与绳子相关的问题

与绳子相关的问题绳子、杆子、弹簧是中学物理中常见的三种理想模型，在各种试题中出现的频率很高，弄清与之相关的问题对处理一些物理问题大有裨益。本文拟谈谈与绳子相关的问题。1．绳子的张力方向绳子的张力只能沿绳收缩的方向，不象杆子和弹簧可拉可压。【例1】如图所示，一摆长为l的单摆，摆球的质量为m,要使摆球能在竖直平面内做完整圆周运动，那么摆球在最低点的速度v0至少为多少？【解析】小球在最高点的受力情况如图所示，由牛顿第二定律得：v2T+mg=m，由于m、l一定，所以v越小，T就越小，当T=0时，l小球具有不脱离轨的最小速度，从最高点到最低点过程中，小球机械能守恒，解出最低点的速度v0。v2从最高点到最低点，小球机械能守恒，2）设小球在最高点时，最小速度为v,因此得：mg=mi （1）从最高点到最低点，小球机械能守恒，2）11有：mg•2l+mv2=mv2有：2 2 0由（1）（2）得V0的最小值为v0=J5gl本题的典型错误是认为小球在最高点速度为零，实际上隐含着摆球做完整的圆周运动，通过最高点时，小球的最小速度不是零，因为小球恰能到最高点绳中张力刚好为零，此时小球还受重力作用。2．绳端物体的运动当绳端物体的运动与绳子不在一条直线上时，可将物体的运动进行分解，物体的实际速度方向即为合速度方向，有一分速度沿着绳子所在的直线，若物体拉绳则沿绳伸长方向，若绳拉物体则沿绳缩短方向，还有一速度垂直于绳子且与绳转动方向相同。【例2】如图所示，在水面上方高20m处，人用绳子通过定滑轮将水中的小船系住,并以3m/s的速度将绳子收短，开始时绳与水面夹角30°角，试求：⑴刚开始时小船的V速度；⑵5秒末小船速度的大小。V【解析】⑴将船的速度进行分解，船实际的速度-是合速度，水平向左，分速度V］为沿绳子方向的速度，即等于将绳子收短的速度3m/s，分速度V3为绕0点以OA为半径的绕滑轮向内偏的圆周运动的速度，垂直于绳的方向，画出速度分解的矢量图如图所示，从而求出=2^=243=3.464(m/s)⑵开始时从定滑轮到船，绳子的长度(2)A、B、C(2)A、B、C三球系统机械能守恒，一△Ep=AE本题的典型错误是将Vc直接分解为两球的速度，应注意到：研究C球的速度与一边绳的关系时与另一边绳无关，B球的作用是保证C球竖直向上运动的，类似在C球中心加一竖直杆，以保证c球竖直向上运动的作用。如图所示。l=h/sin30°=20/0.5=40(m).5秒内绳子缩短了3X5=15(m),5秒末绳长1’变为40—15=25(m),此时sina'=20/25=0.8,a‘=53°。.*.VZ=V/con53°=3/0.6=5(m/s)1【例3】如图所示，两定滑轮间距离为2d,质量相等的小球A和B通过绕过定滑轮的绳子带动小球C上升，在某一时刻连接C球的两绳夹角为2a，绳子张力为T,A、B两球下落的速度为V,不计滑轮摩擦和绳子的质量，绳子也不能伸长。⑴此时C球上升的速度是多少？⑵若C球质量与A、B球相同均为m,a=30。时，三球从静止开始运动,则a=45。时C球的速度是多少？【解析】⑴如图，球c的速度vc为合速度，竖直向上；沿绳方向的分运动速度即为A球下落的速度V；垂直于绳绕O作向外偏的圆周运动的速度为V。2VC=V/COSa，3.绳子被绷紧瞬间绳子在瞬间被绷紧的过程中，表面上常因看不到物体有明显位移，因而容易忽略瞬间内力作功的过程。事实上，因有内力瞬时做功，机械能转化为绳子的内能，全过程中的机械能便不再守恒.

【例4】如图，质量1千克的小球用0.8米长的细线悬于固定点0。现将小球沿圆周拉到右上方的B【例4】如图，质量1千克的小球用0.8米长的细线悬于固定点0。现将小球沿圆周拉到右上方的B点，此时小球离最低处A点的高度是1.2米。松手让小球无初速下落，试求它运动到最低处时对细线的拉力。【解析】球从B下落到图中的C位置时，线从松驰状态开始张紧（易知图中a=60°），因线张紧，之后小球才从C起开始作圆弧运动到达A。从B-C机械能确实守恒，则V=屈恳=^2xl0x0-8=°米/秒。既然在C处开始转化为圆弧运动，意味着小球只保留了速度v的切向分量v］而损失了法向分量60°v2,也就是说损失了动能。这是因为在线张紧的瞬间，线上拉力对小球作了瞬时功，造成了动能转化为内能。这样，就B到A的全过程而言，因在C处有线对小球作瞬时功，所以不满足“仅有重力作功”这个条件,故全过程中机械能不守恒。vj=v=2侖氷/秒懂得了以上道理，便知道小球在C处以线速度 开始作圆弧运动。在这之后，满足了“仅有重力做功”的条件，机械能守恒。则从C-A有为T=3.5mg=35牛。；而在A为T=3.5mg=35牛。；而在A处对小球有，由此解得正确答案应本题的典型错误是认为球从B到A的过程中，只有重力做功，机械能守恒，所以有:mgh=—mV由此解得在A处，对小球又有:由此解得在A处，对小球又有:在本题中，我们看到了因有瞬时功而造成机械能损失的情况。同样，在那个瞬间，因为我们看不到物体明显的位移（小球在C位置时在线的方向没有明显位移），所以极易疏忽这个隐含的重要变化，因而常常会导致解题失误。

【例5】如图所示，光滑的水平面上有两个小滑块A和B,其质量mA=6kg,mB=3婕,之间用一根轻绳相连。开始时绳子完全松驰，两滑块靠在一起，现用3N的水平恒力拉A,使A先起动，当绳被瞬间绷直后，再拖动B一起运动，在A滑块前进了0.75m时，两滑块共同前进的速度v=2/3m/s，求连接两滑块的绳长。【解析】本题的关键在于“绳子瞬间绷直”时其张力可看成远大于外力F,所以可认为A、B组成的系统动量守恒。此过程相当于完全非弹性碰撞，系统的动能有损失。设绳长为L,以绳子绷直前的滑块A为研究对象，由动能定理得1FL=—mv22A1绳绷直的瞬间，可认为T>>F,因此系统的动量守恒mAv1=(mA+mB)v2对于绳绷直后，A、B组成的系统(看成一个整体)的共同运动过程，由动能定理得11F(0.75—L)-(m+m)v2一(m+m)v2联立解得2AB12AB2联立解得L=0.25m象本题一类两物体通过绳连接，绳子在绷紧瞬间属于广义上的完全非弹性碰撞的情况请注意上述因瞬时功造成机械能向其它能转化的特点。处理问题时，务请注意在瞬间作用中所隐含的重