立体几何中球的内切和外接问题完美版

关于立体几何中球的内切和外接问题完美版第1页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，

则称这个多面体是这个球的内接多面体，

这个球是这个。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，

则称这个多面体是这个球的外切多面体，

这个球是这个。一、球体的体积与表面积①②多面体的外接球多面体的内切球第2页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五剖析定义1一、由球心的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球球心。第3页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五一、定义法针对讲解1第4页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五

求正方体、长方体的外接球的有关问题2第5页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五2②出现正四面体外接球时利用构造法(补形法)，联系正方体。求正方体、长方体的外接球的有关问题例2.（全国卷）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）

A.B.C.D.第6页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五破译规律-特别提醒2第7页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五球与正四面体内切接问题3【例3】求棱长为a的正四面体内切球的体积．第8页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五球与正四面体内切接问题3第9页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五正四面体内切、外接结论3

球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体（棱长为a）的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1.外接球半径：

内切球半径：结论：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径(为正四面体的高)，且外接球的半径．2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。第10页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五1例4、正三棱锥的高为1，底面边长为。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。过侧棱AB与球心O作截面(如图)在正三棱锥中，BE是正△BCD的高，O1

是正△BCD的中心，且AE为斜高解法1：O1ABEOCD作OF⊥AE于FF设内切球半径为r，则OA=1－r∵Rt△AFO∽Rt△AO1E

第11页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五例4、正三棱锥的高为1，底面边长为。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。

解法2：设球的半径为r，则VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD注意：①割补法，②O1ABEOCD第12页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A

．①②Ｂ．②④Ｃ．①②③Ｄ．②③④①②③④第13页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五ABCDD1C1B1A1O球的内接正方体的对角线等于球直径。第14页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五变式训练：已知正四面体内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，

则（）

A．以下四个图形都是正确的B．只有②④是正确的C．只有④是正确的D．只有①②是正确的①

②③④

D第15页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五ABCDOABCDO求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径解法2：第16页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。4解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径，从而解决问题。第17页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五正棱锥的外接球的球心是在其高上5第18页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五正棱锥的外接球的球心是在其高上5第19页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心6第20页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。7第21页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五破译规律-特别提醒03第22页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五例题剖析-针对讲解2第23页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五举一反三-突破提升04第24页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五举一反三-突破提升41、（2015海淀二模）已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为______.第25页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五举一反三-突破提升42、（2015郑州三模）正三角形ABC的边长为

，将它沿高AD翻折，使点B

与点C间的距离为

，此时四面体ABCD的外接球的体积为

。

等边三角形第26页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五举一反三-突破提升43.(2015南昌二模）某几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是（）C第27页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五举一反三-突破提升44.（2015石家庄一模）三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,Q为底面内一点，若Q到三个侧面的距离分别为3,4,5,则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为

第28页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五-29-考点一考点二考点三举一反三-突破提升4第29页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五-30-考点一考点二考点三举一反三-突破提升4第30页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五-31-举一反三-突破提升4第31页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五-32-举一反三-突破提升4第32页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五.四棱锥P—ABCD，底面ABCD是边长为6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥的各个面相切，则此四棱锥的体积为（）

A．15B．24C．27D．30举一反三-突破提升4第33页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五举一反三-突破提升4第34页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五举一反三-突破提升4第35页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五举一反三-突破提升4第36页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五举一反三-突破提升4第37页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五举一反三-突破提升4第38页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五正视图侧视图俯视图第39页，共46页，2022年，5月20日，15点9分，星期五第40页，共46页，2022年，5月20