北师版八年级数学上册第1章勾股定理教学课件全套

第一章

勾股定理1.1探索勾股定理第1课时

认识勾股定理北师大版八年级数学上册第一章勾股定理1.1探索勾股定理第1课时认识勾1课堂讲解勾股定理勾股定理与图形的面积2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解勾股定理2课时流程逐点课堂小结作业提升相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作A、B、C的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？ABC让我们一起探索这个古老的定理吧！A、B、C的面积有什么关系？ABC让我们一起探索这个古老的定1知识点勾股定理知1－导我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.

弦股勾图11知识点勾股定理知1－导我国古代把直角三角形知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1图2-2(1)观察图2-1

正方形A中含有

个

小方格，即A的面积

是

个单位面积.正方形B的面积是

个单位面积.正方形C的面积是

个单位面积.99918知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1图2-2分“割”成若干个直角边为整数的三角形=18(单位面积)S正方形c知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1图2-2(2)在图2-2中，正方形A，B，

C中各含有多少个小方格？

它们的面积各是多少？(3)你能发现图2-1中三个正方

形A，B，C的面积之间有

什么关系吗？SA+SB=SC

即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积.知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-知1－导ABCacbSA+SB=SC观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想:两直角边a、b与斜边c

之间的关系？a2+b2=c2知1－导ABCacbSA+SB=SC观察所得到的各组数据，你知1－讲┏a2+b2=c2acb

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股弦

勾股定理(毕达哥拉斯定理)知1－讲┏a2+b2=c2acb直角三知1－讲定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.数学表达式：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2＋b2＝c2.知1－讲定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．知1－讲例1

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，求AC的长．解：由题意易知，AC2＋BC2＝AB2，

所以AC2＝AB2－BC2＝102－82＝36.

所以AC＝6cm.知1－讲例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝1总

结知1－讲利用勾股定理求直角三角形边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”：即一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边；二代：代入a2＋b2＝c2；三化简．总结知1－讲利用勾股定理求直角三角形边长的方法：知1－练1

若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，

斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(

)A．b2＝c2－a2B．a2＝c2－b2C．b2＝a2－c2

D．c2＝a2＋b2C知1－练1若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，C知1－练2(中考·淮安)如图，在边长为1个单位长度的小正

方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(

)A．5B．6C．7D．25A知1－练2(中考·淮安)如图，在边长为1个单位长度2知识点勾股定理与图形的面积知2－讲

例2

〈新疆〉如图，分别以直角三角形的三边为直径

作半圆，其中两个半圆的面积S1＝π，S2＝2π，则S3＝________．2知识点勾股定理与图形的面积知2－讲例2〈知2－讲导引：如图，由圆的面积公式得

所以c2＝25，a2＝16.根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝9.

所以知2－讲导引：如图，由圆的面积公式得总

结知2－讲与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理．总结知2－讲与直角三角形三边相连的正方形、半知2－练1如图，字母B所代表的正方形的面积是(

)A．12B．13C．144D．194C知2－练1如图，字母B所代表的正方形的面积是(知2－练如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的

面积分别为3和4，则b的面积为(

)A．16B．12C．9D．7D知2－练D1.勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角

三角形三边关系．2．由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些

变形关系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2

＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．1.勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理第一章勾股定理1.1探索勾股定理第一章勾股定理1234567891011121314151234567891011121314151．直角三角形____________________等于_____________．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么________________．两直角边的平方和斜边的平方a2＋b2＝c2返回1知识点勾股定理1．直角三角形____________________等于_2．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，则AB2＋AC2＋BC2的值为(

)A．18B．9C．6D．无法计算A返回2．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，则AB2＋AC2＋BC3．(中考•荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(

)A．5B．6C．8D．10C返回3．(中考•荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠B4．若在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长是(

)A．14B．4C．14或4D．无法确定C返回4．若在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则5．(中考•漳州)如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(

)A．5个B．4个C．3个D．2个C返回5．(中考•漳州)如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，B6．(中考•丽水)我国三国时期数学家赵爽为了验证勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________．10返回6．(中考•丽水)我国三国时期数学家赵爽为了验证勾股定理，创7．勾股定理通常是用________法来验证的，因此很多涉及直角三角形的图形面积问题，通常用___________来解决．面积勾股定理2知识点勾股定理与图形的面积返回7．勾股定理通常是用________法来验证的，因此很多涉及8．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(

)A．48B．60C．76D．80C返回8．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE9．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于(

)A．2πB．4πC．8πD．16πA返回9．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，分别以AC，BC为直径10．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是(

)A．13B．26C．47D．94C返回10．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所11．如图，将一块边长为a的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b的正方形(其中b＞a)拼接在一起，则四边形ABCD的面积为(

)A．b2＋(b－a)2B．b2＋a2C．(b＋a)2D．a2＋2ab

A返回11．如图，将一块边长为a的正方形(最中间的小正方形)与四块12．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝95.求：(1)DC的长；(2)AB的长．1题型勾股定理在求线段长中的应用12．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3返回返回13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，求四边形ABCD的面积．2题型勾股定理在求面积中的应用13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝2解：如图，连接AC∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD都是直角三角形．在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，则AC＝25.解：如图，连接AC在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝252－72＝576，则AD＝24.故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB•BC＋AD•CD＝×20×15＋×24×7＝234(m2)返回在Rt△ACD中，根据勾股定理，返回勾股定理在折叠问题中的应用14．如图，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的点F处．已知AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝10cm，求EC的长．2题型勾股定理在折叠问题中的应用14．如图，将长方形纸片ABCD的解：根据题意，得△AFE≌△ADE，∴AF＝AD＝10cm，EF＝ED.∴EF＋EC＝DC＝8cm.在Rt△ABF中，根据勾股定理得BF2＝AF2－AB2＝102－82＝36，∴BF＝6cm.∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．解：根据题意，得△AFE≌△ADE，设EC＝x

cm，则EF＝DC－EC＝(8－x)cm.

在Rt△EFC中，根据勾股定理得EC2＋FC2＝EF2，即x2＋42＝(8－x)2.解这个方程，得x＝3，即EC的长为3cm.返回设EC＝xcm，则EF＝DC－EC＝(8－x)cm.返15．(中考•柳州)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．【思路点拨】倍长中线BD，说明2BD等于△ABC中BC边上的高．倍长中线法15．(中考•柳州)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且(2)如图，延长BD至E，使DE＝DB，连接AE.∵D是AC边的中点，∴AD＝CD.解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴在Rt△BCD中，根据勾股定理得DB＝3.(2)如图，延长BD至E，使DE＝DB，连接AE.解：(1)在△EDA和△BDC中，AD＝CD，∠ADE＝∠CDB，DE＝DB，∴△EDA≌△BDC(SAS)．∴∠DAE＝∠DCB.

AE∥BC.∵DB⊥BC，∴△ABC中BC边上的高的长等于BE的长．易知BE＝2BD＝6，∴BC边上的高的长为6.返回在△EDA和△BDC中，AD＝CD，∠ADE＝∠CDB，DE第一章

勾股定理1.1探索勾股定理第2课时勾股定理的验证与应用第一章勾股定理1.1探索勾股定理第2课时勾股定1课堂讲解勾股定理的验证勾股定理的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解勾股定理的验证2课时流程逐点课堂小结作业提升上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理.在下图中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了1知识点勾股定理的验证知1－导做一做为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后得到图2、图3.图1图2图31知识点勾股定理的验证知1－导做一做图1图2图3知1－导（1）将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式

表示出来；（2）图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？

你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.（3）你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？知1－导（1）将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关知1－讲常用方法：通过拼图法利用求面积来验证．这种

方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，

以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的．

知1－讲常用方法：通过拼图法利用求面积来验证．这种知1－讲2．用拼图法验证勾股定理的思路：(1)图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空

隙，面积不会改变；(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出

图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→

推导结论．知1－讲2．用拼图法验证勾股定理的思路：知1－讲

议一议观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.知1－讲

议一议知1－讲

例1如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定

理正确性的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)说明勾股定理的正确性．

知1－讲例1如图是用硬纸板做成的四个两直角边长知1－讲导引：可以以边长为c的正方形为基础，一在形外补拼(不

重叠)成新的正方形；二在形内叠合成新的正方形．解：方法一(补拼法)：(1)如图.(2)因为大正方形的面积可以表示为(a＋b)2，

也可以表示为c2＋4×ab，所以(a＋b)2＝c2＋4×ab，a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab.知1－讲导引：可以以边长为c的正方形为基础，一在形外补拼(不知1－讲所以a2＋b2＝c2，

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．方法二(叠合法)：(1)如图.(2)因为大正方形的面积可以表示为c2，

也可以表示为ab×4＋(b－a)2，

所以c2＝ab×4＋(b－a)2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2.所以a2＋b2＝c2，

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．知1－讲所以a2＋b2＝c2，总

结知1－讲勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．总结知1－讲勾股定理的验证主要是通过知1－练用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如

图所示的图形，则下列结论中正确的是(

)A．c2＝a2＋b2B．c2＝a2＋2ab＋b2C．c2＝a2－2ab＋b2D．c2＝(a＋b)2A知1－练用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示2知识点勾股定理的应用知2－导

例2我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一

辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得

汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能

帮小王计算敌方汽车的速度吗？分析：根据题意，可以画出右图，

其中点A表示小王所在位置，

点C、点B表示两个时刻敌方

汽车的位置.2知识点勾股定理的应用知2－导例2我方侦察员小王在知2－导由于小王距离公路400m，因此∠C是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，

也就是5002=BC2+4002,

所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m，

那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m）,

即它行驶的速度为108km/h.知2－导由于小王距离公路400m，因此∠C是直角，这样就可知2－讲1.勾股定理是一个重要的数学定理，它将图形(直角三

角形)与数量关系(三边关系)有机结合起来；在几何及

日常生活中都有着广泛的应用．2．运用勾股定理进行计算分三步：第一步：注意应用的

前提，即看是不是直角三角形；第二步：分清求解的

对象，即看是求直角边长，还是斜边长或者两种均有

可能；第三步：运用勾股定理进行计算．

知2－讲1.勾股定理是一个重要的数学定理，它将图形(直知2－讲

例3〈实际应用题〉两棵树之间的距离为8m，两棵

树的高度分别是8m，2m，一只小鸟从一棵树的

树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多

少米？导引：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直

角三角形，再利用勾股定理求解．知2－讲例3〈实际应用题〉两棵树之间的距离为8知2－讲解：根据题意画出示意图，如图所示，

两棵树的高度分别为AB＝8m，CD＝2m，

两棵树之间的距离BD＝8m，

过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC.

则BE＝CD＝2m，EC＝BD＝8m，AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)．

在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2，

即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10m.

答：这只小鸟至少要飞10m．知2－讲解：根据题意画出示意图，如图所示，知2－练如图，一个长为2.5m的梯子，一端放在离墙脚1.5m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚(

)A．0.2mB．0.4mC．2mD．4mC知2－练如图，一个长为2.5m的梯子，一端放在离墙脚C知2－练2(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(

)A．8mB．10mC．12mD．14mB知2－练2(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10

用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理．

它一般都经过以下几个步骤：拼出图形→写出图形面积的表达式→找出相等关系→恒等变形→导出勾股定理．用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出1.1探索勾股定理第2课时勾股定理的验证与应用第一章勾股定理1.1探索勾股定理第一章勾股定理12345678910111213123456789101112131．勾股定理的验证方法很多，主要是用________法说明，要注意两点：(1)通过割补、拼摆，用相同的直角三角形得到一个图形；面积1知识点勾股定理的验证1．勾股定理的验证方法很多，主要是用________法说明，(2)根据拼成的图形得到一个________关系式，通过恒等变形即可得到勾股定理．例：图①反映的面积关系式为___________________________；图②反映的面积关系式为___________________________．面积返回

(2)根据拼成的图形得到一个________关系式，通过恒等2．(中考•襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系验证了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大2．(中考•襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系验证了勾股定返回正方形的面积为13，则小正方形的面积为(

)A．3B．4C．5D．6C返回正方形的面积为13，则小正方形的面积为()C3．历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的边AE，EB在一条直线上，其中用到的面积相等的关系式是(

)

3．历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形，其中A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA＋S△CEB＝S△CDEC．S四边形CDAE＝S四边形CDEBD．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD返回√A．S△EDA＝S△CEB返回√4．在Rt△ABC中，a，b是两直角边，c为斜边，如果已知a，b，那么c2＝________；如果已知a，c，那么b2＝________；如果已知b，c，那么a2＝_______．当不能直接运用勾股定理求线段长度时，a2＋b2c2－a22知识点勾股定理的应用c2－b24．在Rt△ABC中，a，b是两直角边，c为斜边，如果已知a则设所求线段的长度为x，并选择一个合适的直角三角形，根据勾股定理，列出含________的方程．x返回则设所求线段的长度为x，并选择一个合适的直角三角形，根据勾股5．(中考•淮安)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(

)A．5B．6C．7D．25A返回5．(中考•淮安)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点6．如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为(

)A．4cmB．5cmC．6

cm

D．10cmB返回6．如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝7．(中考•荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(

)7．(中考•荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：A．x2－6＝(10－x)2B．x2－62＝(10－x)2C．x2＋6＝(10－x)2D．x2＋62＝(10－x)2返回√A．x2－6＝(10－x)2B．x2－62＝8．(中考•绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为(

)A．0.7mB．1.5mC．2.2mD．2.4mC返回8．(中考•绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠9．如图，一艘轮船以16nmile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以12nmile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2h后，两船相距(

)nmile.A．25B．30C．40D．50C返回9．如图，一艘轮船以16nmile/h的速度从港口A出发10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC在网格中，顶点均为格点．求点A到直线BC的距离．1题型面积法、勾股定理在求线段长中的应用10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△AB返回S△ABC＝4×5－×2×5－×2×2－×3×4＝7.因为BC2＝32＋42＝52，所以BC＝5.设点A到直线BC的距离为h，因为S△ABC＝

BC•h，所以×5h＝7，所以h＝.故点A到直线BC的距离是.解：返回S△ABC＝4×5－×2×5－×2×2－11．如图，河岸上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝10km，CB＝15km，要在AB所在直线上建一个水泵站E，使得C，D两村庄到水泵站E的距离相等．求水泵站E应建在距A点多远处．2题型勾股定理在实际中的应用11．如图，河岸上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，解：设AE＝xkm，则BE＝(25－x)km.在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2.在Rt△BCE中，CE2＝BC2＋BE2.因为DE＝CE，所以102＋x2＝152＋(25－x)2，即100＋x2＝225＋625－50x＋x2，解得x＝15.故水泵站E应建在距A点15km的地方．返回解：设AE＝xkm，则BE＝(25－x)km.返回化斜为直法在说明线段平方关系中的应用12．如图，AD是△ABC的中线，试说明AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．3题型化斜为直法在说明线段平方关系中的应用12．如图，AD是△AB过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ABE，Rt△ACE和Rt△ADE中，由勾股定理得AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋EC2，AE2＝AD2－DE2，所以AB2＋AC2＝2AE2＋BE2＋EC2＝2(AD2－DE2)＋(BD－DE)2＋(CD＋DE)2＝2AD2－2DE2＋BD2－2BD•DE＋DE2＋CD2＋2CD•DE＋DE2＝2AD2＋BD2＋CD2－2BD•DE＋2CD•DE.解：过点A作AE⊥BC于点E.解：因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD.所以AB2＋AC2＝2AD2＋2CD2，即AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．返回因为AD是△ABC的中线，返回13．如图，在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它跃过的路线为直线)．如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高．方程思想13．如图，在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只猴【思路点拨】通过设未知数，根据两只猴子经过的路程相等表示出AD的长度，再利用勾股定理列方程求解．解：设BD＝xm，由题意知BC＋AC＝BD＋AD，所以AD＝(30－x)m.所以(10＋x)2＋202＝(30－x)2.解得x＝5.所以x＋10＝15，即这棵树的高为15m.返回【思路点拨】通过设未知数，根据两只猴子经过的路程相等表示出A第一章

勾股定理1.2一定是直角三角形吗第一章勾股定理1.2一定是直角三角形吗1课堂讲解由三边关系确定直角三角形勾股数2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解由三边关系确定直角三角形2课时流程逐点课堂小结作业问题1：在一个直角三角形中三条边满足什么样

的关系呢？答：在一个直角三角形中两直角边的平方和

等于斜边的平方.问题2：如果一个三角形中有两边的平方和等于第

三边的平方，那么这个三角形是否就是直

角三角形呢？问题1：在一个直角三角形中三条边满足什么样答：在一个直角三角1知识点由三边关系确定直角三角形知1－导做一做下面的每组数分别是一个三角形的三边长a,b,c,

而且都满足a2+b2=c2：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25.分别以每组数为三边长画出三角形，它们都是直角三角形吗？你是怎么想的？与同伴进行交流.1知识点由三边关系确定直角三角形知1－导做一做知1－讲直角三角形的判定：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．知1－讲直角三角形的判定：如果三角形的三边长a，b，知1－讲2．利用边的关系判定直角三角形的步骤：(1)比较三边长a，b，c的大小，找出最长边．(2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方

相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对

的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三

角形．知1－讲2．利用边的关系判定直角三角形的步骤：知1－讲

例1一个零件的形状如图1所示，按规定这个零

件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得

这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符

合要求吗？图2图1知1－讲例1一个零件的形状如图1所示，按规知1－讲（来自教材）解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，

所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.

在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，

所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.

因此，这个零件符合要求.知1－讲（来自教材）解：在△ABD中，AB2+AD2=9+1知1－讲

例2判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；(3)一个三角形的三边长a，b，c满足b2－a2＝c2.导引：判断一个三角形是不是直角三角形，如果条件与角

相关，则考虑用定义判断，如果条件与边相关，

则考虑用边的关系判断．第(1)题可以直接根据直

角三角形的定义判断；第(2)(3)题可以依据边的关

系判断．知1－讲例2判断满足下列条件的三角形是不是直知1－讲解：(1)在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠B＝180°－25°－65°＝90°.所以△ABC是直角三角形．(2)在△ABC中，因为AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠C为直角．(3)因为三角形的三边长满足b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2，所以此三角形是直角三角形，且b是斜边长．警示：判断一个三角形的形状时，除考虑是否为直角三角形

外，还要考虑是否为等腰三角形．知1－讲解：(1)在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180总

结知1－讲判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三

角形的内角和判断；(2)利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有

关，一般通过计算得出三边的数量关系来判断，看

是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方．总结知1－讲判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：知1－练(中考·淮安)下列四组线段中，能组成直角三角形的

是(

)A．a＝1，b＝2，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5D．a＝3，b＝4，c＝51D知1－练(中考·淮安)下列四组线段中，能组成直角知1－练3如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC是(

)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形A知1－练3如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC是2知识点勾股数知2－讲1.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；….2知识点勾股数知2－讲1.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三知2－讲2．判断勾股数的方法：(1)确定是不是三个正整数；(2)确定最大数；(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．3．易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．知2－讲2．判断勾股数的方法：知2－讲

例3

下面四组数中是勾股数的一组是(

)A．6，7，8

B．5，8，13

C．1.5，2，2.5

D．21，28，35导引：根据勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正

整数a，b，c称为勾股数．A．62＋72≠82，不是勾股数，故错误；B．52＋82≠132，不是勾股数，故错误；C．1.5和2.5不是整数，所以不是勾股数，故错误；D．212＋282＝352，是勾股数，故正确．D知2－讲例3下面四组数中是勾股数的一组是(总

结知2－讲确定勾股数的方法：

首先看这三个数是不是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方．记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解题速度．总结知2－讲确定勾股数的方法：知2－讲例4观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，其中a＜b＜c.

(1)试找出它们的共同点，并说明你的结论；(2)当a＝21时，求b，c的值．知2－讲例4观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，知2－讲导引：只要能够发现每组三个数之间的规律即可，这就

需从不同的角度去观察、分析，运用从特殊到一

般的思想来解答．解：(1)各组数的共同点：①各组数均满足a2＋b2＝c2；②最小数a是奇数，其余的两个数b，c是连续的

正整数；③最小奇数的平方等于另外两个连续正整数的和．知2－讲导引：只要能够发现每组三个数之间的规律即可，这就知2－讲由以上特点可猜想并说明这样一个结论：设x为大于1的奇数，将x2拆分为两个连续正整数之和，

即x2＝y＋(y＋1)，则x，y，y＋1就能构成一组勾股数．理由：因为x2＝y＋(y＋1)(x为大于1的奇数)，所以x2＋y2＝y＋(y＋1)＋y2＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.所以x，y，y＋1是一组勾股数．(2)运用以上结论，当a＝21时，212＝441＝220＋221.所以b＝220，c＝221.知2－讲由以上特点可猜想并说明这样一个结论：总

结知2－讲寻找与大于且等于3的奇数组成勾股数的一种方法：先选一个大于1的奇数，然后把这个数的平方写成两个连续正整数的和，则这个奇数和分成的两个连续正整数就构成了一组勾股数，如452＝2025＝1012＋1013，则45，1012，1013就是一组勾股数，运用此法可以得到许多组勾股数.总结知2－讲寻找与大于且等于3的奇数组成勾股数的一种知2－练1下列各组数中，不是勾股数的是(

)A．5，12，13B．7，24，25C．8，12，15D．3k，4k，5k(k为正整数)C知2－练1下列各组数中，不是勾股数的是()C如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，

那么这个三角形是直角三角形.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为

勾股数.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，勾股数：1.2一定是直角三角形吗第一章勾股定理1.2一定是直角三角形吗第一章勾股定理12345678910111213141516171234567891011121314151617由三边关系确定直角三角形1．如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是____________．2．下列各组长度的线段能构成直角三角形的是(

)A．30，40，50B．7，12，13C．5，9，12D．3，4，6直角三角形1知识点A返回由三边关系确定直角三角形1．如果三角形的三边长a，b，c满足3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则(

)A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．△ABC不是直角三角形A返回3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且4．(中考•南京)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(

)A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，7C返回4．(中考•南京)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(返回5．已知△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC的面积为(

)A．30 B．60C．78 D．无法确定A返回5．已知△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC6．(中考•眉山)如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(

)

A．90°B．60°C．45°D．30°C返回6．(中考•眉山)如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C7．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；③a2＝(b＋c)(b－c)；④a∶b∶c＝5∶12∶13.其中能判定△ABC是直角三角形的有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个返回C7．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：其中能判定△8．(中考•达州)如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为(

)

A. B. C. D.返回D8．(中考•达州)如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的9．阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．错解：因为a2c2－b2c2＝a4－b4，①所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．②所以c2＝a2＋b2.③9．阅读下列解题过程：所以△ABC为直角三角形．④(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：________．(2)错误的原因是________________________．(3)本题正确的结论是____________________________________．返回③不能确定a2－b2是否为0△ABC为等腰三角形或直角三角形所以△ABC为直角三角形．④返回③不能确定a2－b2是否为010．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为____________．11．下列各组数能构成勾股数的是________(填序号)．①6，8，10；②7，8，10；③

，

，1.勾股数2知识点勾股数①返回10．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为________12．下列各组数中，是勾股数的是(

)A．14，36，39 B．8，24，25C．8，15，17 D．10，20，26C返回12．下列各组数中，是勾股数的是()C返回13．下列几组数：①9，12，15；②8，15，17；③7，24，25；④n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整数)．其中是勾股数的有(

)A．1组B．2组C．3组D．4组D返回13．下列几组数：D返回14．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，如果a＝

，b＝

，c＝2，这个三角形是直角三角形吗？请说明理由．小利的解答如下：解：这个三角形不是直角三角形．理由如下：1题型确定直角三角形条件在辨析题中的应用14．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，因为a2＋b2＝

2＋

2＝

，c2＝4，所以a2＋b2≠c2.所以△ABC不是直角三角形．请问小利的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程，并画出这个三角形．因为a2＋b2＝2＋2＝解：小利的解答不正确．正确的解答过程如下：这个三角形是直角三角形．理由如下：因为>2>，所以b是这个三角形的最长边．因为a2＋c2＝

2＋22＝

，b2＝

2＝

，所以a2＋c2＝b2.解：小利的解答不正确．正确的解答过程如下：返回所以△ABC是直角三角形．画出的△ABC如图所示．返回所以△ABC是直角三角形．15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠B＝90°.求∠BAD的度数．2题型确定直角三角形条件在求角度中的应用15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，A连接AC.因为∠B＝90°，AB＝BC＝2，所以△ABC为等腰直角三角形．所以∠BAC＝45°.又因为CD＝3，AD＝1，所以AC2＋AD2＝AB2＋BC2＋AD2＝4＋4＋1＝9，CD2＝9.解：连接AC.解：所以AC2＋AD2＝CD2.所以△ACD是直角三角形且∠CAD＝90°.所以∠BAD＝45°＋90°＝135°.返回所以AC2＋AD2＝CD2.返回确定直角三角形条件在实际问题中的应用16．如图，A，B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到试验田A，B；3题型确定直角三角形条件在实际问题中的应用16．如图，A，B两块试乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到线段AB上的H处，再从H分别向试验田A，B修筑水渠．(1)请判断△ABC的形状(要求写出推理过程)．(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水(1)因为AC2＋BC2＝1602＋1202＝40000，AB2＝2002＝40000，所以AC2＋BC2＝AB2.所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.(2)甲方案所修的水渠较短．因为△ABC是直角三角形，解：(1)因为AC2＋BC2＝1602＋1202＝40000，返回所以△ABC的面积＝

AB•CH＝

AC•BC.所以CH＝＝＝96(m)．因为AC＋BC＝160＋120＝280(m)，CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200＝296(m)，所以AC＋BC＜CH＋AH＋BH.所以甲方案所修的水渠较短．返回所以△ABC的面积＝AB•CH＝AC•B17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2.求∠BPC的度数．旋转法17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是【思路点拨】解答本题要紧扣两个切入点：(1)由于∠BPC是一钝角，想办法将其分割成一直角与一特殊角(30°，60°，45°)的和的形式；(2)用旋转法将△CPB绕点C顺时针旋转90°到△CP′A的位置．【思路点拨】解答本题要紧扣两个切入点：解：如图，将△CPB绕点C顺时针旋转90°得△CP′A，则P′C＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠BPC＝∠AP′C，连接PP′.

解：如图，将△CPB绕点C顺时针旋转90°得△CP′A，则P∵∠PCP′＝90°，∴PP′2＝22＋22＝8.∵P′A＝1，PA＝3，∴PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9.∴PP′2＋P′A2＝PA2.∴∠AP′P＝90°.易知∠CP′P＝45°，∴∠BPC＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠CP′P＝90°＋45°＝135°.返回∵∠PCP′＝90°，∴PP′2＝22＋22＝8.返回第一章

勾股定理1.3勾股定理的应用第一章勾股定理1.3勾股定理的应用1课堂讲解勾股定理及直角三角形的判定在求最值中的应用勾股定理及直角三角形的判定的实际应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解勾股定理及直角三角形的判定在求最值中的应用2课时流1、勾股定理的内容是什么？2、勾股定理的逆定理是什么？复习提问1、勾股定理的内容是什么？复习提问1知识点勾股定理及直角三角形的判定在求最值中的应用知1－导如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到

点B沿圆柱侧面画出几条路线，

你觉得哪条路线最短呢？1知识点勾股定理及直角三角形的判定在求最值中的应用知1－导如知1－导（2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧

面爬行的最短路程是多少？知1－导（2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点知1－讲求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法：先将圆柱的侧面展开，确定两点的位置，两点连接的线段即为最短路线，再在直角三角形中，利用勾股定理求其长度即可．知1－讲求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法：知1－讲

例1

如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面

周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴

蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，

则蚂蚁到蜂蜜的最短路

线长为________．15cm知1－讲例1如图，有一个圆柱形玻璃杯，高知1－讲

导引：化曲为直，即将圆柱侧面适当展开成平面图形，

再结合轴对称的知识求解．具体过程如下：

如图，作CD⊥FA于D，作A关于EF的对称点A′，

连接A′C，与EF交于B，则A→B→C为最短路线．由题意知DC＝9cm，FD＝8cm，FA′＝4cm，

在Rt△A′DC中，A′C2＝A′D2＋DC2＝(FA′＋FD)2

＋DC2＝(4＋8)2