高一新课元二次元高次不等式及分式不等式的解法

第八、九讲：一元二次、一元高次不等式及分式不等式的解法教学要求：1．在熟练掌握一元一次不等式（组）的解法基础上，掌握一元二次不等式的解法及其它的一些简单的高次不等式和分式不等式的解法。2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式等复杂不等式化归为整式不等式（组）。3．初步掌握含参不等式的解法，形成讨论思想，要注意它们的讨论依据的选取！一、复习：1.绝对值不等式常见类型的解法：（基本思想一过去绝对值转化为不含绝对值的不等式）类型(1):-f(x)<a(a>0)o—a<f(x)<a；f(x)>a(a>0)of(x)>a或f(x)<-a；a<f(x)<b(0<a<b)oa<f(x)<b或-b<f(x)<-a。类型（2）：|f(x)<g(x)o-g(x)<f(x)<g(x)；类型（3）：含多个绝对值的不等式常见解法一零点分段法（特殊方法还有：函数图象法；数轴法）（注意每种方法的要领）类型（4）：平方法：|f(x)<g(x)of(x)2<g(x)2（但去绝对值一般不要轻易采用平方法）2.一元一次不等式的解法:兀次不等式、兀次方程一次函数解集txx<x0lb>0，解集0b<0，解集R注意：一元一次不等式含参时，要分一次项系数a>0,a<0,a=0及常数项b的符号讨论。二、新课：1.一元二次不等式的解法（型如ax2+bx+c>0（或<0或>0或<0））一元二次不等式一元二次方程一元二次函数①A>0，解集二不等根x<x12

②A=0，解集二相等根x=x12③A<0，解集无实根注：对二次项系数a<0类似地可由数形结合求解集！(一)解简单的一元二次不等式例1.求下列不等式的解集：(1)2x2—3x—2>0；(2)—3x2+6xn2；(3)4x2—4x+1>0；(4)—x2+2x—3>0o变式练习一：解下列不等式：①—x2<3一2x；②x2一3|x|+2>0o变式练习二：二次函数y=ax2+bx+c(xeR)的部分对应值如下表：012346006则不等式ax2+bx+c>0的解集是(二)含参一元二次不等式的解法例2.解关于x的不等式ax2—2(a+1)x+4>0(aeR)。变式练习：设方程ax2+bx+c=0(a丰0)的两根为x,x，且x<x，则关于x的不等式1212ax2+bx+c>0的解集(用x,x表示)为。12(三)一元二次不等式解法的逆向问题例3.0<a<(三)一元二次不等式解法的逆向问题例3.0<a<卩，已知不等式ax2+bx+c>0的解集为｛x(a+c一b)x2+(b一2a)x+a>0的解集。变式练习：a<x<P},求不等式ax2+bx+c>一3<x<2j，则2.—元高次不等式的解法一序轴标根法引入：解不等式(3—x)(x+4)>0o(<)递进：解不等式(3-x)(x+4)(x+5)<0o序轴标根法解一元高次不等式的步骤及注意事项：(1)分解因式成标准型：(x—a)(x—a)L(x—a)>0；12n(<)1)cx2+bx+a<0}=4)44)4TOC\o"1-5"\h\z(2)标根：<a；12n3)串线写解集：从最大根的右上方依次串过每一个根，上方线遮住的x轴上的实数代表(x_a)(x_a)L(x_a)>012n的解集，下方线遮住的x轴上的实数代表(x严)(xa2)L(xan)<0的解集。(含等号时端点也加等号)(注意重根情况怎么办)例1.解不等式：(1)x(x+1)(1-x3)>0；(2)x(x_l)(x_2)2(x2-1)(x3-1)>0。变式练习：解不等式：(1)(x3_4x2+4x)(3+2x_x2)>0；(2)(x2+4x)2_2(x2+4x)_15<0.课后作业：1•解关于x的不等式：(x2_x_2)(x2+1)<0；(2)x2_3x_4>x+1；(3)(x2_2x+1)(2x2_3x_5)<0；(4)(x_1)[(x2_8x)2_2(x2_8x)_63]>0；(5)x2_3x_4>x2_4x+3；(6)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)>120。2.(1)当a+b>0时，不等式(a一x)(x+f)<0的解集是。设全集U=R,A=trx2一5x+6>0°,B=tx|x一3\<aJ,若5eB，贝9()A.AUB=A.AUB=UB.CAUB=UU(3)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为〈xC.AUCB=UU11]_2<x<3r，则a+b的值为.D.CAUCB=UUU(4)若不等式(x+a)(x2+4x+3)>0(4)若不等式(x+a)(x2+4x+3)>0的解集是若关于x的不等式x2_ax_6a<0有解，且解的区间长度不超过5个单位，则实数a的取值范围是。(09重庆卷理)不等式|x+3_x_1<a2_3a对任意实数x恒成立，则实数。的取值范围为()A.Y—1]U[4,+QB.Y_2]U[5,+QC.[1,2]D.(_®1]U[2,+^)求不等式3.(1)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是〈x求不等式cx2_bx+a>0的解集。(2)设不等式5一x>7|x+1|与ax2+bx一2>0同解，求a、b的值。课后作业答案：1.(1)课后作业答案：1.(1)lx|_1<x<(2)x<3或x>5｝；(3)_1<x<1或1<x<27+丙一1<x<1^或1<x<7^或x>9｝；(5)<xx<一1■或一1<x<■或x7+丙(6)・x<_6或x>1｝。2.(1)x<-b或x>a｝；(2)A；(3)_14；(4)-2；2.(1)1)1)5)—25<a<—24或0<a<1；(6)A。2<x<3}；⑵F=—4。[b=—9分式不等式的解法(基本思想：转化为整式不等式(但不能轻易去分母))分式不等式的解法：一般通过移项通分化为如下常见类型：>0of(x)-g(x)>0；(2)<0of(x)-g(x)<0；g(x)g⑷丰0；(4)四<0of(x)-g(x)>0g(x)例1•解下列不等式：x—2(1)>0；(2)x2+x+1例2.解下列不等式：513(1)-——x+12(2x—1)2x2—4x—5一元二次不等式含参问题及三个“二次”之间的关系例1.(1)已知关于x的不等式(m2+4m一5)x2—4(m一1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；变式：对于(1)中的条件改为“解集为R”，求实数m的取值范围。集A=实数a的取值范围。集A=tv(AUB)IC=已知A=AIB={—2}，求实数k的取值范围。3.(1)g(x)(3)/^2>0og(x)g(x)丰0f(x)-g(x)<0x2—3x—4x2x2+3x—10>；(3)3x2—7x+2<°>3；2)x3—x2—4x—17>x+1；(3)lx-4卜x—1<x—3|+|x—2x一3一x—2|x-4|.［解集为R”，求实数m的取值范围。x2-5x+6<0J,B=tx|(x-2a)(x-(a+2))<若(CA)IB丰0，求x2—ax+a2—13n0/,B=x2+2x一8<°},满足,(AUB)UC=R，求实数a的值集；I2x2+(5+2k)x+5k<0,xeZJ,且x2一x一2>0,xeZ丿,B=变式：不等式0<x2+mx+5<3恰好有一个实数解，求实数m的值集。例2.(1)已知集合A={xIx2—ax+8>0}，B={xIx2—2ax—b<0},且AIB={x14<x<9},求实数a,b的值；(2)已知集合P={xIx2—3x+2<0},S={xIx2—2ax+a<0}，若S匸P，求实数a的取值组成的集合A。变式练习：x—2已知集合A={xI>0},B={xIx2—4ax+3a2<0}，且A匸B，求实数a的取值范围。3—x(3)已知集合A={xIx2—ax+8>0}，B={xIx—2a<0}，且AIB=B，求a的取值范围。课后作业：1•解下列关于x的不等式：>口(2)x3+x2—2xx4—1<0；(3)(2x-1)(x2-x-6)>02x2—3x+1>0；1>0；11(5^-"<5x+2；⑹3-2x<0；（7）->1；（8）x225x25x-—；(10)+x-1x2+1x2+1x2—x—12⑼二>x2—2-6<0；(11)+>+x*4x*5x*6x*32.（1）若不等式ax2-2ax+3>0对xeR恒成立，则实数a的取值范围是（A.0<a<3B.0Wa<3C.aW0或a>3d.a>3ax若不等式<1的解集是x-12）aW0或a>3x<1或x>2},则实数a的值为3）P为何值时，不等式-12'害苧W3对任意实数x恒成立。4）x2-2x-k4+1>0｝若A匸B，求实数k的取值范围。（5）设集A=x2—4x+3>0J,B=3<xW4},求m、n的值。x2-mx+nW0,m、neN*},若(6)已知集合A={yIy2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={yIy=丄x2-x+—,0WxW3},22若AIBH0,，求实数a的取值范围。设集A=AIBIC={—3}，求实数k的取值范围。(09天津卷理10)0<b<1+a,若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整数恰有3个，则()A.-1<a<0B.0<a<1C.1<a<3D.3<a<6已知M={(x,y)Ix2*2y2=3}，N={(x,y)Iy=mx*b}，若对于所有的meR，均有MINH0,则实数b的取值范围是()46<6联V'62朽2込2爲2J3a・[-T'T]B.(-T'T)C.(-T'〒)D.[—〒'丁]课后作业答案：}1.(1){x|0<x<1}；(2)x2-x-6>0丿,B=2x2+(2k+7)x+7k<0丿,C=2J32Q3xW-2^或-1<xWo}；(3)11x=m,meZ}，若x<-4或x>2}；(4)]x-2Wx<1或1<x<1或x>3^；(5)Ix1<x<3或x>3j；1-4Wx<0或0<xW4}；(8)22J'|-3<x<-2或2<x<4}；(7){x(9)Jx—3Wx<—^/2或—1<xW—㊁I或—Wx<1^或^/2<xW3}；6）x<2或x>3}；(10)Jxx<-2^或-—<x•丨22<—•£或x>2}；(11)Jxx<—6^或—5<x<——•£或—4<x<—3}°2•⑴B；⑵2(3)p=一6；(4)<!x5)m二5亠fm二6亠「m二7n二4或］n二8或］n二12(6)-*'3<a<i：3或a>2；(7)一4WkV3；TOC\o"1-5"\h\z(8)C提示：由题得不等式(x-b)2>(ax)2