≤f（x）+g（x）＜3，且f（x）和g（x）的定域都R，把xx得：1≤f（x）+g（x）＜3，形得：1≤f（x）+g（x）＜3，即3＜f（x）g（x）≤1，f（x）g（x）的域（3，1]．故答案：（3，1]5、在直角坐系中，若是两点A（a，b），B（a，b）在函数y=f（x）的象上，那么称[A，B]函数f（x）的一关于原点的中心称点（[A，B]与[B，A]看作一）．函数g（x）=关于原点的中心称点的数2．解：由意可知g（x）=sin，x≤0，函数g（x）=sin，x≤0，关于原点称的函数h（x）=sin，x＞0，坐系中分作出函数h（x）=sin，x＞0，g（x）=log4（x+1），x＞0的象如，由象可知，两个象的交点个数有2个，因此函数g（x）=关于原点的中心称点的数2．故答案：2．6．（2013?）a常数，y=f（x）是定在R上的奇函数，当x＜0，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1所有x≥0成立，a的取．．解：因y=f（x）是定在R上的奇函数，因此当x=0，f（x）=0；当x＞0，x＜0，因此f（x）=9x+7，因y=f（x）是定在R上的奇函数，因此f（x）=9x+7；因f（x）≥a+1所有x≥0成立，因此当x=0，0≥a+1成立，因此a≤1；当x＞0，9x+7≥a+1成立，只需要9x+7的最小≥a+1，因9x+7≥2=6|a|7，因此6|a|7≥a+1，解得，因此．故答案．7．（2012?）若f（x）=奇函数，数m=2．解：∵f（x）=奇函数，∴f（1）=f（1）即m1=3（1+m）∴m=2故答案：28．（2012?）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a常数）．若f（x）在区[1，+∞）上是增函数，a的取是（∞，1]．解：因函数f（x）=e|x﹣a|（a常数）．若f（x）在区[1，+∞）上是增函数由复合函数的性知，必有t=|xa|在区[1，+∞）上是增函数，又t=|xa|在区[a，+∞）上是增函数，因此[1，+∞）?[a，+∞），故有a≤1，故答案（∞，1]9．（2012?）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，g（1）=1．2解：由意，y=f（x）+x是奇函数，且f（1）=1，因此f（1）+1+f（1）+（1）2=0解得f（1）=3，因此g（1）=f（1）+2=3+2=1，故答案110．（2013?）已知f（x）是定域R的偶函数，当x≥0，f（x）=x24x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（7，3）．解：因f（x）偶函数，因此f（|x+2|）=f（x+2），f（x+2）＜5可化f（|x+2|）＜5，即|x+2|24|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|5）＜0，因此|x+2|＜5，解得7＜x＜3，因此不等式f（x+2）＜5的解集是（7，3）．故答案：（7，3）．11．（2013?黄浦区二模）已知，若存在区，使得{y|y=f（x），x?[a，b]}=[ma，mb]，数m的取是（0，4]．解：因函数在上减函数，因此函数在上增函数，因区，由{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，，即．明方程有两个大于数根．由得：．零，t∈（0，3）．m=t2+4t=（t2）2+4．由t∈（0，3），因此m∈（0，4]．因此使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]的数m的取是（0，4]．故答案（0，4]．12．f（x）R上的偶函数，g（x）R上的奇函数且（1，3），g（x）=f（x1），f（2012）+f（2013）=3．解：由f（x）R上的偶函数，g（x）R上的奇函数，得f（x）=f（x），g（x）=g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x1），得f（x）=g（x+1）=g（x1）=f（x2）=f（x+2），即f（x）=f（x+2），因此f（x+4）=f（x+2）=[f（x）]=f（x），故f（x）是周期4的周期函数，因此f（2012）=f（4×503）=f（0）=g（1）=g（1）=3，f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（1）=g（0）=0，因此f（2012）+f（2013）=3，故答案：3．13．函数f（x），g（x）的定域分Df，Dg，且Df?Dg．若于任意x∈Df，都有g（x）=f（x），称函数g（x）f（x）在Dg上的一个延拓函数．f（x）=x2+2x，x∈（∞，0]，g（x）f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，2g（x）=x2|x|．解：由意可适合x≤0，g（x）=f（x）=x2+2x，由函数g（x）偶函数可得，g（x）=g（x），当x＞0，x＜0，g（x）=x22x，g（x）=x22xg（x）=x22|x|，故答案：x22|x|14．（2013?普陀区一模）已知函数，a＞b≥0，若f（a）=f（b），b?f（a）的取是．解：由函数，作出其象如，因函数f（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是函数，因此，若足a＞b≥0，f（a）=f（b），必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），由可知，使f（a）=f（b）的b∈[，1），f（a）∈[，2）．由不等式的可乘性得：b?f（a）∈[，2）．故答案[，2）．15．已知f（x）是定在R上的函数，且任意x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，若f（998）=1002，f（2012）=2016．解：由f（x+3）≤f（x）+3，得f（x+6）≤f（x+3）+3≤f（x）+6；由f（x+2）≥f（x）+2，得f（x+6）≥f（x+4）+2≥f（x+2）+4≥f（x）+6，因此f（x）+6≤f（x+6）≤f（x）+6，即f（x+6）=f（x）+6．因此f（2012）=f（998+169×6）=f（998+168×6）+6=f（998+167×6）+12=⋯=f（998）+169×6=1002+1014=2016．故答案：2016．16．（2010?西城区一模）函数f（x）的定域D．若存在非零数l使得于任意x∈M．有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），称f（x）M上的l高函数，若是定域是[1，+∞）的函数f（x）=x2[1，+∞）上的m高函数．数m的取．解：在[1，+∞）上的任意x（x=x+m）有y≥1恒成立，x+m≥1恒成立，即m≥1x恒成立．于x∈[1，+∞），当x=11x最大0，因此有m≥0．又222因f（x+m）≥f（x），即（x+m）≥x在x∈[1，+∝）上恒成立，化得m+2mx≥0，又因m≥0，因此m+2x≥0即m≥2x恒成立，当x=12x最大2，因此m≥2，上可知m≥2．17．定在R上的函数22，其中m，n∈R，且f（1）f（x）足f（m+n）=f（m）+2[f（n）]≠0．f（2013）=4024[f（1）]2+f（1）．解：由意知，f（2013）=f（2012+12）=f（2012）+2[f（1）]2，f（2012）=f（2011）+2[f（1）]2，（2011）=f（2010）+2[f（1）]2，f（2010）=f（2009）+2[f（1）]2，⋯f（2）=f（1）+2[f（1）]2，22故有f（2013）=f（1）+2[f（1）]×2012=4024[f（1）]+f（1）218．（2013?模）定域[a，b]的函数y=f（x）象的两个端点A、B，M（x，y）是f（x）象上任意一点，其中x=λa+（1λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，称函数f（x）在[a，b]上“k性近似”．若函数在[1，2]上“k性近似”，数k的取（）解：由意，M、N横坐相等，恒成马上k恒大于等于，k≥的最大，因此本即求的最大．由N在AB段上，得A（1，0），B（2，），AB方程y=（x1），由象可知，MN=y1y2=x（x1）=（+）≤（均不等式），故数k的取二．解答19．（2012?交大附中）若函数f（x）定域R，足任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），称f（x）“V形函数”；若函数g（x）定域R，g（x）恒大于0，且任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），称g（x）“数V形函数”．1）当f（x）=x2，判断f（x）可否V形函数，并明原由；2）当g（x）=x2+2，明：g（x）是数V形函数；3）若f（x）是V形函数，且足任意x∈R，有f（x）≥2，f（x）可否数V形函数？明你的．1）解：f（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]=（x1+x2）2（+）=2x1x2∵x，x∈R，∴2xx2符号不定，∴当2x1x≤0，f（x）是V形函数；当2xx＞0121212，f（x）不是V形函数；（2）明：假任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），2+2]lg（x122+2）lgg（x1+x2）lgg（x1）lgg（x2）=lg[（x1+x2）+2）lg（x2≤0，∴（x22222221212112∴假正确，g（x）是数V形函数；（3）解：f（x）是数V形函数明：∵f（x）是V形函数，∴任意x，x∈R，有f（x+x）≤f（x）+f（x），121212∵任意x∈R，有f（x）≥2，∴+≤1，0＜f（x1）+f（x2）≤f（x1）f（x2），∴f（x1+x2）≤f（x1）f（x2），lgf（x1+x2）≤lgf（x1）+lgf（x2），∴f（x）是数V形函数．20．（2012?浦区一模）若函数y=f（x），若是存在定的数（a，b），使得f（a+x）?fax）=b恒成立，称y=f（x）“Ω函数”．1）判断以下函数，可否“Ω函数”，并明原由；①f（x）=