材料力学第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题课件

第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题§2.1

轴力和轴力图§2.2

轴向载荷作用下杆件横截面上的应力§2.3

简单的强度问题§2.4

轴向载荷作用下的变形计算

§2.5

两种典型材料拉伸时的力学性能§2.6两种典型材料压缩时的力学性能

§2.7

结论与讨论第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题§2.1轴力和轴力§2.1

轴力与轴力图第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题

工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合，这种载荷称为轴向载荷。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。屋架结构简图§2.1轴力与轴力图第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问桁架的示意图受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆（未考虑端部连接情况）第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题桁架的示意图受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆（未考虑

截面法、轴力及轴力图FN=F（1）假想地截开指定截面；（2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；（3）根据分离体的平衡求出内力值。步骤：第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题截面法、轴力及轴力图FN=F（1）假想地截开指定截面；（2

横截面m－m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直于横截面并通过其形心)——轴力。无论取横截面m－m的左边或右边为分离体均可。轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定:

当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向截面产生缩短变形为负。轴力背离截面FN=+F第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题横截面m－m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直

用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。轴力指向截面FN=-F第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上

轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。F(c)F(f)第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关例题2-1

试作此杆的轴力图。等直杆的受力示意图(a)第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题例题2-1试作此杆的轴力图。等直杆的受力示意图(a)第二章为求轴力方便，先求出约束力FR=10kN为方便，取横截面1－1左边为分离体，假设轴力为拉力，得FN1=10kN(拉力)解：第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题为求轴力方便，先求出约束力FR=10kN为方便，取横为方便取截面3－3右边为分离体，假设轴力为拉力。FN2=50kN(拉力)FN3=-5kN（压力），同理，FN4=20kN(拉力)第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题为方便取截面3－3右边为分离体，假设轴力为拉力。FN2=50轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。第二章轴向载荷§2.2

轴向载荷作用下杆件横截面上的应力Ⅰ.应力的概念

受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布内力的平均集度即平均应力，，其方向和大小一般而言，随所取ΔA的大小而不同。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题§2.2轴向载荷作用下杆件横截面上的应力Ⅰ.应力的概念

该截面上M点处分布内力的集度为，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题该截面上M点处分布内力的集度为总应力法向分量正应力s某一截面上法向分布内力在某一点处的集度切向分量切应力t某一截面上切向分布内力在某一点处的集度应力单位：Pa(1Pa=1N/m2，1MPa=106Pa)。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题总应力法向分量正应力s某一截面上法向分布内力在某一点处的集Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力(1)与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关；

(2)

s在横截面上的变化规律横截面上各点处s相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力FN。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力(1)与轴力相应的只可能为此：

1.观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。

2.设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平截面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题为此：1.观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(3.推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力s

都相等。4.等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题3.推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面注意：

1.

上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。

2.

即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题注意：1.上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于

例题2-2

试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F=50kN。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题例题2-2试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的Ⅱ段柱横截面上的正应力所以，最大工作应力为smax=s2=-1.1MPa

(压应力）解：Ⅰ段柱横截面上的正应力(压应力)(压应力)第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题Ⅱ段柱横截面上的正应力所以，最大工作应力为smax=s2§2.3

最简单的强度问题（强度条件·安全因数·许用应力）

以上分析了轴向载荷作用下杆件横截面上的应力，在计算出拉压杆横截面上的正应力后，可能有以下几方面的问题：

（1）在给定载荷和材料的情形下，怎样判断结构能否安全可靠的工作？（2）如果材料是未知的，在所得到的应力水平下，构件选用什么材料，才能保证结构可以安全可靠地工作？（3）如果载荷是未知的，在给定杆件截面尺寸和材料的情形下，怎样确定结构所能承受的最大载荷？这些问题都是强度设计所涉及的内容。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题§2.3最简单的强度问题以上分析了轴向载荷作Ⅰ.拉(压)杆的强度条件

强度条件——保证拉(压)杆在使用寿命内不发生强度破坏的条件：

其中：smax——拉(压)杆的最大工作应力，

[s]——材料拉伸(压缩)时的许用应力。第二章轴向拉伸和压缩Ⅰ.拉(压)杆的强度条件强度条件——保证拉(压)杆Ⅱ.

材料的拉、压许用应力塑性材料：脆性材料：许用拉应力其中，ns——对应于屈服极限的安全因数.其中，nb——对应于拉、压强度的安全因数.第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题Ⅱ.材料的拉、压许用应力塑性材料：Ⅲ.

关于安全因数的考虑

(1)

考虑强度条件中一些量的变异。如极限应力(ss，sp0.2，sb，sbc)的变异，构件横截面尺寸的变异，荷载的变异，以及计算简图与实际结构的差异。

(2)

考虑强度储备。计及使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。安全因数的大致范围：静荷载下，第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题Ⅲ.关于安全因数的考虑(1)考虑强度条件中一些量的常用材料的许用应力约值

(适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆）

材料名称

牌号

许用应力/MPa低碳钢低合金钢灰口铸铁混凝土混凝土红松（顺纹）Q23516MnC20C3017023034－540.440.66.4170230160－200710.310轴向拉伸轴向压缩第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题常用材料的许用应力约值

(适用于常温、静荷载和一般工作条件下Ⅳ.强度计算的三种类型

(2)

截面选择已知拉(压)杆材料及所受荷载，按强度条件求杆件横截面面积或尺寸。

(3)

计算许可荷载已知拉(压)杆材料和横截面尺寸，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可荷载。FN,max=A[s]

，由FN,max计算相应的荷载。

(1)

强度校核已知拉(压)杆材料、横截面尺寸及所受荷载，检验能否满足强度条件对于等截面直杆即为第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题Ⅳ.强度计算的三种类型(2)截面选择已知拉(

例题2-3

试选择计算简图如图中(a)所示桁架的钢拉杆DI的直径d。已知：F=16kN，[s]=120MPa。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题例题2-3试选择计算简图如图中(a)所示桁架的钢拉2.

求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径由于圆钢的最小直径为10mm，故钢拉杆DI采用f10圆钢。解:1.由图中(b)所示分离体的平衡方程得第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题2.求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径由于圆钢的最小直径

例题2-4图中(a)所示三角架(计算简图)，杆AC由两根80mm80mm7mm等边角钢组成，杆AB由两根10号工字钢组成。两种型钢的材料均为Q235钢，[s]=170MPa。试求许可荷载[F]。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题例题2-4图中(a)所示三角架(计算简图)，杆A解

:1.根据结点A的受力图(图b)，得平衡方程：(拉)（压）解得第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题解:1.根据结点A的受力图(图b)，得平衡方程：2.计算各杆的许可轴力

先由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积，再乘以2得由强度条件得各杆的许可轴力：杆AC的横截面面积杆AB的横截面面积第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题2.计算各杆的许可轴力先由型钢表查出相应3.

求三角架的许可荷载先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可荷载：

此例题中给出的许用应力[s]=170MPa是关于强度的许用应力；对于受压杆AB实际上还需考虑其稳定性，此时的许用应力将小于强度许用应力。该三角架的许可荷载应是[F1]和[F2]中的小者，所以第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题3.求三角架的许可荷载先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可§2.4

轴向载荷作用下的变形计算·胡克定律

拉(压)杆的纵向变形

基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：

纵向总变形Δl=l1-l

（反映绝对变形量）

纵向线应变（反映变形程度）

第二章轴向拉伸和压缩§2.4轴向载荷作用下的变形计算·胡克定律拉(压)杆的引进比例常数E，且注意到F=FN，有

胡克定律(Hooke’slaw),适用于拉(压)杆。

式中：E称为弹性模量(modulusofelasticity)，由实验测定，其单位为Pa；EA——

杆的拉伸(压缩)刚度。胡克定律(Hooke’slaw)

工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力第二章轴向拉伸和压缩引进比例常数E，且注意到F=FN，有胡克定律(Ho胡克定律的另一表达形式：

←单轴应力状态下的胡克定律

第二章轴向拉伸和压缩低碳钢(Q235)：

胡克定律的另一表达形式：←单轴应力状态下的胡克定律第二章低碳钢(Q235)：n=0.24~0.28。

亦即

横向变形因数(泊松比)(Poisson’sratio)

单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，某一方向的线应变e与和该方向垂直的方向(横向)的线应变e'的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或泊松比(Poisson’sratio)：第二章轴向拉伸和压缩低碳钢(Q235)：n=0.24~0.28。亦即横向§2.5

两种典型材料拉伸时的力学性能Ⅰ.材料的拉伸和压缩试验

拉伸试样

圆截面试样：l=10d或l=5d(工作段长度称为标距)。

矩形截面试样：或。

第二章轴向拉伸和压缩§2.5两种典型材料拉伸时的力学性能Ⅰ.材料的拉伸和压实验装置（万能试验机）第二章轴向拉伸和压缩实验装置（万能试验机）第二章轴向拉伸和压缩Ⅱ.低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能

拉伸图

纵坐标——试样的抗力F(通常称为荷载)

横坐标——试样工作段的伸长量第二章轴向拉伸和压缩Ⅱ.低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能拉伸图低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：

(1)阶段Ⅰ——弹性阶段变形完全是弹性的，且Δl与F成线性关系，即此时材料的

力学行为符合胡克定律。第二章轴向拉伸和压缩低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：(1)阶段

(2)阶段Ⅱ——屈服阶段

在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。

此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45°的滑移线(，当α=±45°时τa的绝对值最大)。第二章轴向拉伸和压缩(2)阶段Ⅱ——屈服阶段在此阶段伸长变形急剧(3)阶段Ⅲ——强化阶段

第二章轴向拉伸和压缩(3)阶段Ⅲ——强化阶段第二章轴向拉伸和压缩卸载及再加载规律

若在强化阶段卸载，则卸载过程中F－Δl关系为直线。可见在强化阶段中，Δl=Δle+Δlp。

卸载后立即再加载时，F－Δl关系起初基本上仍为直线(cb)，直至当初卸载的荷载——冷作硬化现象。试样重新受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小。第二章轴向拉伸和压缩卸载及再加载规律若在强化阶段卸载，则卸载过程中F－

(4)阶段Ⅳ——局部变形阶段试样上出现局部收缩——颈缩，并导致断裂。

第二章轴向拉伸和压缩(4)阶段Ⅳ——局部变形阶段试样上出现局部收缩低碳钢的应力—应变曲线(s－e曲线)

为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变e，即，其中：A——试样横截面的原面积，l——试样工作段的原长。第二章轴向拉伸和压缩低碳钢的应力—应变曲线(s－e曲线)为消除试件低碳钢

s－e曲线上的特征点：比例极限sp(proportionallimit)

弹性极限se(elasticlimit)屈服极限ss

(屈服的低限)

(yieldlimit)强度极限sb(拉伸强度)(ultimatestrength)Q235钢的主要强度指标：ss=240MPa，sb=390MPa第二章轴向拉伸和压缩低碳钢s－e曲线上的特征点：比例极限sp(proport低碳钢拉伸破坏第二章轴向拉伸和压缩低碳钢拉伸试件低碳钢拉伸破坏第二章轴向拉伸和压缩低碳钢拉伸试件低碳钢拉伸破坏断口第二章轴向拉伸和压缩低碳钢拉伸破坏断口第二章轴向拉伸和压缩低碳钢的塑性指标：

伸长率断面收缩率：A1——断口处最小横截面面积。Q235钢：y≈60%第二章轴向拉伸和压缩Q235钢：

(通常d>5%的材料称为塑性材料)低碳钢的塑性指标：伸长率断面收缩率：A1——断口处最小横Ⅲ.其他金属材料在拉伸时的力学性能

第二章轴向拉伸和压缩Ⅲ.其他金属材料在拉伸时的力学性能第二章轴向拉伸和压缩由s－e曲线可见：第二章轴向拉伸和压缩材料锰钢强铝退火球墨铸铁弹性阶段√√√屈服阶段×××强化阶段√√√局部变形阶段×√√伸长率由s－e曲线可见：第二章轴向拉伸和压缩材料锰钢强铝退火球sp0.2(规定非比例伸长应力，屈服强度)用于无屈服阶段的塑性材料第二章轴向拉伸和压缩sp0.2(规定非比例伸长应力，屈服强度)用于无屈服阶段的塑割线弹性模量

用于基本上无线弹性阶段的脆性材料脆性材料拉伸时的唯一强度指标：

sb←基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力。第二章轴向拉伸和压缩铸铁拉伸时的应力应变曲线割线弹性模量用于基本上无线弹性阶段的脆性材料脆性铸铁拉伸破坏断口第二章轴向拉伸和压缩铸铁拉伸破坏断口第二章轴向拉伸和压缩试验设备：(1)万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。

(2)变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。

压缩试样

圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能)

正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能)

第二章轴向拉伸和压缩§2.6

两种典型材料压缩时的力学性能试验设备：(1)万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗Ⅳ.金属材料在压缩时的力学性能

低碳钢拉、压时的ss基本相同。低碳钢压缩时s-e的曲线第二章轴向拉伸和压缩Ⅳ.金属材料在压缩时的力学性能低碳钢拉、压时的ss基本相低碳钢材料轴向压缩时的试验现象第二章轴向拉伸和压缩低碳钢材料轴向压缩时的试验现象第二章轴向拉伸和压缩低碳钢压缩,

愈压愈扁铸铁压缩,

约45开裂低碳钢压缩,铸铁压缩,铸铁压缩时的sb和d均比拉伸时大得多；不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学行为也只近似符合胡克定律。灰口铸铁压缩时的s－e曲线第二章轴向拉伸和压缩铸铁压缩时的sb和d均比拉伸时大得多；不论拉伸和压

试样沿着与横截面大致成50°－55°的斜截面发生错动而破坏。

材料按在常温(室温)、静荷载(徐加荷载)下由拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料。第二章轴向拉伸和压缩试样沿着与横截面大致成50°－55°的斜截面发生错动铸铁压缩破坏断口：第二章轴向拉伸和压缩铸铁压缩破坏铸铁压缩破坏断口：第二章轴向拉伸和压缩铸铁压缩破坏Ⅴ.几种非金属材料的力学性能

(1)混凝土压缩时的力学性能

使用标准立方体试块测定端面润滑时的破坏形式端面未润滑时的破坏形式第二章轴向拉伸和压缩Ⅴ.几种非金属材料的力学性能(1)混凝土压缩时的力学

压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关。以s－e曲线上s=0.4sb的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。

混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如C20混凝土是指经28天养护后立方体强度不低于20MPa的混凝土。压缩强度远大于拉伸强度。第二章轴向拉伸和压缩压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关。以s－e曲

木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为木材是正交各向异性材料。

松木在顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的s－e曲线如图。(2)

木材拉伸和压缩时的力学性能

木材的横纹拉伸强度很低(图中未示)，工程中也避免木材横纹受拉。木材的顺纹拉伸强度受木节等缺陷的影响大。第二章轴向拉伸和压缩木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材(3)玻璃钢（玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料）

纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的s－e曲线如图中(c)，纤维增强复合材料所用的纤维尚有碳纤维、硼纤维等。第二章轴向拉伸和压缩(3)玻璃钢（玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料）§2.8

应力集中的概念应力集中（stressconcentration）：由于杆件横截面骤然变化而引起的应力局部骤然增大。第二章轴向拉伸和压缩§2.8应力集中的概念应力集中（stressconcen

按线弹性理论或相应的数值方法得出的最大局部应力smax与该截面上名义应力snom之比，即理论应力集中因数：

其中Kts的下标ts表示是对应于正应力的理论应力集中因数。名义应力snom为截面突变的横截面上smax作用点处按不考虑应力集中时得出的应力(对于轴向拉压的情况即为横截面上的平均应力)。具有小孔的均匀受拉平板，Kts≈3。第二章轴向拉伸和压缩按线弹性理论或相应的数值方法得出的最大局部应力sma应力集中对强度的影响塑性材料制成的杆件受静荷载情况下：荷载增大进入弹塑性极限荷载第二章轴向拉伸和压缩应力集中对强度的影响塑性材料制成的杆件受静荷载情况下：荷载增

均匀的脆性材料或塑性差的材料(如高强度钢)制成的杆件即使受静荷载时也要考虑应力集中的影响。

非均匀的脆性材料，如铸铁，其本身就因存在气孔等引起应力集中的内部因素，故可不考虑外部因素引起的应力集中。

塑性材料制成的杆件受静荷载时，通常可不考虑应力集中的影响。第二章

完第二章轴向拉伸和压缩均匀的脆性材料或塑性差的材料(如高强度钢)制成的杆件第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题§2.1

轴力和轴力图§2.2

轴向载荷作用下杆件横截面上的应力§2.3

简单的强度问题§2.4

轴向载荷作用下的变形计算

§2.5

两种典型材料拉伸时的力学性能§2.6两种典型材料压缩时的力学性能

§2.7

结论与讨论第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题§2.1轴力和轴力§2.1

轴力与轴力图第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题

工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合，这种载荷称为轴向载荷。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。屋架结构简图§2.1轴力与轴力图第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问桁架的示意图受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆（未考虑端部连接情况）第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题桁架的示意图受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆（未考虑

截面法、轴力及轴力图FN=F（1）假想地截开指定截面；（2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；（3）根据分离体的平衡求出内力值。步骤：第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题截面法、轴力及轴力图FN=F（1）假想地截开指定截面；（2

横截面m－m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直于横截面并通过其形心)——轴力。无论取横截面m－m的左边或右边为分离体均可。轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定:

当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向截面产生缩短变形为负。轴力背离截面FN=+F第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题横截面m－m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直

用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。轴力指向截面FN=-F第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上

轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。F(c)F(f)第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关例题2-1

试作此杆的轴力图。等直杆的受力示意图(a)第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题例题2-1试作此杆的轴力图。等直杆的受力示意图(a)第二章为求轴力方便，先求出约束力FR=10kN为方便，取横截面1－1左边为分离体，假设轴力为拉力，得FN1=10kN(拉力)解：第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题为求轴力方便，先求出约束力FR=10kN为方便，取横为方便取截面3－3右边为分离体，假设轴力为拉力。FN2=50kN(拉力)FN3=-5kN（压力），同理，FN4=20kN(拉力)第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题为方便取截面3－3右边为分离体，假设轴力为拉力。FN2=50轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。第二章轴向载荷§2.2

轴向载荷作用下杆件横截面上的应力Ⅰ.应力的概念

受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布内力的平均集度即平均应力，，其方向和大小一般而言，随所取ΔA的大小而不同。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题§2.2轴向载荷作用下杆件横截面上的应力Ⅰ.应力的概念

该截面上M点处分布内力的集度为，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题该截面上M点处分布内力的集度为总应力法向分量正应力s某一截面上法向分布内力在某一点处的集度切向分量切应力t某一截面上切向分布内力在某一点处的集度应力单位：Pa(1Pa=1N/m2，1MPa=106Pa)。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题总应力法向分量正应力s某一截面上法向分布内力在某一点处的集Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力(1)与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关；

(2)

s在横截面上的变化规律横截面上各点处s相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力FN。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力(1)与轴力相应的只可能为此：

1.观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。

2.设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平截面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题为此：1.观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(3.推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力s

都相等。4.等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题3.推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面注意：

1.

上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。

2.

即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题注意：1.上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于

例题2-2

试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F=50kN。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题例题2-2试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的Ⅱ段柱横截面上的正应力所以，最大工作应力为smax=s2=-1.1MPa

(压应力）解：Ⅰ段柱横截面上的正应力(压应力)(压应力)第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题Ⅱ段柱横截面上的正应力所以，最大工作应力为smax=s2§2.3

最简单的强度问题（强度条件·安全因数·许用应力）

以上分析了轴向载荷作用下杆件横截面上的应力，在计算出拉压杆横截面上的正应力后，可能有以下几方面的问题：

（1）在给定载荷和材料的情形下，怎样判断结构能否安全可靠的工作？（2）如果材料是未知的，在所得到的应力水平下，构件选用什么材料，才能保证结构可以安全可靠地工作？（3）如果载荷是未知的，在给定杆件截面尺寸和材料的情形下，怎样确定结构所能承受的最大载荷？这些问题都是强度设计所涉及的内容。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题§2.3最简单的强度问题以上分析了轴向载荷作Ⅰ.拉(压)杆的强度条件

强度条件——保证拉(压)杆在使用寿命内不发生强度破坏的条件：

其中：smax——拉(压)杆的最大工作应力，

[s]——材料拉伸(压缩)时的许用应力。第二章轴向拉伸和压缩Ⅰ.拉(压)杆的强度条件强度条件——保证拉(压)杆Ⅱ.

材料的拉、压许用应力塑性材料：脆性材料：许用拉应力其中，ns——对应于屈服极限的安全因数.其中，nb——对应于拉、压强度的安全因数.第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题Ⅱ.材料的拉、压许用应力塑性材料：Ⅲ.

关于安全因数的考虑

(1)

考虑强度条件中一些量的变异。如极限应力(ss，sp0.2，sb，sbc)的变异，构件横截面尺寸的变异，荷载的变异，以及计算简图与实际结构的差异。

(2)

考虑强度储备。计及使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。安全因数的大致范围：静荷载下，第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题Ⅲ.关于安全因数的考虑(1)考虑强度条件中一些量的常用材料的许用应力约值

(适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆）

材料名称

牌号

许用应力/MPa低碳钢低合金钢灰口铸铁混凝土混凝土红松（顺纹）Q23516MnC20C3017023034－540.440.66.4170230160－200710.310轴向拉伸轴向压缩第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题常用材料的许用应力约值

(适用于常温、静荷载和一般工作条件下Ⅳ.强度计算的三种类型

(2)

截面选择已知拉(压)杆材料及所受荷载，按强度条件求杆件横截面面积或尺寸。

(3)

计算许可荷载已知拉(压)杆材料和横截面尺寸，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可荷载。FN,max=A[s]

，由FN,max计算相应的荷载。

(1)

强度校核已知拉(压)杆材料、横截面尺寸及所受荷载，检验能否满足强度条件对于等截面直杆即为第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题Ⅳ.强度计算的三种类型(2)截面选择已知拉(

例题2-3

试选择计算简图如图中(a)所示桁架的钢拉杆DI的直径d。已知：F=16kN，[s]=120MPa。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题例题2-3试选择计算简图如图中(a)所示桁架的钢拉2.

求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径由于圆钢的最小直径为10mm，故钢拉杆DI采用f10圆钢。解:1.由图中(b)所示分离体的平衡方程得第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题2.求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径由于圆钢的最小直径

例题2-4图中(a)所示三角架(计算简图)，杆AC由两根80mm80mm7mm等边角钢组成，杆AB由两根10号工字钢组成。两种型钢的材料均为Q235钢，[s]=170MPa。试求许可荷载[F]。第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题例题2-4图中(a)所示三角架(计算简图)，杆A解

:1.根据结点A的受力图(图b)，得平衡方程：(拉)（压）解得第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题解:1.根据结点A的受力图(图b)，得平衡方程：2.计算各杆的许可轴力

先由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积，再乘以2得由强度条件得各杆的许可轴力：杆AC的横截面面积杆AB的横截面面积第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题2.计算各杆的许可轴力先由型钢表查出相应3.

求三角架的许可荷载先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可荷载：

此例题中给出的许用应力[s]=170MPa是关于强度的许用应力；对于受压杆AB实际上还需考虑其稳定性，此时的许用应力将小于强度许用应力。该三角架的许可荷载应是[F1]和[F2]中的小者，所以第二章轴向载荷作用下杆件的材料力学问题3.求三角架的许可荷载先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可§2.4

轴向载荷作用下的变形计算·胡克定律

拉(压)杆的纵向变形

基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：

纵向总变形Δl=l1-l

（反映绝对变形量）

纵向线应变（反映变形程度）

第二章轴向拉伸和压缩§2.4轴向载荷作用下的变形计算·胡克定律拉(压)杆的引进比例常数E，且注意到F=FN，有

胡克定律(Hooke’slaw),适用于拉(压)杆。

式中：E称为弹性模量(modulusofelasticity)，由实验测定，其单位为Pa；EA——

杆的拉伸(压缩)刚度。胡克定律(Hooke’slaw)

工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力第二章轴向拉伸和压缩引进比例常数E，且注意到F=FN，有胡克定律(Ho胡克定律的另一表达形式：

←单轴应力状态下的胡克定律

第二章轴向拉伸和压缩低碳钢(Q235)：

胡克定律的另一表达形式：←单轴应力状态下的胡克定律第二章低碳钢(Q235)：n=0.24~0.28。

亦即

横向变形因数(泊松比)(Poisson’sratio)

单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，某一方向的线应变e与和该方向垂直的方向(横向)的线应变e'的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或泊松比(Poisson’sratio)：第二章轴向拉伸和压缩低碳钢(Q235)：n=0.24~0.28。亦即横向§2.5

两种典型材料拉伸时的力学性能Ⅰ.材料的拉伸和压缩试验

拉伸试样

圆截面试样：l=10d或l=5d(工作段长度称为标距)。

矩形截面试样：或。

第二章轴向拉伸和压缩§2.5两种典型材料拉伸时的力学性能Ⅰ.材料的拉伸和压实验装置（万能试验机）第二章轴向拉伸和压缩实验装置（万能试验机）第二章轴向拉伸和压缩Ⅱ.低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能

拉伸图

纵坐标——试样的抗力F(通常称为荷载)

横坐标——试样工作段的伸长量第二章轴向拉伸和压缩Ⅱ.低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能拉伸图低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：

(1)阶段Ⅰ——弹性阶段变形完全是弹性的，且Δl与F成线性关系，即此时材料的

力学行为符合胡克定律。第二章轴向拉伸和压缩低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：(1)阶段

(2)阶段Ⅱ——屈服阶段

在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。

此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45°的滑移线(，当α=±45°时τa的绝对值最大)。第二章轴向拉伸和压缩(2)阶段Ⅱ——屈服阶段在此阶段伸长变形急剧(3)阶段Ⅲ——强化阶段

第二章轴向拉伸和压缩(3)阶段Ⅲ——强化阶段第二章轴向拉伸和压缩卸载及再加载规律

若在强化阶段卸载，则卸载过程中F－Δl关系为直线。可见在强化阶段中，Δl=Δle+Δlp。

卸载后立即再加载时，F－Δl关系起初基本上仍为直线(cb)，直至当初卸载的荷载——冷作硬化现象。试样重新受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小。第二章轴向拉伸和压缩卸载及再加载规律若在强化阶段卸载，则卸载过程中F－

(4)阶段Ⅳ——局部变形阶段试样上出现局部收缩——颈缩，并导致断裂。

第二章轴向拉伸和压缩(4)阶段Ⅳ——局部变形阶段试样上出现局部收缩低碳钢的应力—应变曲线(s－e曲线)

为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变e，即，其中：A——试样横截面的原面积，l——试样工作段的原长。第二章轴向拉伸和压缩低碳钢的应力—应变曲线(s－e曲线)为消除试件低碳钢

s－e曲线上的特征点：比例极限sp(proportionallimit)

弹性极限se(elasticlimit)屈服极限ss

(屈服的低限)

(yieldlimit)强度极限sb(拉伸强度)(ultimatestrength)Q235钢的主要强度指标：ss=240MPa，sb=390MPa第二章轴向拉伸和压缩低碳钢s－e曲线上的特征点：比例极限sp(proport低碳钢拉伸破坏第二章轴向拉伸和压缩低碳钢拉伸试件低碳钢拉伸破坏第二章轴向拉伸和压缩低碳钢拉伸试件低碳钢拉伸破坏断口第二章轴向拉伸和压缩低碳钢拉伸破坏断口第二章轴向拉伸和压缩低碳钢的塑性指标：

伸长率断面收缩率：A1——断口处最小横截面面积。Q235钢：y≈60%第二章轴向拉伸和压缩Q235钢：

(通常d>5%的材料称为塑性材料)低碳钢的塑性指标：伸长率断面收缩率：A1——断口处最小横Ⅲ.其他金属材料在拉伸时的力学性能

第二章轴向拉伸和压缩Ⅲ.其他金属材料在拉伸时的力学性能第二章轴向拉伸和压缩由s－e曲线可见：第二章轴向拉伸和压缩材料锰钢强铝退火球墨铸铁弹性阶段√√√屈服阶段×××强化阶段√√√局部变形阶段×√√伸长率由s－e曲线可见：第二章轴向拉伸和压缩材料锰钢强铝退火球sp0.2(规定非比例伸长应力，屈服强度)用于无屈服阶段的塑性材料第二章轴向拉伸和压缩sp0.2(规定非比例伸长应力，屈服强度)用于无屈服阶段的塑割线弹性模量

用于基本上无线弹性阶段的脆性材料脆性材料拉伸时的唯一强度指标：

sb←基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力。第二章轴向拉伸和压缩铸铁拉伸时的应力应变曲线割线弹性模量用于基本上无线弹性阶段的脆性材料脆性铸铁拉伸破坏断口第二章轴向拉伸和压缩铸铁拉伸破坏断口第二