材料力学 第五章 应力状态分析课件

应力状态分析第5章Friday,November11,2022清华大学范钦珊应力状态分析第5章Thursday,November1

应力状态的概念及其描述

平面应力状态的坐标变换

应力圆

主应力、主方向、最大切应力

三向应力状态特例分析

广义胡克定律，应变比能

重要应用实例

结论与讨论第5章

应力状态分析应力状态的概念及其描述第5章应力状态分析2

应力状态的概念及其描述应力状态的概念31、问题的提出

应力状态的概念及其描述2、应力的三个重要概念3、一点应力状态的描述1、问题的提出应力状态的概念及其描述2、应力41、问题的提出请看下面几段动画：

低碳钢和铸铁的拉伸实验

低碳钢和铸铁的扭转实验

应力状态的概念及其描述1、问题的提出请看下面几段动画：低碳钢和铸铁的拉伸实5低碳钢?韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁

应力状态的概念及其描述低碳钢?韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁6?为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁

应力状态的概念及其描述?为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁7拉中有切根据微元的局部平衡

应力状态的概念及其描述拉中有切根据微元的局部平衡应力状态的概8切中有拉根据微元的局部平衡

应力状态的概念及其描述切中有拉根据微元的局部平衡应力状态的概9重要结论不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。

应力状态的概念及其描述重要结论不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；102、应力的三个重要概念应力的点的概念;应力的面的概念;应力状态的概念.

应力状态的概念及其描述2、应力的三个重要概念应力的点的概念;应力状11

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。FNxFQ

应力状态的概念及其描述横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同12

微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。

应力状态的概念及其描述微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也13

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明

应力状态的概念及其描述过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态143、一点应力状态的描述

微元

（Element）各边边长,,dxdydz

微元及其各面上的应力

应力状态的概念及其描述3、一点应力状态的描述微元

（Element）各边边长15(Three-Dimensional

State

of

Stresses)三向（空间）应力状态yxz

应力状态的概念及其描述(Three-DimensionalStateof16(

Plane

State

of

Stresses)平面（二向）应力状态xy

应力状态的概念及其描述(PlaneStateofStresses)平17xyxy单向应力状态(OneDimensionalStateofStresses)纯剪应力状态

(ShearingStateofStresses)

应力状态的概念及其描述xyxy单向应力状态纯剪应力状态

(ShearingSt18三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例

应力状态的概念及其描述三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例19示例一：FPl/2l/2S平面

应力状态的概念及其描述示例一：FPl/2l/2S平面应力状态的概念205432154321123S平面

应力状态的概念及其描述示例一5432154321123S平面应力状态的概21示例二FPlaS

应力状态的概念及其描述示例二FPlaS应力状态的概念及其描述22xzy4321S平面示例二

应力状态的概念及其描述xzy4321S平面示例二应力状态的概念及其23yxzMzFQyMx4321143示例二

应力状态的概念及其描述yxzMzFQyMx4321143示例二应力24

平面应力状态的坐标变换平面应力状态的25

平面应力状态的坐标变换

正负号规则

平衡原理的应用—

微元局部的平衡方程

应力变换矩阵平面应力状态的坐标变换正负号规则平衡26

平面应力状态的坐标变换

正负号规则平面应力状态的坐标变换正负号规则27正应力

拉为正压为负正负号规则

平面应力状态的坐标变换正负号规则正应力

拉为正压为负正平面应力状态的28切应力使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。正负号规则

平面应力状态的坐标变换

正负号规则切应力使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。29q角

由

x正向反时针转到x'正向者为正；反之为负。yxq正负号规则

平面应力状态的坐标变换

正负号规则q角由x正向反时针转到x'正向者为正；反之为30

平衡原理的应用—

微元局部的平衡方程

平面应力状态的坐标变换平衡原理的应用—

微元局部的平衡方程平31

平衡对象微元局部的平衡方程

平衡方程——tyx

参加平衡的量dAqx´y´——用

斜截面截取的微元局部——应力乘以其作用的面积

平面应力状态的坐标变换平衡原理的应用平衡对象微元局部的平衡方程平衡方程——tyx32qqs-cos)cos(dAx-sqqydA(sin)sintyxdAq

dAx´+tqqdA(cos)sinxy+tqqdA(sin)cosyxx´dAq

平面应力状态的坐标变换平衡原理的应用qqs-cos)cos(dAx-sqqydA(sin)sin33-tx´y´dA+sqqxdA(cos)sin+tqqxydA(cos)cos-sqqydA(sin)cos-tqqyxdA(sin)sintyxdAqｙdAq

平面应力状态的坐标变换平衡原理的应用-tx´y´dA+sqqxdA(cos)sin+tqqx34用

斜截面截取x´y´

平面应力状态的坐标变换平衡原理的应用用斜截面截取x´y´平面应力35最后，得到以下四个方程：

平面应力状态的坐标变换平衡原理的应用最后，得到以下四个方程：平面应力状态的坐标变换平衡36

平面应力状态的坐标变换应力变换矩阵平面应力状态的坐标变换应力变换矩阵37

应力变换矩阵将上式写成矩阵形式其中xy=yx,x´y´=y´x´

平面应力状态的坐标变换应力变换矩阵将上式写成矩阵形式其中xy=y38

矩阵[T]称为“变换矩阵”（Transformation

Matrix)；[T]T

为[T]的转置矩阵。令

应力变换矩阵

平面应力状态的坐标变换矩阵[T]称为“变换矩阵”（Transf39上述结果表明，一点的应力状态，在不同的坐标系中有不同的表现形式，但它们之间是可以转换的。这种转换称之为“应力的坐标变换”，简称为“应力变换”（TransformationofStresses）。

应力变换矩阵

平面应力状态的坐标变换上述结果表明，一点的应力状态，在不同的坐标系中有不同的表40x-y坐标系x´-y´坐标系xp-yp坐标系应力变换的实质——同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：

应力变换矩阵

平面应力状态的坐标变换x-y坐标系x´-y´坐标系xp-yp坐标系应力变换的实质—41

应力圆应力圆42

应力圆方程

应力圆

几种对应关系

应力圆的画法

应力圆的应用应力圆方程应力圆几种对应关系应力圆的画法43

应力圆

应力圆方程应力圆应力圆方程44

应力圆

应力圆方程利用三角恒等式，可以将前面所得的关于sx´

和tx´y

´的方程写成应力圆应力圆方程利用三角恒等式，可以将前面45Rc

应力圆应力圆方程Rc应力圆应力圆方程46

应力圆几种对应关系应力圆几种对应关系47

应力圆几种对应关系二倍角对应——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；应力圆几种对应关系二倍角对应——半径转过的角度是48点面对应caA

应力圆几种对应关系点面对应caA应力圆几种对应关系49C转向对应、二倍角对应yxq2qaAAa''

应力圆几种对应关系C转向对应、二倍角对应yxq2qaAAa''应力圆50点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。

应力圆几种对应关系点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的51

应力圆应力圆的画法应力圆应力圆的画法52应力圆的画法

在tx‘-sx’坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上应力对应的点a和d

连ad交

sx‘

轴于c点，c即为圆心，cd或ca为应力圆半径ADa(sx,txy)d(sy,tyx)cR

应力圆应力圆的画法在tx‘-sx’坐标系53ADa(sx,txy)d(sy,tyx)c应力圆的画法

应力圆ADa(sx,txy)d(sy,tyx)c应力圆的画54

应力圆

应力圆的应用应力圆应力圆的应用55应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。

应力圆应力圆的应用应用过程中，应当将应力圆应力圆应力圆的应56sxsxADtx'y'sx'odacx'yy'45ºx2×45º2×45ºbeBE

应力圆应力圆的应用sxsxADtx'y'sx'odacx'yy'45ºx2×457x'y'BEsxsxsx'tx'y'ty'x'sy'BE

应力圆应力圆的应用x'y'BEsxsxsx'tx'y'ty'x'sy'BE58

轴向拉伸时45º方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。sxsxBE

应力圆应力圆的应用轴向拉伸时45º方向面既有sxsxBE应力圆59ttotx'y'sx'a(0,t)d(0,-t)ADbec2×45º2×45ºsy'＝tsx'＝tBE

应力圆应力圆的应用ttotx'y'sx'a(0,t)d(0,-t)ADb60sx'＝tsy'＝tBEttBE

应力圆应力圆的应用sx'＝tsy'＝tBEttBE应力圆应力圆的应61

纯剪应力状态下，45º方向面上只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值。ttBE

应力圆应力圆的应用纯剪应力状态下，45º方向ttBE应力圆应力62主应力、主方向、最大切应力主应力、主方向、63

主方向

主应力、主方向、最大切应力面内最大切应力

主平面与主应力主方向主应力、主方向、最大切应力面内最大切64

主平面与主应力

主应力、主方向、最大切应力主平面与主应力主应力、主方向、最大切应力65主平面与主方向txysxsytyxtx'y'sx'oc2qpadAD主平面（PrincipalPlane）：t

=0,与应力圆上和横轴交点对应的面

主应力、主方向、最大切应力

主平面与主应力主平面与主方向txysxsytyxtx'y'sx'oc2qp66tx'y'sx'otx'y'sx'o主应力主应力（PrincipalStresses）：主平面上的正应力

主应力、主方向、最大切应力

主平面与主应力tx'y'sx'otx'y'sx'o主应力主应力（Pri67(主平面定义)主应力表达式

主应力排序：s1s2

s3tx'y'sx'oc2qpad

主应力、主方向、最大切应力

主平面与主应力(主平面定义)主应力表达式主应力排序：s1s268

主方向

主应力、主方向、最大切应力主方向主应力、主方向、最大切应力69

主方向（DirectionofPrincipalStresses)：

负号表示顺时转向

主应力、主方向、

最大切应力

主方向主方向（DirectionofPrincipalSt70

面内最大切应力

主应力、主方向、最大切应力面内最大切应力主应力、主方向、最大切应力71

对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“面内最大切应力”

（MaximumShearingStressinPlane）

。tx'y'sx'otmaxc

主应力、主方向、

最大切应力

面内最大切应力对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“面内最72

三向应力状态特例分析三向应力状态73

定义

三向应力状态的应力圆

平面应力状态作为三向应力状态的特例

三向应力状态特例分析定义三向应力状态特例分析74

定义

三向应力状态特例分析定义三向应力状态特例分析75

三向应力状态—三个主应力都不为零的应力状态；

特例

—三个主应力中至少有一个是已知的(包括大小和方向)。据此，平面应力状态即为三向应力状态的特例。

定义

三向应力状态特例分析三向应力状态—三个主应力都不为零的应力状态；定义76szsxsytxytyx至少有一个主应力及其主方向已知sytxytyxsxsz三向应力状态特例的一般情形

定义

三向应力状态特例分析szsxsytxytyx至少有一个主应力及其主方向已知syt77s1s2s3

三向应力状态的应力圆

三向应力状态特例分析s1s2s3三向应力状态三向应力状态特例分析78txysxIIIIII平行于s1的方向面－其上之应力与s1无关，于是由s2、s3可作出应力圆Is3s2s1I平行于s2的方向面－其上之应力与s2无关，于是由s1、s3可作出应力圆IIIIs2s1

s3平行于s3的方向面－其上之应力与s3无关，于是由s1、s2可作出应力圆IIIs3IIIs2s1

三向应力状态的应力圆

三向应力状态特例分析txysxIIIIII平行于s1的方向面－其上之应力79zpypxpIIIIIIs1s2s3'sxtx't't'''t''tmax=s1s2s3s2s1s2s3s1s3s2s1s2s3s1s3s1s3s2s3s2s1

三向应力状态的应力圆

三向应力状态特例分析zpypxpIIIIIIs1s2s3'sxtx't't'''80在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：

三向应力状态的应力圆

三向应力状态特例分析在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：三81

一点处应力状态中的最大切应力只是、、中最大者，即:

三向应力状态的应力圆

三向应力状态特例分析一点处应力状态中的最大切应力只是、、8220030050otmax

平面应力状态作为三向应力状态的特例

三向应力状态特例分析20030050otmax平面应力状态作为三83O2005030050

平面应力状态作为三向应力状态的特例

三向应力状态特例分析O2005030050平面应力状态作为三向应84O30050

平面应力状态作为三向应力状态的特例

三向应力状态特例分析O30050平面应力状态作为三向应力状态特85(1)(2)排序确定(3)作为三向应力状态的特例平面应力状态特点

平面应力状态作为三向应力状态的特例

三向应力状态特例分析(1)(2)排序确定(3)作为三向应力状态的特例平面应力状态86

广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，87

各向同性材料的

广义胡克定律

广义胡克定律，应变能密度

应变能密度各向同性材料的广义胡克定律，应变能密度应变88

各向同性材料的

广义胡克定律

广义胡克定律，应变能密度各向同性材料的广义胡克定律，应变能密度891、横向变形与泊松比--泊松比yx各向同性材料的广义胡克定律

广义胡克定律，应变能密度1、横向变形与泊松比--泊松比yx各向同性材料的902、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法各向同性材料的广义胡克定律

广义胡克定律，应变能密度2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法各向同性材料的91yzx各向同性材料的广义胡克定律

广义胡克定律，应变能密度yzx各向同性材料的广义胡克定律，应变能密度923、三个弹性常数之间的关系各向同性材料的广义胡克定律

广义胡克定律，应变能密度3、三个弹性常数之间的关系各向同性材料的广义胡93应变能密度

广义胡克定律，应变能密度应变能密度广义胡克定律，应变能密度941、微元应变能(StrainEnergy)dydxdz

应变能密度

广义胡克定律，应变能密度1、微元应变能(StrainEnergy)dydxdz95dW=

应变能密度

广义胡克定律，应变能密度dW=应变能密度广义胡克定律，应变能密度962、应变能密度(Strain-EnergyDensity)

应变能密度

广义胡克定律，应变能密度2、应变能密度(Strain-EnergyDensity)973、体积改变能密度与形状改变能密度+令

应变能密度

广义胡克定律，应变能密度3、体积改变能密度与形状改变能密度+令应变能密度98:Strain-EnergyDensityCorrespondingtotheDistortion:Strain-EnergyDensityCorrespondingtotheChangeofVolume

应变能密度

广义胡克定律，应变能密度:Strain-EnergyDensityCorre99

应变能密度

广义胡克定律，应变能密度应变能密度广义胡克定律，应变能密度100

重要应用实例承受内压薄壁容器任意点的应力状态重要应用实例承受内压薄壁容器任意点的应力状态101plpDlmstsＤ)Dp(msmmpD2４t

(2

l)ttpＤ

重要应用实例plpDlmstsＤ)Dp(msmmpD2４102Ｄmmpd2４)Dp(ms

重要应用实例Ｄmmpd2４)Dp(ms重要应用实例103ppDlt

(2l)tt

重要应用实例ppDlt(2l)tt重要应用实例104

重要应用实例lmsts重要应用实例lmsts105结论与讨论结论与讨论1061、关于应力和应力状态的几点重要结论

应力的点的概念;应力的面的概念;应力状态的概念.变形体力学基础

结论与讨论1、关于应力和应力状态的几点重要结论应力的点的概念;变107

怎样证明A－A截面上各点的应力状态不会完全相同。2、平衡方法是分析一点处应力状态最重要、最基本的方法AA

结论与讨论

论证A－A截面上必然存在切应力，而且是非均匀分布的；怎样证明A－A截2、平衡方法是分析一点处应力状态最重要108关于A点的应力状态有多种答案、请用平衡的概念分析哪一种是正确的AA

结论与讨论关于A点的应力状态有多种答案、请用AA结论与1093、怎样将应力圆作为一种分析问题的重要手段，求解较为复杂的应力状态问题ＣA2s√３sB2s√３s怎样确定C点处的主应力

结论与讨论3、怎样将应力圆作为一种分析问题的重要手段，求解较为复杂的应1104、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要请分析图示

4种应力状态中，哪几种是等价的t0t0t0t0t0t045ｏt0t045ｏ

结论与讨论4、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要1115、注意区分面内最大切应力与所有方向面中的最大切应力－一点处的最大切应力231s-smax=t

结论与讨论5、注意区分面内最大切应力与所有方向面中的最大切应力－一点处1126、正确应用广义胡克定律－某一方向的正应变不仅与这一方向的正应力有关承受内压的容器，怎样从表面一点处某一方向的正应变推知其所受之内压，或间接测试其壁厚.ε45o

结论与讨论6、正确应用广义胡克定律－某一方向的正应变不仅与这一方向的正113本章作业第一次5－1ａ，5－3，5－4第二次5－2ｃ，5－5，5－7ａ第三次5－9，5－14，5－15本章作业第一次5－1ａ，5－3，114谢

谢

大

家

！谢谢大家

！返回主目录返回本章第一页谢谢大家！谢谢大家！返回主目录115应力状态分析第5章Friday,November11,2022清华大学范钦珊应力状态分析第5章Thursday,November116

应力状态的概念及其描述

平面应力状态的坐标变换

应力圆

主应力、主方向、最大切应力

三向应力状态特例分析

广义胡克定律，应变比能

重要应用实例

结论与讨论第5章

应力状态分析应力状态的概念及其描述第5章应力状态分析117

应力状态的概念及其描述应力状态的概念1181、问题的提出

应力状态的概念及其描述2、应力的三个重要概念3、一点应力状态的描述1、问题的提出应力状态的概念及其描述2、应力1191、问题的提出请看下面几段动画：

低碳钢和铸铁的拉伸实验

低碳钢和铸铁的扭转实验

应力状态的概念及其描述1、问题的提出请看下面几段动画：低碳钢和铸铁的拉伸实120低碳钢?韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁

应力状态的概念及其描述低碳钢?韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁121?为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁

应力状态的概念及其描述?为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁122拉中有切根据微元的局部平衡

应力状态的概念及其描述拉中有切根据微元的局部平衡应力状态的概123切中有拉根据微元的局部平衡

应力状态的概念及其描述切中有拉根据微元的局部平衡应力状态的概124重要结论不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。

应力状态的概念及其描述重要结论不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；1252、应力的三个重要概念应力的点的概念;应力的面的概念;应力状态的概念.

应力状态的概念及其描述2、应力的三个重要概念应力的点的概念;应力状126

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。FNxFQ

应力状态的概念及其描述横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同127

微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。

应力状态的概念及其描述微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也128

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明

应力状态的概念及其描述过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态1293、一点应力状态的描述

微元

（Element）各边边长,,dxdydz

微元及其各面上的应力

应力状态的概念及其描述3、一点应力状态的描述微元

（Element）各边边长130(Three-Dimensional

State

of

Stresses)三向（空间）应力状态yxz

应力状态的概念及其描述(Three-DimensionalStateof131(

Plane

State

of

Stresses)平面（二向）应力状态xy

应力状态的概念及其描述(PlaneStateofStresses)平132xyxy单向应力状态(OneDimensionalStateofStresses)纯剪应力状态

(ShearingStateofStresses)

应力状态的概念及其描述xyxy单向应力状态纯剪应力状态

(ShearingSt133三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例

应力状态的概念及其描述三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例134示例一：FPl/2l/2S平面

应力状态的概念及其描述示例一：FPl/2l/2S平面应力状态的概念1355432154321123S平面

应力状态的概念及其描述示例一5432154321123S平面应力状态的概136示例二FPlaS

应力状态的概念及其描述示例二FPlaS应力状态的概念及其描述137xzy4321S平面示例二

应力状态的概念及其描述xzy4321S平面示例二应力状态的概念及其138yxzMzFQyMx4321143示例二

应力状态的概念及其描述yxzMzFQyMx4321143示例二应力139

平面应力状态的坐标变换平面应力状态的140

平面应力状态的坐标变换

正负号规则

平衡原理的应用—

微元局部的平衡方程

应力变换矩阵平面应力状态的坐标变换正负号规则平衡141

平面应力状态的坐标变换

正负号规则平面应力状态的坐标变换正负号规则142正应力

拉为正压为负正负号规则

平面应力状态的坐标变换正负号规则正应力

拉为正压为负正平面应力状态的143切应力使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。正负号规则

平面应力状态的坐标变换

正负号规则切应力使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。144q角

由

x正向反时针转到x'正向者为正；反之为负。yxq正负号规则

平面应力状态的坐标变换

正负号规则q角由x正向反时针转到x'正向者为正；反之为145

平衡原理的应用—

微元局部的平衡方程

平面应力状态的坐标变换平衡原理的应用—

微元局部的平衡方程平146

平衡对象微元局部的平衡方程

平衡方程——tyx

参加平衡的量dAqx´y´——用

斜截面截取的微元局部——应力乘以其作用的面积

平面应力状态的坐标变换平衡原理的应用平衡对象微元局部的平衡方程平衡方程——tyx147qqs-cos)cos(dAx-sqqydA(sin)sintyxdAq

dAx´+tqqdA(cos)sinxy+tqqdA(sin)cosyxx´dAq

平面应力状态的坐标变换平衡原理的应用qqs-cos)cos(dAx-sqqydA(sin)sin148-tx´y´dA+sqqxdA(cos)sin+tqqxydA(cos)cos-sqqydA(sin)cos-tqqyxdA(sin)sintyxdAqｙdAq

平面应力状态的坐标变换平衡原理的应用-tx´y´dA+sqqxdA(cos)sin+tqqx149用

斜截面截取x´y´

平面应力状态的坐标变换平衡原理的应用用斜截面截取x´y´平面应力150最后，得到以下四个方程：

平面应力状态的坐标变换平衡原理的应用最后，得到以下四个方程：平面应力状态的坐标变换平衡151

平面应力状态的坐标变换应力变换矩阵平面应力状态的坐标变换应力变换矩阵152

应力变换矩阵将上式写成矩阵形式其中xy=yx,x´y´=y´x´

平面应力状态的坐标变换应力变换矩阵将上式写成矩阵形式其中xy=y153

矩阵[T]称为“变换矩阵”（Transformation

Matrix)；[T]T

为[T]的转置矩阵。令

应力变换矩阵

平面应力状态的坐标变换矩阵[T]称为“变换矩阵”（Transf154上述结果表明，一点的应力状态，在不同的坐标系中有不同的表现形式，但它们之间是可以转换的。这种转换称之为“应力的坐标变换”，简称为“应力变换”（TransformationofStresses）。

应力变换矩阵

平面应力状态的坐标变换上述结果表明，一点的应力状态，在不同的坐标系中有不同的表155x-y坐标系x´-y´坐标系xp-yp坐标系应力变换的实质——同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：

应力变换矩阵

平面应力状态的坐标变换x-y坐标系x´-y´坐标系xp-yp坐标系应力变换的实质—156

应力圆应力圆157

应力圆方程

应力圆

几种对应关系

应力圆的画法

应力圆的应用应力圆方程应力圆几种对应关系应力圆的画法158

应力圆

应力圆方程应力圆应力圆方程159

应力圆

应力圆方程利用三角恒等式，可以将前面所得的关于sx´

和tx´y

´的方程写成应力圆应力圆方程利用三角恒等式，可以将前面160Rc

应力圆应力圆方程Rc应力圆应力圆方程161

应力圆几种对应关系应力圆几种对应关系162

应力圆几种对应关系二倍角对应——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；应力圆几种对应关系二倍角对应——半径转过的角度是163点面对应caA

应力圆几种对应关系点面对应caA应力圆几种对应关系164C转向对应、二倍角对应yxq2qaAAa''

应力圆几种对应关系C转向对应、二倍角对应yxq2qaAAa''应力圆165点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。

应力圆几种对应关系点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的166

应力圆应力圆的画法应力圆应力圆的画法167应力圆的画法

在tx‘-sx’坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上应力对应的点a和d

连ad交

sx‘

轴于c点，c即为圆心，cd或ca为应力圆半径ADa(sx,txy)d(sy,tyx)cR

应力圆应力圆的画法在tx‘-sx’坐标系168ADa(sx,txy)d(sy,tyx)c应力圆的画法

应力圆ADa(sx,txy)d(sy,tyx)c应力圆的画169

应力圆

应力圆的应用应力圆应力圆的应用170应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。

应力圆应力圆的应用应用过程中，应当将应力圆应力圆应力圆的应171sxsxADtx'y'sx'odacx'yy'45ºx2×45º2×45ºbeBE

应力圆应力圆的应用sxsxADtx'y'sx'odacx'yy'45ºx2×4172x'y'BEsxsxsx'tx'y'ty'x'sy'BE

应力圆应力圆的应用x'y'BEsxsxsx'tx'y'ty'x'sy'BE173

轴向拉伸时45º方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。sxsxBE

应力圆应力圆的应用轴向拉伸时45º方向面既有sxsxBE应力圆174ttotx'y'sx'a(0,t)d(0,-t)ADbec2×45º2×45ºsy'＝tsx'＝tBE

应力圆应力圆的应用ttotx'y'sx'a(0,t)d(0,-t)ADb175sx'＝tsy'＝tBEttBE

应力圆应力圆的应用sx'＝tsy'＝tBEttBE应力圆应力圆的应176

纯剪应力状态下，45º方向面上只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值。ttBE

应力圆应力圆的应用纯剪应力状态下，45º方向ttBE应力圆应力177主应力、主方向、最大切应力主应力、主方向、178

主方向

主应力、主方向、最大切应力面内最大切应力

主平面与主应力主方向主应力、主方向、最大切应力面内最大切179

主平面与主应力

主应力、主方向、最大切应力主平面与主应力主应力、主方向、最大切应力180主平面与主方向txysxsytyxtx'y'sx'oc2qpadAD主平面（PrincipalPlane）：t

=0,与应力圆上和横轴交点对应的面

主应力、主方向、最大切应力

主平面与主应力主平面与主方向txysxsytyxtx'y'sx'oc2qp181tx'y'sx'otx'y'sx'o主应力主应力（PrincipalStresses）：主平面上的正应力

主应力、主方向、最大切应力

主平面与主应力tx'y'sx'otx'y'sx'o主应力主应力（Pri182(主平面定义)主应力表达式

主应力排序：s1s2

s3tx'y'sx'oc2qpad

主应力、主方向、最大切应力

主平面与主应力(主平面定义)主应力表达式主应力排序：s1s2183

主方向

主应力、主方向、最大切应力主方向主应力、主方向、最大切应力184

主方向（DirectionofPrincipalStresses)：

负号表示顺时转向

主应力、主方向、

最大切应力

主方向主方向（DirectionofPrincipalSt185

面内最大切应力

主应力、主方向、最大切应力面内最大切应力主应力、主方向、最大切应力186

对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“面内最大切应力”

（MaximumShearingStressinPlane）

。tx'y'sx'otmaxc

主应力、主方向、

最大切应力

面内最大切应力对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“面内最187

三向应力状态特例分析三向应力状态188

定义

三向应力状态的应力圆

平面应力状态作为三向应力状态的特例

三向应力状态特例分析定义三向应力状态特例分析189

定义

三向应力状态特例分析定义三向应力状态特例分析190

三向应力状态—三个主应力都不为零的应力状态；

特例

—三个主应力中至少有一个是已知的(包括大小和方向)。据此，平面应力状态即为三向应力状态的特例。

定义

三向应力状态特例分析三向应力状态—三个主应力都不为零的应力状态；定义191szsxsytxytyx至少有一个主应力及其主方向已知sytxytyxsxsz三向应力状态特例的一般情形

定义

三向应力状态特例分析szsxsytxytyx至少有一个主应力及其主方向已知syt192s1s2s3

三向应力状态的应力圆

三向应力状态特例分析s1s2s3三向应力状态三向应力状态特例分析193txysxIIIIII平行于s1的方向面－其上之应力与s1无关，于是由s2、s3可作出应力圆Is3s2s1I平行于s2的方向面－其上之应力与s2无关，于是由s1、s3可作出应力圆IIIIs2s1

s3平行于s3的方向面－其上之应力与s3无关，于是由s1、s2可作出应力圆IIIs3IIIs2s1

三向应力状态的应力圆

三向应力状态特例分析txysxIIIIII平行于s1的方向面－其上之应力194zpypxpIIIIIIs1s2s3'sxtx't't'''t''tmax=s1s2s3s2s1s2s3s1s3s2s1s2s3s1s3s1s3s2s3s2s1

三向应力状态的应力圆

三向应力状态特例分析zpypxpIIIIIIs1s2s3'sxtx't't'''195在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：

三向应力状态的应力圆

三向应力状态特例分析在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：三196

一点处应力状态中的最大切应力只是、、中最大者，即:

三向应力状态的应力圆

三向应力状态特例分析一点处应力状态中的最大切应力只是、、19720030050otmax

平面应力状态作为三向应力状态的特例

三向应力状态特例分析20030050otmax平面应力状态作为三198O2005030050

平面应力状态作为三向应力状态的特例

三向应力状态特例分析O2005030050平面应力状态作为三向应199O30050

平面应力状态作为三向应力状态的特例

三向应力状态特例分析O30050平面应力状态作为三向应力状态特200(1)(2)排序确定(3)作为三向应力状态的特例平面应力状态特点

平面应力状态作为三向应力状态的特例

三向应力状态特例分析(1)(2)排序确定(3)作为三向应力状态的特例平面应力状态201

广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，202

各向同性材料的

广义胡克定律

广义胡克定律，应变能密度

应变能密度各向同性材料的广义胡克定律，应变能密度应变203

各向同性材料的

广义胡克定律

广义胡克定律，应变能密度各向同性材料的广义胡克定律，应变能密度2041、横向变形与泊松比--泊松比yx各向同性材料的广义胡克定律

广义胡克定律，应变能密度1、横向变形与泊松比--泊松比yx各向同性材料的2052、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法各向同性材料的广义胡克定律

广义胡克定律，应变