北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明课件

第七章平行线的证明1为什么要证明第七章平行线的证明101学习目标05随堂练习06课堂小结03问题探究02情境引入04新知探究01学习目标05随堂练习06课堂小结03问题探究02情境引入21.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．

2.经历观察、验证、归纳等过程,认识证明的必要性，培养推理意识．

3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某3ab考考你的眼力

（1）线段a与线段b哪个比较长？ab考考你的眼力（1）线段a与线段b哪个比较长？4abcd考考你的眼力

谁与线段d在一条直线上？abcd考考你的眼力谁与线段d在一条直线上？5（2）下图中的四边形是正方形吗？

（3）如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球迟到围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？（2）下图中的四边形是正方形吗？（3）如图，把地球看成球6

（1）代数式n2-n+11的值是质数吗？取n=0，1，2，3，4，5试一试，你能否由此得到结论：对所有自然数n，n2-n+11的值都是质数？思考探究，获取新知（1）代数式n2-n+11的值是质数吗？取n=0，1，7

（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE。DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中8

实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.归纳实验、观察、归纳得到的结论可能正确，91.最近有很长一段时间没有下雨了.并且今天是艳阳高照，那么晚上不会下雨，这个判断是

的.（填“正确”或“不正确”）

2.下列说法不正确的是（）

A.若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角.B.若∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠2.C.若直线a∥b,a⊥c,则b⊥c.D.若∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，则∠1=∠2.运用新知，深化理解A不准确1.最近有很长一段时间没有下雨了.并且今天是艳阳高照103.如图，甲沿着ACB由A到B，乙沿着ADEFB由A到B，同时出发，速度相等，则（）

A.甲先到B.乙先到

C.甲乙同时到D.不确定C3.如图，甲沿着ACB由A到B，乙沿着ADEFB由A114.在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，连接EF，EF与AD和BC有怎样的位置关系和数量关系？你的结论对所有的梯形都成立吗？4.在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB125.当a=1,b=2时，12+22>2×1×2;当a=-1,b=3时，（-1）2+32>2×（-1）×3；当a=-0.5,b=-3时，（-0.5）2+（-3）2>2×(-0.5)×(-3).于是猜想：对于任意实数总有a2+b2>2ab成立.这个结论正确吗？说明理由。5.当a=1,b=2时，12+22>2×1×2;当a13

通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确？说说你的经验与困惑，与同学交流.通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到14颜回是孔子最得意的门生，有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天没饭吃，颜回好不容易找到一点粮食，便赶紧埋锅造饭，米饭将熟之际，孔子闻香抬头，恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中；等到颜回请孔子吃饭，孔子假装说：“我刚刚梦到我父亲，想用这干净的白饭来祭拜他．”颜回赶快接着说：“不行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅中，弃之可惜，我便抓出来吃掉了．”孔子这才知道颜回并非偷吃饭，心中相当感慨，便对弟子说：“所信者目也，而且犹不可信；所恃者心也，而心犹不足恃．弟子记之，知人固不易矣！”颜回是孔子最得意的门生，有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天15第七章平行线的证明2定义与命题第七章平行线的证明161、定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义

.2、命题的定义:判断一件事情的句子,叫做命题.3、命题的结构:每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.4、命题的特征:一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.5、命题的分类:真命题和假命题(举反例判断假命题).1、定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是17

下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？1、猫有四只脚；

2、画一条曲线；3、三角形两边之和大于第三边；4、四边形都是正方形；5、潮湿的空气；6、对顶角相等；7、全等三角形的对应边成相等；8、过点P做线段MN的垂线。复习练习下列句子哪些是命题？是命题的，指出1、猫有四18复习练习

把下列命题改写成“如果┄┄那么┄┄”的形式，并指出命题的条件和结论1、对顶角相等；2、钝角大于它的补角；3、等角的补角相等；4、两直线平行，同位角相等；1.如果两个角是对顶角，那么它们是相等的；2.如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角3.如果两个角相等，那么它们的补角也相等；4.如果两条直线互相平行，那么同位角相等；复习练习把下列命题改写成“如果┄┄那么┄┄”的形1、19如何证实一个命题是真命题呢用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.这些方法往往并不可靠.哪已经知道的真命题又是如何证实的?.想一想能不能根据已经知道的真命题证实呢?哦……那可怎么办如何证实一个命题是真命题呢用我们以前学过的观察,实验,验证特20古希腊数学家欧几里得(Eyclid,公元前300前后).公理:公认的真命题称为公理.原名:某些数学名词称为原名.证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理.读一读有关概念、公理条件1定理1有关概念、公理条件2定理2定理3…………古希腊数学家欧几里得(Eyclid,公元前300前后).公理211.两点确定一条直线；2.两点之间线段最短；3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6.两边及夹角对应相等的两个三角形全等;7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;8.三边对应相等的两个三角形全等.本套教材选用如下命题作为公理:1.两点确定一条直线；本套教材选用如下命题作为公理:22

原名、公理、证明、定理的定义及它们的关系小结推理推理的过程叫证明经过证明的真命题叫定理证实其它命题的正确性原名、公理一些条件+原名、公理、证明、定理的定义及它们的关系小结推23谁得优？A、B、C、D、E五名学生猜自己的数学成绩：

A说：“如果我得优，那么B也得优。”

B说：“如果我得优，那么C也得优。”

C说：“如果我得优，那么D也得优。”

D说：“如果我得优，那么E也得优。”

大家都没有说错，但只有三个人得优。请问：得优的是哪三个人？谁得优？A、B、C、D、E五名学生猜自24第七章平行线的证明3平行线的判定第七章平行线的证明25

前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？

同位角相等，两直线平行

内错角相等，两直线平行

同旁内角互补，两直线平行

两条直线都和第三条直线平行，则这

两条直线互相平行

在同一平面内，不相交的两条直线叫

做平行线．前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想26

证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

分析：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言。证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角27123abc证明：∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补定义）∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义）∴∠3=180°－∠2（等式的性质）∴∠1=∠3（等量代换）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）已知：∠1和∠2是直线a、b被直线c

截出的同旁内角，且∠1与∠2互补。求证：a∥b．123abc证明：∵∠1与∠2互补（已知）已知：∠1和28议一议

小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？议一议小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法29证明：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．123abc已知：∠1和∠2是直线a、b被直线c

截出的内错角，且∠1=∠2．求证：a∥b

证明：∵∠1=∠2（已知），∠1+∠3=180°（平角定义）∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3互补（互补的定义）∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）证明：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直30想一想

借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？答：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行已知：如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．abc┐┐12想一想借助“同位角相等，两直线平行”31练一练

蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α=109°28′,∠β=70°32′,试确定这三个四边形的形状。练一练蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个32第七章平行线的证明4平行线的性质第七章平行线的证明33

一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角∠B是130°，第二次拐的角∠C是多少度？BC一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的34议一议画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考画出的平行线，已有一对同位角的关系是怎样的？是不是每一对同位角都具有这样的关系呢？公理：两直线平行，同位角相等。两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系呢？议一议画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考画35

证明：两条直线被第三条直线所截，内错角相等。12bc3a已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角.求证：∠1=∠2.证明：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等)∵∠1＝∠3(对顶角相等)，∴∠1=∠2(等量代换)证明：两条直线被第三条直线所截，内错角相等。12bc3a已36证明：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。12bc3a已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.求证：∠1+∠2=180°.证明：∵a∥b(已知)

∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等)∵∠1+∠3(1平角=180°)

∴∠1+∠2=180°(等量代换)证明：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。12bc3a已37练一练1、已知平行线AB、CD被直线AE所截AEDCB1234

从∠1＝110°，可以知道∠2是多少度，为什么？

从∠1=110°，可以知道∠3是多少度，为什么？

从∠1=110°，可以知道∠4是多少度，为什么？练一练1、已知平行线AB、CD被直线AE所截AEDCB138练一练2、如图是梯形有上底的一部分，量得∠A=115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？BACD练一练2、如图是梯形有上底的一部分，量得BACD39练一练3、如图，A、B、C、D在同一直线上，AD∥EF．∠E=78°时，∠1、∠2各等于多少度？为什么？∠F=58°时，∠3、∠4各等于多少度？为什么？

AEBFDC练一练3、如图，A、B、C、D在同一直线上，AD∥EF．∠40

平行的的判定与性质：

证明的一般步骤两直线平行

→←性质判定同位角相等内错角相等同旁内角互补平行的的判定与性质：证明的一般步骤两直线平行→41第七章平行线的证明5三角形内角和定理第七章平行线的证明42内角三兄弟之争

在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.

同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争在一个直角三角形里住着三个内角，平时431.知识目标

（1）三角形的内角和定理的证明.（2）掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题.（3）理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.2.教学重点（1）三角形内角和定理的证明.（2）三角形内角和定理的推论.3.教学难点（1）三角形内角和定理的证明方法.（2）三角形的外角、三角形内角和定理的推论.1.知识目标44我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?112ABD23C(1)如图,当时我们是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不实际移动∠A和∠B,那么你还有其它方法可以达到同样的效果吗?(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探45已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).

又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.ABCE213D已知:如图,△ABC.证明:作BC的延长线CD,过点C作C46在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?请你帮小明把想法化为实际行动.小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?证明:过点A作PQ∥BC,则ABC∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代换).PQ231在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”47根据下面的图形,写出相应的证明.你还能想出其它证法吗?(1)ABCPQRTSN(2)ABCPQRM试一试TSN(3)ABCPQRM根据下面的图形,写出相应的证明.你还能想出其它证法吗?(1)48三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.∠A+∠B+∠C=180°的几种变形:∠A=180°–(∠B+∠C).∠B=180°–(∠A+∠C).∠C=180°–(∠A+∠B).∠A+∠B=180°–∠C.∠B+∠C=180°–∠A.∠A+∠C=180°–∠B.这里的结论,以后可以直接运用.ABC三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1849观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？BCA1DACB1DACB1D外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.三个特征:

1.∠1的顶点在三角形的一个顶点上;

2.∠1的一条边是三角形的一条边;

3.∠1的另一条边是三角形的某条边的延长线.观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同50大家一起画一画

想一想:1、每一个三角形有几个外角？2、每一个顶点处相对应的外角有几个？3、这些外角中有几个外角相等？

4、三角形的每一个外角与三角形的三个内角有什么位置关系?画一个三角形，再画出它所有的外角.大家一起画一画想一想:画一个三角形，再画出它所有的外角51ABDEFC外角ABDEFC外角ABDEFC外角ABDEFC外角52归纳：

1、每一个三角形都有６个外角;2、每一个顶点相对应的外角都有２个;

4、一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.3、这6个外角中有3个外角相等.归纳：1、每一个三角形都有６个外角;2、每一个顶点相对应53探究:你能用推理的方法来论证∠ACD=∠B+∠A吗？你能用几种方法呢？相信你一定能行！DABC探究:DABC54DABC方法一:

∵∠ACD+∠ACB=180°又∵∠A+∠B+∠ACB=180°

∴∠A+∠B=∠ACD

解：∴∠ACD=180°－∠ACB

∴∠A+∠B=180°－∠ACB（邻补角的定义）（三角形内角和180°）DABC方法一:∵∠ACD+∠ACB=180°又∵∠A+55方法二：擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同学证明一下.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和1（作CE//BA）由平行线的性质把两个内角转换可得AECBD方法二：擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画56三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.DACB∵∠ACD=∠A+∠B∴∠ACD﹥∠A

∠ACD﹥∠B结论：3.三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大小关系?三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.DACB∵∠A57三角形外角的性质：性质1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

∠B+∠C=∠CAD

性质2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

∠CAD>

∠B，∠CAD

>∠CABCD三角形外角的性质：性质2、三角形的一个外角大于任何ABCD58证明：∵∠EAC=∠B+∠C

(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)∠B=∠C

(已知)∴∠B=∠EAC(等式性质)ACDBE··例1已知:如图在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证：AD∥BC.∵AD平分∠EAC(已知)∴∠DAE=∠EAC(角平分线的定义)∴∠DAE=∠B(等量代换)∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行)这里是运用了公理“同位角相等，两直线平行”得到了证实.证明：∵∠EAC=∠B+∠CACDBE··例1已知:59例2已知：如图,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证:∠1>∠2.证明：∵∠1是△ABC的一个外角(已知)∴∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∵∠3是△CDE的一个外角(外角定义)∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∴∠1>∠2(不等式的性质)CABF1345ED2例2已知：如图,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E60跟踪练习1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是(

)A.直角三角形

B.锐角三角形C.钝角三角形

D.无法确定C2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于(

)A.120°B.115°C.110°D.105°FEDCBAB跟踪练习1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个613.如图，把△ACB沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，∠DAE与∠1,∠2之间有一种数量关系保持不变，这一规律是（）

A.∠A=∠1+∠2B.2∠A=∠1+∠2C.3∠A=2∠1+∠2D.3∠A=2（∠1+∠2）BDAACE12B3.如图，把△ACB沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部624.如图所示,∠1=_______.140°80°1120°5.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为.30或75°6.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.DCBA120°4.如图所示,∠1=_______.140°80°1120°637.已知：如图，在△ABC中，外角∠DCA=100°,∠A=45°.求：∠B和∠ACB的大小.ABCD解:∵∠DCA是△ABC的一个外角(已知),∴∠B=∠DCA-∠A=100°-45°=55°

又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角=180°).∴∠ACB=80°(等式的性质).100°45°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).7.已知：如图，在△ABC中，外角∠DCA=100°,∠A64已知:国旗上的正五角星形如图所示.求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义),分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.∴∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).∴∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理).又∵∠2是△EHC的一个外角(外角的意义),ABCDEF1H2∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°(等式性质).拔尖自助餐已知:国旗上的正五角星形如图所示.解:∵∠1是△BDF的一651.(1)如图(甲)，在五角星图形中，求∠A+∠B

+∠C

+∠D

+∠E的度数.

(2)把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？AEABCDAE(甲)EBCDDCB(乙)(丙)相等，也可凑到一个三角形中.1.(1)如图(甲)，在五角星图形中，求∠A+∠B+∠C66当堂检测1.△ABC

中,若∠A

＋∠B

＝∠C,则△ABC

是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形C.钝角三角形

D.等腰三角形2.

一个三角形至少有（）

A.一个锐角

B.两个锐角C.一个钝角

D.一个直角BB当堂检测1.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△AB67证明：∵∠1+∠4=180°∠2+∠5=180°∠3+∠6=180°∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=3×180°=540°又∵∠4+∠5+∠6=180°(三角形内角和定理)∴∠1+∠2+∠3=540°-180°=360°3.已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角．求证：∠1+∠2+∠3=360°.C

AB312645证明：∵∠1+∠4=180°3.已知：∠1，∠2，∠3是684.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,求∠C的度数.解：在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°∴∠B+∠C=100°∵∠B=∠C∴∠B=∠C=50°ABC4.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,求∠C的度695.已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数.解：设三个内角度数分别为：x,3x,5x.列出方程x+3x+5x=180°

x=20°答：三个内角度数分别为20°,60°,100°.5.已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角70三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.小结三角形内角和定理小结71第七章平行线的证明1为什么要证明第七章平行线的证明7201学习目标05随堂练习06课堂小结03问题探究02情境引入04新知探究01学习目标05随堂练习06课堂小结03问题探究02情境引入731.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．

2.经历观察、验证、归纳等过程,认识证明的必要性，培养推理意识．

3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某74ab考考你的眼力

（1）线段a与线段b哪个比较长？ab考考你的眼力（1）线段a与线段b哪个比较长？75abcd考考你的眼力

谁与线段d在一条直线上？abcd考考你的眼力谁与线段d在一条直线上？76（2）下图中的四边形是正方形吗？

（3）如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球迟到围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？（2）下图中的四边形是正方形吗？（3）如图，把地球看成球77

（1）代数式n2-n+11的值是质数吗？取n=0，1，2，3，4，5试一试，你能否由此得到结论：对所有自然数n，n2-n+11的值都是质数？思考探究，获取新知（1）代数式n2-n+11的值是质数吗？取n=0，1，78

（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE。DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中79

实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.归纳实验、观察、归纳得到的结论可能正确，801.最近有很长一段时间没有下雨了.并且今天是艳阳高照，那么晚上不会下雨，这个判断是

的.（填“正确”或“不正确”）

2.下列说法不正确的是（）

A.若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角.B.若∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠2.C.若直线a∥b,a⊥c,则b⊥c.D.若∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，则∠1=∠2.运用新知，深化理解A不准确1.最近有很长一段时间没有下雨了.并且今天是艳阳高照813.如图，甲沿着ACB由A到B，乙沿着ADEFB由A到B，同时出发，速度相等，则（）

A.甲先到B.乙先到

C.甲乙同时到D.不确定C3.如图，甲沿着ACB由A到B，乙沿着ADEFB由A824.在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，连接EF，EF与AD和BC有怎样的位置关系和数量关系？你的结论对所有的梯形都成立吗？4.在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB835.当a=1,b=2时，12+22>2×1×2;当a=-1,b=3时，（-1）2+32>2×（-1）×3；当a=-0.5,b=-3时，（-0.5）2+（-3）2>2×(-0.5)×(-3).于是猜想：对于任意实数总有a2+b2>2ab成立.这个结论正确吗？说明理由。5.当a=1,b=2时，12+22>2×1×2;当a84

通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确？说说你的经验与困惑，与同学交流.通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到85颜回是孔子最得意的门生，有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天没饭吃，颜回好不容易找到一点粮食，便赶紧埋锅造饭，米饭将熟之际，孔子闻香抬头，恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中；等到颜回请孔子吃饭，孔子假装说：“我刚刚梦到我父亲，想用这干净的白饭来祭拜他．”颜回赶快接着说：“不行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅中，弃之可惜，我便抓出来吃掉了．”孔子这才知道颜回并非偷吃饭，心中相当感慨，便对弟子说：“所信者目也，而且犹不可信；所恃者心也，而心犹不足恃．弟子记之，知人固不易矣！”颜回是孔子最得意的门生，有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天86第七章平行线的证明2定义与命题第七章平行线的证明871、定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义

.2、命题的定义:判断一件事情的句子,叫做命题.3、命题的结构:每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.4、命题的特征:一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.5、命题的分类:真命题和假命题(举反例判断假命题).1、定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是88

下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？1、猫有四只脚；

2、画一条曲线；3、三角形两边之和大于第三边；4、四边形都是正方形；5、潮湿的空气；6、对顶角相等；7、全等三角形的对应边成相等；8、过点P做线段MN的垂线。复习练习下列句子哪些是命题？是命题的，指出1、猫有四89复习练习

把下列命题改写成“如果┄┄那么┄┄”的形式，并指出命题的条件和结论1、对顶角相等；2、钝角大于它的补角；3、等角的补角相等；4、两直线平行，同位角相等；1.如果两个角是对顶角，那么它们是相等的；2.如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角3.如果两个角相等，那么它们的补角也相等；4.如果两条直线互相平行，那么同位角相等；复习练习把下列命题改写成“如果┄┄那么┄┄”的形1、90如何证实一个命题是真命题呢用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.这些方法往往并不可靠.哪已经知道的真命题又是如何证实的?.想一想能不能根据已经知道的真命题证实呢?哦……那可怎么办如何证实一个命题是真命题呢用我们以前学过的观察,实验,验证特91古希腊数学家欧几里得(Eyclid,公元前300前后).公理:公认的真命题称为公理.原名:某些数学名词称为原名.证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理.读一读有关概念、公理条件1定理1有关概念、公理条件2定理2定理3…………古希腊数学家欧几里得(Eyclid,公元前300前后).公理921.两点确定一条直线；2.两点之间线段最短；3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6.两边及夹角对应相等的两个三角形全等;7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;8.三边对应相等的两个三角形全等.本套教材选用如下命题作为公理:1.两点确定一条直线；本套教材选用如下命题作为公理:93

原名、公理、证明、定理的定义及它们的关系小结推理推理的过程叫证明经过证明的真命题叫定理证实其它命题的正确性原名、公理一些条件+原名、公理、证明、定理的定义及它们的关系小结推94谁得优？A、B、C、D、E五名学生猜自己的数学成绩：

A说：“如果我得优，那么B也得优。”

B说：“如果我得优，那么C也得优。”

C说：“如果我得优，那么D也得优。”

D说：“如果我得优，那么E也得优。”

大家都没有说错，但只有三个人得优。请问：得优的是哪三个人？谁得优？A、B、C、D、E五名学生猜自95第七章平行线的证明3平行线的判定第七章平行线的证明96

前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？

同位角相等，两直线平行

内错角相等，两直线平行

同旁内角互补，两直线平行

两条直线都和第三条直线平行，则这

两条直线互相平行

在同一平面内，不相交的两条直线叫

做平行线．前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想97

证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

分析：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言。证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角98123abc证明：∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补定义）∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义）∴∠3=180°－∠2（等式的性质）∴∠1=∠3（等量代换）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）已知：∠1和∠2是直线a、b被直线c

截出的同旁内角，且∠1与∠2互补。求证：a∥b．123abc证明：∵∠1与∠2互补（已知）已知：∠1和99议一议

小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？议一议小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法100证明：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．123abc已知：∠1和∠2是直线a、b被直线c

截出的内错角，且∠1=∠2．求证：a∥b

证明：∵∠1=∠2（已知），∠1+∠3=180°（平角定义）∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3互补（互补的定义）∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）证明：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直101想一想

借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？答：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行已知：如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．abc┐┐12想一想借助“同位角相等，两直线平行”102练一练

蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α=109°28′,∠β=70°32′,试确定这三个四边形的形状。练一练蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个103第七章平行线的证明4平行线的性质第七章平行线的证明104

一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角∠B是130°，第二次拐的角∠C是多少度？BC一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的105议一议画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考画出的平行线，已有一对同位角的关系是怎样的？是不是每一对同位角都具有这样的关系呢？公理：两直线平行，同位角相等。两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系呢？议一议画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考画106

证明：两条直线被第三条直线所截，内错角相等。12bc3a已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角.求证：∠1=∠2.证明：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等)∵∠1＝∠3(对顶角相等)，∴∠1=∠2(等量代换)证明：两条直线被第三条直线所截，内错角相等。12bc3a已107证明：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。12bc3a已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.求证：∠1+∠2=180°.证明：∵a∥b(已知)

∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等)∵∠1+∠3(1平角=180°)

∴∠1+∠2=180°(等量代换)证明：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。12bc3a已108练一练1、已知平行线AB、CD被直线AE所截AEDCB1234

从∠1＝110°，可以知道∠2是多少度，为什么？

从∠1=110°，可以知道∠3是多少度，为什么？

从∠1=110°，可以知道∠4是多少度，为什么？练一练1、已知平行线AB、CD被直线AE所截AEDCB1109练一练2、如图是梯形有上底的一部分，量得∠A=115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？BACD练一练2、如图是梯形有上底的一部分，量得BACD110练一练3、如图，A、B、C、D在同一直线上，AD∥EF．∠E=78°时，∠1、∠2各等于多少度？为什么？∠F=58°时，∠3、∠4各等于多少度？为什么？

AEBFDC练一练3、如图，A、B、C、D在同一直线上，AD∥EF．∠111

平行的的判定与性质：

证明的一般步骤两直线平行

→←性质判定同位角相等内错角相等同旁内角互补平行的的判定与性质：证明的一般步骤两直线平行→112第七章平行线的证明5三角形内角和定理第七章平行线的证明113内角三兄弟之争

在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.

同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争在一个直角三角形里住着三个内角，平时1141.知识目标

（1）三角形的内角和定理的证明.（2）掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题.（3）理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.2.教学重点（1）三角形内角和定理的证明.（2）三角形内角和定理的推论.3.教学难点（1）三角形内角和定理的证明方法.（2）三角形的外角、三角形内角和定理的推论.1.知识目标115我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?112ABD23C(1)如图,当时我们是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不实际移动∠A和∠B,那么你还有其它方法可以达到同样的效果吗?(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探116已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).

又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.ABCE213D已知:如图,△ABC.证明:作BC的延长线CD,过点C作C117在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?请你帮小明把想法化为实际行动.小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?证明:过点A作PQ∥BC,则ABC∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代换).PQ231在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”118根据下面的图形,写出相应的证明.你还能想出其它证法吗?(1)ABCPQRTSN(2)ABCPQRM试一试TSN(3)ABCPQRM根据下面的图形,写出相应的证明.你还能想出其它证法吗?(1)119三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.∠A+∠B+∠C=180°的几种变形:∠A=180°–(∠B+∠C).∠B=180°–(∠A+∠C).∠C=180°–(∠A+∠B).∠A+∠B=180°–∠C.∠B+∠C=180°–∠A.∠A+∠C=180°–∠B.这里的结论,以后可以直接运用.ABC三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于18120观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？BCA1DACB1DACB1D外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.三个特征:

1.∠1的顶点在三角形的一个顶点上;

2.∠1的一条边是三角形的一条边;

3.∠1的另一条边是三角形的某条边的延长线.观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同121大家一起画一画

想一想:1、每一个三角形有几个外角？2、每一个顶点处相对应的外角有几个？3、这些外角中有几个外角相等？

4、三角形的每一个外角与三角形的三个内角有什么位置关系?画一个三角形，再画出它所有的外角.大家一起画一画想一想:画一个三角形，再画出它所有的外角122ABDEFC外角ABDEFC外角ABDEFC外角ABDEFC外角123归纳：

1、每一个三角形都有６个外角;2、每一个顶点相对应的外角都有２个;

4、一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.3、这6个外角中有3个外角相等.归纳：1、每一个三角形都有６个外角;2、每一个顶点相对应124探究:你能用推理的方法来论证∠ACD=∠B+∠A吗？你能用几种方法呢？相信你一定能行！DABC探究:DABC125DABC方法一:

∵∠ACD+∠ACB=180°又∵∠A+∠B+∠ACB=180°

∴∠A+∠B=∠ACD

解：∴∠ACD=180°－∠ACB

∴∠A+∠B=180°－∠ACB（邻补角的定义）（三角形内角和180°）DABC方法一:∵∠ACD+∠ACB=180°又∵∠A+126方法二：擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同学证明一下.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和1（作CE//BA）由平行线的性质把两个内角转换可得AECBD方法二：擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画127三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.DACB∵∠ACD=∠A+∠B∴∠ACD﹥∠A

∠ACD﹥∠B结论：3.三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大小关系?三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.DACB∵∠A128三角形外角的性质：性质1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

∠B+∠C=∠CAD

性质2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

∠CAD>

∠B，∠CAD

>∠CABCD三角形外角的性质：性质2、三角形的一个外角大于任何ABCD129证明：∵∠EAC=∠B+∠C

(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)∠B=∠C

(已知)∴∠B=∠EAC(等式性质)ACDBE··例1已知:如图在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证：AD∥BC.∵AD平分∠EAC(已知)∴∠DAE=∠EAC(角平分线的定义)∴∠DAE=∠B(等量代换)∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行)这里是运用了公理“同位角相等，两直线平行”得到了证实.证明：∵∠EAC=∠B+∠CACDBE··例1已知:130例2已知：如图,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证:∠1>∠2.证明：∵∠1是△ABC的一个外角(已知)∴∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∵∠3是△CDE的一个外角(外角定义)∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∴∠1>∠2(不等式的性质)CABF1345ED2例2已知：如图,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E131跟踪练习1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是(

)A.直角