(新高考)江苏省南通市2020-2021学年高二数学上学期期中备考试

-17--17-新高考）江苏省南通市2020-2021学年高二数学上学期期中备考试题I注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1•若复数Z满足（迈+i）z二3i（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）C.【答案】D【解析】由C2【解析】由C2+i）z=3i，可得得「2+.3i・•・z的共轭复数为1-冒厉，故选D.12.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为三，事件A表示“出现小于5的偶数点”事6件B表示“出现小于5的点数”则一次试验中，事件AB（B表示事件B的对立事件）发生的概率为（A.B.—C.A.B.—C.D.【答案】C【解析】：事件B表示“小于5的点数出现”•••B的对立事件是“大于或等于5的点数出现”•••表示事件是出现点数为5和6.:事件A表示“小于5的偶数点出现”,它包含的事件是出现点数为2和4，...p(A)二2二1,P(B)二4二-P6)=1-P(B)二1--二636333P(AB)=P(A)+P6)=-+-=-，故选C.3333•若随机变量X〜B(n，0.4)，且E(X)=2，则P(X=1)的值是(A.3x0.44B.2x0.45C・3x0.44D・2x0.64【答案】D【解析】因为随机变量X〜B(n,0.4)，所以E(X)二0.4n二2，解得n=5,所以随机变量X〜B(5,0.4)，所以P(X=1)=Ci(1-0.4》x0.4i=2x0.64，故选D.5TOC\o"1-5"\h\z4•若随机变量XN(1,4)，P(X<0)二0.2，则P(0<X<2)二()D．0．8A．0．6B．0．4C．0．3D．0．8【答案】A~【解析】由题意，随机变量XN(1，4)，可得正态曲线的对称轴x=1，所以P(0<X<2)=1-2P(X<0)=0・6,故选a.5.(x2+2)(x--)6的展开式的常数项为()xA.25B.-25C.5D.-5【答案】B【解析】(X--)6的展开式的通项公式为xr+1-r6=Cr(-1)r(X}-r(X丄r=Cr(-1)r(xr+1-r666令6一2r=-2或6一2r=0，分别解得r=4或r=3.所以(x2+2)(x—丄)6的展开式的常数项为1xC4(-1》+2x1xC3(—1》=15一40=-25,x66故选B．6．五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有()A．2A5A5B．A5A5C．2A5A5D．A5A555565655

【答案】B【解析】由题意五名老师不能相邻用插空法’排法数为A5A6，故选B7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，上DAB=60。，侧面PAD为正三角形，且平面PAD丄平面ABCD，则下列说法正确的是（）B.异面直线AD与角形，且平面PAD丄平面ABCD，则下列说法正确的是（）B.异面直线AD与PB所成的角为60。C.二面角P-BC-A的大小为60。D.在棱AD上存在点M使得AD丄平面PMB【答案】D【解析】对于D，取AD的中点M，连PM，BM，；侧面PAD为正三角形，•.PM丄AD，又底面ABCD是上DAB=60。的菱形，•••三角形ABD是等边三角形，AD丄BM，PMBM=M，PMu平面PBM，BMu平面PBM，:::AD丄平面PBM，故D正确；对于B，AD丄平面PBM，：AD丄PB，即异面直线AD与PB所成的角为90。，故B错误；对于C，底面ABCD为菱形，ZDAB=60。，平面PAD丄平面ABCD,AD丄平面PBM，AD〃BC，:BC丄PB，BC丄BM，则ZPBM是二面角P-BC-A的平面角，•••J3jr设AB=1，则BM=，PM，22PM在直角三角形PBM中，tanZPBM==1，即ZPBM=45。，BM故二面角P-BC-A的大小为45。，故C错误；对于A，AD丄平面PBM，AD//BC，所以BC丄平面PBM，BCu平面PBC，

所以面PBC丄平面所以面PBC丄平面pbm，显然平面pab与平面pbc不垂直，故A错误,故选D．8.若函数/（x）=AX2+（2-a）x-lnx（aeR）在其定义域上有两个零点，则a的取值范围是()A.(4(ln2+1),+JB.(0,4(1+ln2)_C.(-8,0)(4(1+ln2)}D.(0,4(ln2+1))【答案】AU【解析】函数Y=/（x）的定义域为（0,+8）,广（x）=2ax+（2-a）--=（力-"（处+"x（1）当a>0时，对任意的x>0，ax+1>0，若0<x<*，则广（x）<0；若x>*，则广（x）>0,r1\r1)0,2\2丿，单调递增区间为—,+812丿此时，函数Y=/（x）的单调递减区间为当XT0+时，/(x)T+3；当XT+3时，/(X)由于函数Y=/（x）在其定义域上有两个零点,-1-1+ln2一<0，解得a>4(ln2+1)（2）当a<0时，令广（x）=0，可得x二，x=-丄.122a①若-丄=1，即当a=-2时，对任意的x>0，广（x）<0恒成立，a2所以，函数Y=/（x）在定义域上单调递减，至多一个零点，不合乎题意;②若一一>三，即当一2<a<0时,a2令广(x)v0，得0<x<1或x>--；令f(x)>0，得1<x<-1.2a2a此时，函数y=/(此时，函数y=/(x)的单调递减区间为］°，2丿(1单调递增区间为-,—V21]a丿当XT0+时，f(x)T+8；当XT+8时，f(x)T—8,(1]1(1]=1(1]1(1]=1—-—lnVa丿aVa丿=1+ln2-4=0或f0则a二4(ln2+1)，舍去;(1]1(1]=1—-—lnVa丿aVa丿二1+ln2—4=°，若f=0，令t二-丄，令g(t)=1+1-lnta其中t>2,g心)=1-1二二.tt当2<t<1时，gG)<0，此时函数y=g(t)单调递减；当t>1时，g'(t)>0，此时函数y=g(t)单调递增，所以，g(t)=g(1)=2>0，则方程g(t)=0无解；min11③若0<-—<二，即当a<-2时，a2令广(x)<0，得0<X<-1或X>1；令f(x)>0，得—1<X<1,a2a2此时，函数y=f(此时，函数y=f(X)的单调递减区间为］0，-a］(1]和—,+8V2丿(11］单调递增区间为［-a，2J(1]1(1]=1—-—lnVa丿aVa丿若f当XT0+时，f(X)T+8；当XT+8时，f(X)若f(1]a(1]1(1]=1+ln2—-=0或f4=1—-—lnV2丿Va丿aVa丿则有f=0，=1+ln2—4=0，贝ya=4(ln2+1)，舍去;=0，令t=--，令g(t)=1+1-lnt，其中0<t<1,a2gG)=1—1=口<0,tt

所以，函数y所以，函数y=gG)在区间［o,；上单调递减，所以，gG)>g=3+ln2>0，此时方程g(t)=0所以，gG)>g综上所述，实数a的取值范围是(4(ln2+1),+8),故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的命题是()已知随机变量服从二项分布B(n，p)，若E(x)=30，D(x)=20，则p=3已知A3=C4，则n=27nn设随机变量E服从正态分布N(0,1)，若PG>1)=p，则P(―1<^<0)=2-p2某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X〜B(10,0.8)，则当X=8时概率最大【答案】BCD【解析】对于选项A：随机变量服从二项分布B(n,p)，E(X)=30，D(X)=20，1可得up=30，np(1—p)=20，则p=3，故选项A错误；对于选项B：根据排列数和组合数的计算公式可得，n—3即=】，解得n=27，故选项B正确；对于选项C：随机变量E服从正态分布N(0，1)，则图象关于y轴对称,若pG>1)=p,11则p(o<g<1)=2—p，即p(—1<£<0)=2—p，故选项c正确；对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为X，X〜B(10,0,8)，

x0.8kX0.210-k当x=k时，对应的概率p（xx0.8kX0.210-kP(x=k)Ck-0.8k•0.210-k4(11-k)所以当'1时，p(%—上一1)Ck-1•0.8k-1•0.210-k+1k10P(x2k)4(11-k)44由p(x二k-1)=-1'得44-4k'k'即1'k'因为keN*，所以1<k<8且keN*,即k8时，概率P（x=8）最大，故选项D正确,故选吊CD.10．下列等式正确的是（）A.m=Am+1nA.m=Am+1nn+1B.nrn-D=(n一2)!C.AmCm=nnn!D.Am+1=Amn-mnn【答案】ABD【解析】A.(n+1)Am=(【解析】A.(n+1)Am=(n+1)•nn!=(n+1)!=(n±^=am+1(n-m)!(n-m)![(n+1)-(m+1)]!n+1故正确；B.n!n(n-1)n(n-1)(n-2)xx3x2x1=(nn(n-1)故正确；AmAmAmC.Cm=廿丰nnm!n!故错误；D.1Am+1D.1Am+1=n!(n一m一1)!n!(n一m)!=Am，故正确,n故选ABD.111.如图直角梯形ABCD，AB//CD，AB丄BC，BC=CD=-AB=2，E为AB中点,2以de为折痕把AADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2耳.则（）A.平面PED丄平面EBCDPC丄EDnC.nC.二面角P—DC—B的大小为-D.PC与平面PED所成角的正切值为JT【答案】AC【解析】A中，PD二AD二JAE2+DE2二2+2二2、辽，在三角形PDC中，PD2+CD2=PC2，所以PD丄CD，又CD丄DE，可得CD丄平面ped，CDu平面EBCD，所以平面PED丄平面EBCD,A选项正确；B中，若PC丄ED，又ED丄CD，可得ED丄平面PDC，则ED丄PD，而ZEDP二ZEDA,显然矛盾，故B选项错误；C中，二面角P—DC—B的平面角为ZPDE，根据折前着后不变知ZPDE=ZADE=45。，故C选项正确；D中，由上面分析可知，ZCPD为直线PC与平面PED所成角，在Rt△PCD中，tanZCPD二CD=辽，故D选项错误，PD2故选AC.12.设广(x)为函数f(x)的导函数，已知x2广(x)+xf(x)=Inx，f(1)=1-，则下列结论中正确的是()A.xf(x)在(1,+a)上单调递增B.xf(x)在(0,1)上单调递减C.xC.xf(x)在(0,+如上有极大值22D.xf(x)在(0,+如上有极小值22【答案】ABD【解析】由x2f'(x)+xf(x)二lnx，lnx设g(x)二xf(x)，则g'(x)=xf'(x)+f(x)=——,

由g'(x)>0，得x>1；由g'(x)<0，得0<x<1,所以g(x)二xf(x)在(l,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减,在(0,+如上有极小值g⑴=f⑴=2,故选ABD．第II卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知复数z满足：(1+i)2z=4-2i7，则z=【答案】厉【解析】z=牛却=1-2i，故Z=|1+2i|=运，故答案为虧.2i(2\14.若x-—的展开式的二项式系数和为32，则展开式中x3的系数为.Vx丿【答案】-10(2)n(2¥二项式x一一Vx丿【解析】依题意x-—的展开式的二项式系数和为32，所以2n=32，即(2¥二项式x一一Vx丿展开式的通项公式为C5-x5-r-(-2x-1)=(-2)r-C5-x5-22令5-2r=3，r二1，所以x3的系数为(一2>-Ci=-10,5故答案为-10．15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若将5名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有种分配方案．(用数字作答)【答案】30【解析】由题可知，先将5名医生分成2组，有C1•C4+C2•C3=5+10=15种,5453再分配的两家医院有15A2=30种，即有30种分配方案，2故答案为30．16.已知空间向量PA,PB,PC的模长分别为1,2,3，且两两夹角均为60。，点G^△ABCTOC\o"1-5"\h\z的重心，若PG=xPA+yPB+zPC，x，y，zgR，则x+y+z二；ipgi=ZT一一“5【答案】1,322【解析】取AC的中点D,PG-pB+BG-pB+3BD-PB+3x(PD—PB)二PB+-x[!(PA+PC)-PB]-1PA+1PB+1PC,_•一323*3"3又PG-xPA+yPB+zPC，空间向量PA,PB,PC的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60。，IPG1-11PA+1PB+1PC1=1、;(PA+PB+PC)^3^3^3^3=好PA2+PB2+PC2+2PA•PB+2PC•PB+2PA•PC号22芒2+亍^2三+上3x竺壬2乂1竺乂三3四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，M,N分别为AB,AP的中点，过MN的平面与侧面PBC交于EF.3-17-3-17-71：1)求证：MN//EF；71：(2)若平面PBC丄平面ABC,AB=AC=3，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值.35【答案】(1)证明见解析；(2)逬10.35【解析】(1)因为M，N分别为ab，AP的中点，所以MN//PB，又MN@平面PBC，PBu平面PBC，所以MN//平面PBC，因为平面mnef平面PBC二EF，所以MN//EF.Pl(2)因为平面PBC丄平面ABC，取BC中点0，连接P0，A0,因为APBC是等边三角形，所以P0丄BC，所以P0丄平面ABC，故P0丄A0，又因为AB=AC，所以A0丄BC，以0为坐标原点，分别以OB，AO，0P为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,可得0(0,0,0),P(0,0,朽)，A(0,—2匹0),B(1,0,0)，C(—1,0,0)，所以PB=(1,0,—J3)，PA=(0,—2^2,—运)，PC=(—1,0,—、厅)，/\\—2^2y-忑z=0—x—%'3z=0令y八2，得X=4，z=—x—%'3z=0令y八2，得X=4，z=所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为響-17--17-18.(12分)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数E的分布列为:(1)求事件A:“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用期付款”的概率P(A)；(2)求耳的分布列、期望和方差.【答案】(1)0.488；(2)分布列见解析，E6)=300，D6)=4000.【解析】(1)购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，P(A)二(1-0.2)3二0.512,・•・P(A)二1-P(A)二1-0.512二0.488.(2)根据顾客采用的付款期数E的分布列对应于耳的可能取值为200元，300元，400元,得到变量对应的事件的概率，P(H=200)=PG=1)=°2，P(n二300)二PG=2)+P(g=3)二0.3+0.3二0.6，P(n二400)二P&=4)+P(^=5)二0.1+0.1二0.2,耳的分布列为：200300400p0.20.60.2E(n)=200x0.2+300x0.6+400x0.2=300,・•・D(n)=(200-300)2x0.2+(300-300)2x0.6+(400-300)2x0.2=4000.19.(12分)已知f(x)=-Inx一ax(a>0).x若函数f(x)在x=e处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；f(x)设函数F(x)=，若F(x)在(0,e)上有两个零点，求实数a的取值范围.(其中e为x自然对数的底数)【答案】(1)f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+8)；(2)厶<a<丄.e22e【解析】(1)f—-a，函数f(x)在x=e处的切线平行于x轴，x2则f(e)=0，即a=0，此时广(x)=L-，x2令广(x)=0，解得x=e，当0<x<e时，广(x)>0，f(x)单调递增；当x>e时，广(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+8).x3(2)F(x)==旦-a，定义域为(0,+8)，则F(x)=1-2lnxx3xx2可得当x^(，崔)时，F'(x)>0，F(x)单调递增；当xe,+J时，F'(x)<0，F(x)单调递减，所以F(x)在x=处取得极大值F(：'e)=丄-a,2e

所以F（x）所以F（x）在（0,e）上有两个零点只需fCe)>F(e)<01门——a>02eV1n——a<0、e2，解得丄e2<a<2e11所以实数a的取值范围为一<a<e22e20．（12分）某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：等级水平一水平二水平三水平四男生/名48126女生/名6842（1）根据表中统计的数据填写下面2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？实践操作能力较弱实践操作能力较强合计男生/名女生/名合计(ad—bc)2(ad—bc)2参考公式：K2=人数为E，求E的分布列和数学期望.下面的临界值表供参考:P(K2>k)00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为；（2）分布列见解析，E（g）=L6.解析】（1）实践操作能力较弱实践操作能力较强合计男生/名121830女生/名14620合计262450K2=50(6七-14x18)=225〜狂？>3.841,30x20x26x2452所以有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关．（2）g的取值为0,1，2，3，4.P(g二寻二14，p（討丄爭二善，p—P(g二寻二14，p（討丄爭二善，p—2）=1010C2C246C41037'p(g3)C3C1—4_6C41035*4)=H二101210*所以g的分布列为0123418341P—+lx-8+2x3+3x—+4x丄二-二1.614217352105（1）证明：DE（1）证明：DE//平面ABBA；⑵若AB丄BC,AB=BC=A£=2，求二面角B-AE-D的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)5・【解析】(1)【解析】(1)如图，作线段BC中点F，连接DF、EF,因为F是线段BC中点，点D为线段AC的中点，所以DF^AB,因为F是线段BC中点，点E为线段的中点，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以EF〃B]B,因为DFEF=F，直线AB平面ABBA，直线BBu平面ABBA,所以平面$EF〃平面ABBA,因为DEu平面DEF，所以DE〃平面ABBA.(2)如图，以B(2)如图，以B为原点、BC为x轴、BA为y轴、BB1为z轴构建空间直角坐标系,则B（0,0,0），A（0,2,0），E（1,0,2），D（1,1,0）,BA=（0,2,0），BE1,0,2，AD1,1,0，DE0,1,2，设n=(x1,y1,z1)是平面设n=(x1,y1,z1)是平面BAE的法向量，则v，即11丄。nn-BE=0〔x+2z=011令x=2，则n=（2,0,—1），n\=<5；—>/\Im-AD_0设m_(x2,y2,z2)是平面AED的法