(完整版)对数与对数函数知识点与例题讲解

第第1页共12页第2页共12页对数与对数函数知识点与例题讲解课前小测】知识梳理：一、对数1、定义：一般地，如果ax=NG>0,a丰1｝，那么实数x叫做以a为底N的对数，记作x—logN,a其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数.2、特殊对数⑴通常以10为底的对数叫做常用对数，并把logN记为IgN；10⑵通常以e为底的对数叫做自然对数，并把logN记为lnN.e3、对数的运算⑴运算性质：如果a>0,且a丰1,M>0,N>0，那么：①log(MN)=logM+logN；②logM-logM-logN‘③logM*—nlogM(neR)；aaaaNaaaan1④logMn-nlogM(neR,m丰0)；⑤logb—；@alog(N—N.ammaalogablogb⑵换底公式：logb—l.alogac二、对数函数(、1、定义：一般地，函数y—logx(a>0,且a丰1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+8).1、A、2、A、—9写成对数式，正确的是()B、log9=-213函数y—logx(a>0,a丰1)的图像过定点(alog9(1,1)B、(1,0)C、(0,1)C、3、log49343等于()A、7B、24、函数f(x)=lg(3x+1)的定义域是()A、5、A、B、(0,+8)函数f(x)=、：1+log2x的定义域是((-8,+8)B、(0,+8)log(-2)=913D、(0,0)C、D、D、C、(-8,0)D、r1)V3丿)「1)(1]C、-,+8D、0,—1L2丿V2」2、图像和性质a>10<a<1图像］厂f~~;性质定义域：值域：过定点，即当x—1时，y—0在R上是在R上是非奇非偶函数3、同底的指数函数y—ax与对数函数y—logx互为反函数，它们的图像关于直线y—x对称.a

考点一、化简和求值例1、⑴2log510+log50.25=()TOC\o"1-5"\h\zA、0B、1C、2D、4解析：2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2⑵计算：(log2+log2)-(log3+log3).3948解：原式—(亘+空).(亘+亘)—(昭+竺).(旦+旦)—坯.陛—5解：、式(lg3Ig9)(lg4lg8)(lg321g3)(21g23lg2)2lg36lg24-变式、⑴(辽宁卷文10)设2a+5b—m，且丄+；=2，则m—()abA、J10B、10C、20D、100⑵已知3a—2，用a表示log4—log6；33⑶已知log2—a，3b—5，用a、b表示log30.33第第4页共12页第第3页共12页考点二、比较大小例2、较下列比较下列各组数中两个值的大小：⑴log7,log6；67⑵1咛，log0.8；2(3)1.10.9,log0.9,log0.8；1.10.7⑷log53,log3,log3.67答案：(1)>；(2)>；(3)>,>；(4)>,>.变式、⑴已知函数/(x)=llgxl,若1＞。＞方＞1,则f(a)、/(方)、/(c)从小到大依次c；a<c<b⑵已知log4<logm4,比较观，"的大小.解：log4<logm⑵已知log4<logm4,比较观，"的大小.解：log4<logm4,logn<logm,44logn<logm,440<m<1,n>l,1111<,当m>l,”>1时，得0<<,logmlognlogmlogn444411m>n>l.当0vnzvl,Ov〃vl时，得<<0,logmlogn440<n<m<1.当0vnzvl,”>1时，得logm<0,0<logn,44综上所述，m,"的大小关系为加＞〃＞1或Ov〃v加vl或Ov加vlv”.考点三、解与对数相关的不等式例3、⑴解不等式log(X-1)＞2.x-3x-l>0或x-l>0或<0<兀一3<1x—1W(x—3)2解：原不等式等价于＜兀-3＞1x—in(x—3)2解之得：4GW5・••原不等式的解集为{jU4VkW5}⑵解关于工的不等式：log(4+3x-%2)-log(2x-1)>log2,(a>0,aHl).TOC\o"1-5"\h\zaaa解：原不等式可化为log(4+3X-X2)>log2(2x-l)1x>—211x>—21-1<x<4=^>—<x<22—3<x<22x-l>0当a>l时有<4+3兀一兀2>0二>4+3x—x2>2(2x—1)(其实中间一个不等式可省，为什么？让学生思考)

2x-l>0当OVaVl时有<4+3兀一兀2>04+3x—x2<2(2x—1)兀>一2=^><—1<x<4=^>2<x<4x<一3或兀>兀>一2=^><—1<x<4=^>2<x<4x<一3或兀>2「一r⑶解不等式Xlogax>02解：两边取以a为底的对数:9TOC\o"1-5"\h\z当Ovavl时原不等式化为：(logx)2<-logx-2a2a(logx-4)(2logx-1)<0,—<logx<4,a<x<4aaa2a9当a>l时原不等式化为：(logx)2>-logx-2a2a(logx-4)(2logx-1)>0,logx>4或logx<—,.:兀>或0<兀<Joaaaa2原不等式的解集为｛兀丨°4<兀<Ja,0<a<1｝或｛x\x>a4或0<兀<^a,a>1｝考点四、对数型函数的性质定义域、值域3x2/1、A、(-产)B、(--,1)C、333/1、A、(-产)B、(--,1)C、333flJTT人、[2)fl)BflJTT人、[2)fl)B、-,1U11,+oo丿C、—,+ooD、—,+oo(2J(3J(2丿A、(0,+oo)B、[0,+oo)C、(l,+oo)D、11,+oo⑵函数J=logJ3x-2的定义域是()(2x-l)A、A、3)⑶函数/(x)=logGx+17的值域为()2变式、求函数y=-兀)的定义域单调性、奇偶性第第6页共12页第第5页共12页例5、⑴函数J=log3(x2—2x)的单调减区间是.解：令W=X2—2x,贝ljJ=log3w.Vj=log3w是增函数，u=x2—2x>0的减区间是(一GO,0),.*.J=log3(X2—2x)的减区间是(一oo,0).⑵设OVaVl,函数/(x)=logfl(«2r-2«x-2),则使/(x)<0的工的取值范围是()A、(—8,0)B、(0,+«=>)C、logfl3)D、(logfl3,+-)解：由»<0,即as—2如一2>1,整理得(m—3)(m+l)>0,则ar>3..*.x<logfl3.2—x⑶函数丁=10场2+兀的图象()A、关于原点对称B、关于直线丁=一x对称C、关于y轴对称D、关于直线y=x对称2-x解：•.沧)=10^22+'•:A-X)2+x2-x一log9一-log9.-x)—-f(x),•/(x)疋口j函数.故选A.22-x22+x变式、⑴若log学乞<0,则a的取值范围是()2a1+aA、(|,+oo)B、(1,+s)C、(|,1)D、(0,|)⑵若log(«2+1)<log2a<0,则a的取值范围是.aa⑶若函数/(x)=log(X+\''%2+2(22)是奇函数，贝lja=a综合应用例6、设函数»=logjl-^,其中0VaVl.⑴证明：乐)是(a,+°°)上的减函数；⑵解不等式»>1.解析：(1)证明:设OVaVxVx,g(x)=l-~,丄/X•*-g(^1)<g(^2)-又TOVaVl，・\/(工1)>乐2)・•在(a,+oo)上是减函数.

x>a,(2)7i°4i_xx>a,(2)7i°4i_x>1,0<1—-Va,解得:JCX产,I1—Q.••不等式的解集为：｛血＜工＜芒｝._Ld变式、已知函数/（x）=log（3+2X-X2）.2⑴求函数/（兀）的定义域；⑵求证/（兀）在xe（l,3）±是减函数；⑶求函数/（兀）的值域.随堂巩固1、log3+log2等于(66B、1、log3+log2等于(66B、5A、6C、1D、log52、在b=log,、3中，实数a的取值范围是（）A.a<2G-2)B、a>2C、2＜。＜3,或。＞3D、a>33、下列格式中成立的是（）A、logb2-A、logb2-IlogbaaB、log|xy|=logaX+logaD、JQlog-=logy-logXayaaA、1<J23a<—25、已知ab=M(a>Q,b>Q,M^1),D、JQlog-=logy-logXayaaA、1<J23a<—25、已知ab=M(a>Q,b>Q,M^1),且logB、0＜。＜1或1＜D、0<a<—sKa>13则log。等于（MB、1+xD、x—16、（08山东济宁）已知logg9=a,log5=b,则lg3等于(2A、B、3a2(b-1)3a°、2(b+l)D、3(a-l)2bC、log(xy)=log(x)・/og(y)aaa4.log|＞1,则a的取值范围是（a37、已知函数fG）=Zg（3x+2）的定义域为尸，函数g（x）=/g（x-l）+/g（x-2）7、G,那么（）第第7页共12页A、G$FB、G=FC、FyGD、FlG=08、（08山东）已知函数/G）=3x,x<0logx,%>02A、-1B、log^3D、A、9=0,B、9、若宓6丄A、G$FB、G=FC、FyGD、FlG=08、（08山东）已知函数/G）=3x,x<0logx,%>02A、-1B、log^3D、A、9=0,B、9、若宓6丄则塔2等于（D、10、若log23.1og34AAlog^32=M,则M的值是（A、5B、6C、7D、811、已知“log/,那么1。导-2叫6用。表示是（A、12、q—25_ac、3°—（1+q）2已知偶函数/G）在b,4〕上单调递减，那么/（log8）与/'（T）的大小关系是（）D、3a——1A、/(^8)>/(-71)2c、/(log丄8)V/(-71)2B、/(log^8)=/(-7l)2D、不能确定13、若10电l-2x9则兀二14、已知：lg21.3=a,则lgO.213=15、logx>logG+l）,则a的取值范围为:a2-la2-l16、比较大小（1）10g3I，81（）g327；（2）1°g566；17、若xlog4=1,则4a-+4-a-=；318、已知logx=l,logx=2,logx=4,则log兀二abcabc19、(08山东)知lgx+lgy=21g(x-2y),求log逅x—的值.20、⑴已知lg2=a,lg3=Z?,试用a、b表示log^5；第第8页共12页⑵已知log23=a,log37^,试用。、"表示1。乳56.21、已知j\X)=lgv^+1—x7.⑴求/(x)的定义域；⑵求证：/(X)是奇函数.22、解关于兀的不等式:log(4+3兀一兀2)—log(2x-1)>log2,(a>0,aHl)aaa解：原不等式可化为log(4+3X-X2)>log2(2x-l)aaf2x-l>0当a>l时有f2x-l>0当a>l时有<4+3x—>04+3x—>2(2x—1)1兀>—21二><—l<x<4=>—<无<22—3<x<2f2x-l>0当Ovavl时有f2x-l>0当Ovavl时有<4+3x—x2>04+3x—jv2<2(2x—1)1%>—2=^><—1<x<4=^>2<x<4x<一3或;r>2当a>l时不等式的解集为+<兀<2；当Ovavl时不等式的解集为2<x<4课后巩固1、logN=a(b>0,b^l,N>0)对应的指数式是()b第第10页共12页A、ab=NB、ba=NC、aN=bD、bN=a2、设5igx=25，则x的值等于（）11、比较两个对数值的大小：ln7ln12；log0.70.5log0.50・8.A、10B、0.01C、100D、100012、3、logHog（logx）］=o，那么x-2等于（）43213、A、2B、C、4D、14、计算（lg5）2+lg2•lg50=.函数fC）=lgx2+1-^是函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.函数y=ax的反函数的图像经过点6,2）,则a的值为.已知函数fCx）=log（x+1），g（x）=logG-x）（a>0,且a丰1）a4、化简log4•log5•log8•log9的结果是（）34583A、1B、C、2D、3215、a⑴求函数f（x）+gG）的定义域；（10分）⑵判断函数fG）+gG）的奇偶性.（10分）5、函数y=.log（x-1）的定义域是（1“2A、C+s）B、（—8,2）C、）（2,+^）D、6,2】6、若log9<log9<0,那么m,n满足的条件是（）mnA、m>n>1B、n>m>1c、0<n<m<1D、0<m<n<17、若log2<1,则a的取值范围是（）a3A、8、（o,3n+s）

函数y=log丄（x2（2）

B、—,+s13丿-6x+17）的值域是C、2A、RB、k,+s）C、（-8,-3）D、y[2,+JV3丿16、已知log4<log4,mn解:Vlog4<log4,mn.•.logn<logm,44D、b,+s）比较m,n的大小。111・•・<，当m>1,n>1时，得0<<,logmlognlogmlogn444411m>n>1.当0<m<1,0<n<1时，得<<0,4n0<logn，4（2I9、函数y=lg-——-1的图像关于（）V1-x丿a、y轴对称b、x轴对称c、原点对称D、直线y=x对称10、图中的曲线是y=loga431x的