北理826六年真题

机密★启用前北京理工大学2003年攻读硕士学位研究生试题答案必须书写在答题纸上，在试题和草稿纸上答题无效。入学考试试题科目代码:科目名称:426 科目分号：0111信号处理导论注：试题上不准填写准考证号和姓名一.（30分）简述题（每小题3分）1.一个LTI系统有多种描述方法，试给出五种方法，并指出它们之间的联系。2.一个确定信号在频域用傅里叶变换表示，试按信号在时域是周期、非周期、连续、离散，分别写出相应形式的傅里叶变换。离散傅里叶变换（DFT）是其中一种形式吗?3.一个存在全部时域（-8,+8）的周期信号，如果要求在变换域求其作用于LTI系统的响应，应采用傅里叶变换还是拉氏变换？或者两种变换都可采用？为什么？4.若由下列系统函数描述的离散时间系统是稳定的，那它一定是因果的吗？为什么？5.根据下列微分方程，能否判定该系统是稳定的吗？为什么？6.由下式描述的系统是时不变的吗？为什么？（式中的x（n），y（n）分别表示系统的输入和输出）y(n)=野3-n(!)n-kx(k)k=一87.试给出设计数字滤波器的一般步骤。8.98.9.如何保证所设计的FIR数字滤波器具有线性相位?能否仅根据其频率响应的有限个取样值，确定出该数字滤波器？说明你的理由。10.10..（25分）考虑一个离散时间LTI系统，当其输入为

x(n)=8(n)+上8(N-1)2相应的输出为y(n)=(：)nu(n)(10分)用时域法求此系统的单位抽样响应h(n)；(10分)用z变换法求此系统的单位抽样响应h(n)；(5分)给出描述此系统的差分方程，并画出模拟框图。(25分)考虑一个输入、输出分别为f(t)和y(t)的连续时间系统，其系统函数为H(s)=(3分)画出H(s)的极点和零点图；(5分)假定H(s)是稳定的，确定其收敛域，并求系统的单位冲激响应h(t)；(5分)求描述此系统的线性常系数微分方程，并画出其直接II型框图；(5分)若输入f(t)=exp(-0.5t)，对全部t，求系统输出y(t)；(7分)确定描述此系统的状态方程和输出方程，并求状态转移矩阵中(t)。(25(25分)已知系统框图如图1(a)所示，其中输入信号x(t)为周期性矩形脉冲，如图1(b(b)所示；8T(t)为周期性单位冲激串，统的冲激响应，其表达式分别为其周期TT；h(t),h2(t)分别是图中两个子系2sin(兀2sin(兀t)h1(t)=-^—8<t<+8（5分）求x（t）的频谱X（j）的表示式，并画出其频谱图（注明过零点的频率值）；（5分）求*（t）的频谱匕的表示式，并画出其频谱图；（5分）求匕（j）的表示式（以匕（沁）表示），并画出其频谱图；该频谱会发生混叠吗？为什么？（5分）写出七（加）的表示式（以七（加）表示），并画出其频谱图；（5分）写出y（t）的频谱y（j^）的表示式，指明yC/3）对应的原信号y（t）有何特点。（20分）设有两个实序列气（n）和X2（n），其长度分别为8192和64,试给出快速计算气（n）和x^n）线性卷积的方法步骤及其相应的运算量。要求利用基2FFT，同时尽量减少乘法运算次数。（25分）关于IIR数字滤波器：（15分）给出一般形式的IIR数字滤波器的三种基本结构，即直接型、级联型和并联型，并指出上述三种结构的优缺点及应用场合。（10分）证明采用双线性变换方法设计的IIR数字滤波器与原模拟滤波器具有相类似的特性。机密★启用前试题答案必须书写在答题纸上，在试题和草稿纸上答题无效。北京理工大学2004年攻读硕士学位研究生机密★启用前试题答案必须书写在答题纸上，在试题和草稿纸上答题无效。入学考试试题科目代码： 426 科目分号：科目名称： 信号处理导论 注：®表示数字频率一.(30分)简述题(每小题5分)画出函数5(COS。的波形，并计算积分值：A=j+兀(1+1)5(cost)dt—兀已知x(n)=(n+1)[u(n)—u(n—4)],画出下列函数的图形：y(n)=x(2n+1)+5(n—2)x(n)13.已知LTI系统的输入和输出满足如下关系、5一1、 .、如=祝3十"k=一8试确定该系统是否因果、稳定，并说明理由。14.15.系统函数H(z)= 1 ,其中Ia1<1,试问arg{a}无论如何取值，H(z14.15.1—aZ—1的一定是低通滤波器吗？为什么？已知序列x(n)={1,2,3,4}和y(n)={0,0,1,1}，给出x(n)和y(n)的4点圆周卷积和4点圆周相关的结果。16.利用双线性法，从模拟低通设计数字低通滤波器时，为什么要预畸？简单说明预畸的作法？.(25分)已知一个因果LTI离散时间系统的初始条件为y0(0)=2，y0(1)=1，当输入序列x(n)=u(n)时，其完全响应为y(n)=[0.5+4(2)n—2.5(3)n]u(n)要求：1.(8分)系统的零输入响应y0(n)。(5分)系统函数H(z)，并画出其零极点图。(5分)判断此系统的频率响应函数Hg是否存在。如存在，请写出其表示式；如不存在，请说明原因。(7分)由H(Z)写出系统的状态方程的A、B、C、D矩阵。(25分)某系统由两个LTI子系统并联而成，其中一个子系统的单位抽样响应为%(%)=(3)nu(n)，并联后的系统频率响应为H(e加)=T2+%5-沁12—7e-沁+e-j2«(8分)求另一个子系统的单位抽样响应h2(n)；(8分)假设系统输入x(n)—(^)nu(n)，用频域分析法分别求两个子系统的输出yi(n)和y2(n)；(4分)在相同输入的情况下，求并联系统的输出y(n)；(5分)写出并联系统联系输入和输出的差分方程，并画出模拟图。(25分)已知一个LTI系统在以下三种输入信号的情况下具有相同初始条件，当输入信号为气⑺=8(t)时，其全响应为yi(t)=8(t)+e-tu(t)；当输入信号为x2(t)=〃⑺时，其全响应为y()=3e-tu(t)。要求：(12分)根据以上两个条件，求出该系统的H(s)，h(t)和系统的零输入响应y0(t)；(8分)用拉氏变换法求当输入信号x3(t)=tu(t)+(t-1)u(t-1)时的零状态响应及全响应；(5分)画出该系统的任意一种模拟图和幅频特性曲线。(25分)关于FFT及其应用：(15分)设有一有限长实序列x(n)，0<n<N-1，试给出利用基2FFT计算自相关序列y(n)的方法步骤，要求尽量减少乘法运算次数。(提示：自相关指x(n)与其自身的线性相关)(10分)给出按频率抽取(DIF)基2FFT算法的蝶形运算公式，画出N=8时相应的算法流图，并说明其特点。(20分)设理想数字带通滤波器的幅频响应为TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"\H（"）1=」 4 2d JU 710 1（0*—, —<|CO|<71\o"CurrentDocument"〔 4, 2要求用频率取样设计法设计相应的N=17时的线性相位FIR数字带通滤波器:（5分）确定频率取样值H（k）,k=0,1,,N-1；（5分）给出系统函数H（z）；（5分）给出频率响应H（e加）；（5分）画出系统的任意一种结构图。★答卷须知：试题答案必须书写在答题纸上，在试题和草稿纸上答题无效。北京理工大学★答卷须知：试题答案必须书写在答题纸上，在试题和草稿纸上答题无效。2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目代码：426 科目名称： 信号处理导论.(30分)简述题(每小题5分)由差分方程y[ni+2y[n-1]=X[n]描述的系统在什么条件下是稳定的。已知LTI系统，给定初始状态不变，当输入为x(it)=u(t)时，系统全响应为y(t)=(2e-2t-3e-3t)u(t)；当输入为x(t)=3u(t)时，系统全响应为y(^)=(4e-2t-5e-3t>^u(t)；问给定初始状态下的零输入响应y0(t)为何？两个离散时间信号都是从0时刻开始取值为1，长度为4的序列，分别求它们的线性卷积和4点圆周卷积。确定如下信号的奈奎斯特抽样率x(t)=sin(200t)+sin(50t)一个连续时间信号的拉氏变换X(s)有两个极点七=2,%=-1，指出X(s)所有可能的收敛域(ROC)，并对每一种ROC指出其反变换x(t)可能是下述哪一种函数：右边；左边；双边。22.已知一个连续时间信号的最高频率成分不超过5kHz，按10kHz进行抽样，得到离散信号；对此离散信号作DTFT，在切=。・3冗处存在一个冲激串。问：(1)在①轴其它位置是否也有冲激，若有，写出其位置的值；这个冲激对应的模拟信号的频率值是多大？.(25分)已知系统的单位冲激响应ht)=u(t)-u(t-T)，求：(9分)系统函数H(s)及频率响应Hg，并画出Hg的幅频特性和相频特性；(8分)当输入为h(t)=u(t)-u(t-T)时，求系统的零状态响应yx(t)，并画出其波形；

（3）（8分）当输入为%（t）=*（1—e-3t）5（t-nT）时，求系统的零状态响应yx（t）,n=0并画出其波形。（25分）已知系统如图3所示%1(t)=——[3&0其它求:（1）（7%1(t)=——[3&0其它求:（1）（7分）写出X]（①）的表达式，画出X1（必）及X2（®）的频谱图;(2)（6分）画出X3（园的频谱图;(3)（6分）画出X4（切）的频谱图;（4）（6分）画出X5（®）的频谱图，并求出X（）的数学表示式。冗rsin①t,『]2切-EI①1<3©0其它四.（25分）已知一个离散时间LTI系统的抽样响应h[n]如图4（a）所示，其中k是未知四.整数，a,b,c是未知实数，已知hn]满足如下条件：（1） 设H（幻3）是hn]的DTFT，且H（ej©）为实偶函数；（2） 若输入Xn]=（-1）n=ej©n，—8<n<s，则输出为y[n]=0；TOC\o"1-5"\h\z9（3）若输入X[n]=Q）n«[n]，则输出y[n]| ；n=22试确定：（1）（7分）系统函数H（z）（表达式中允许带未知数）；（2） （12分）系统的单位抽样响应枷]（即确定nn中未知数的值）（提示：先确定k的值及a与c的关系）（3） （6分）系统在如图4（b）所示x[n]作用下的零状态响应y[n]；xh[n]TOC\o"1-5"\h\z* x[n] 2a 中仆 c 1• ►n ——♦ ►n…k+1 - 01「「图4（a） 图4（b）五.（25分）关于DFT和FFT（15分）设有一有限长序列x[n],N=0,1,2,,N-1,需要用DFT计算其频谱，为减小栅栏效应和频谱泄漏，通常有效的做法是在序列的末端添加若干零，同时采用窗函数技术。假定补零后的序列记为y[n],其长度为L（L>N）,并用基2FFT计算其频谱。试求：（1）（4分）加权窗函数w[n]的长度；（2） （4分）加窗处理后序列z[n]的表达式；（3） （7分）说明为什么这样做可以减小栅栏效应和频谱泄漏。（10分）给出按时间抽取（DIT）基2FFT算法的蝶形运算公式（3分），画出N=8时相应的算法流图（5分），并说明其特点（2分）。六.（20分）设理想数字带通滤波器的幅频响应为n n,…]1 41①|弓"|o i④i<n,n<|④i<nI 4,2要求用窗函数（矩型窗）设计法设计相应的N=7时的线性相位因果FIR数字带通滤波器:（1） （10分）确定单位脉冲响应序列的值尬］，n=0,1,,6，并画出其波形图;（2） （5分）给出其系统函数H（z）和频率响应Hg）的表达式；（3） （5分）画出系统的线性相位型结构图。注：所有小数取小数点后两位即可。06426信号处理导论说明：小写的①是数字角频率，大写的Q是模拟角频率。一、(30分)基本知识题(每小题5分)已知信号工(1一2。的波形如图1所示，试画出x(t)"(l—。的波形。TOC\o"1-5"\h\zIlli I I *-4 -10 12 4t图1已知信号x0(t)如图2所示，其傅立叶变换为X0(Q)，求图三所示信号x(t)的傅立叶变换(用X0(Q)表示)。图2 图3时间序列x[n]=cos®0〃,一8<n<+8一定是周期的吗？为什么？s+1已知系统函数H(s)= 於，画出可能的收敛域；系统能否是因果稳定的，说明理s2+s一6由。计算有限长时间序列x(n)=eg+cos(£n),0<n<N—1的n点DFT的值X(k),0<k<N—1。6.试证明如果x(n)为一有限长实偶对称序列，即x(n)=X(N—n),0<n<N—1，则它的DFT序列X(k)一定也是实偶对称序列。/、2sin2兀tsin4兀t ,、二、(25分)已知系统如图4所示，其中x(t)= 瓦 ，七(t)为幅度为1的周期J1,i2^<q<18兀冲激串，H1(Q)=" 其它(5分)求X](Q)的表达式，并画出频谱图；(5分)求x2(Q)的频谱图；⑶(15分)若要使输出等于输入，试确定")和周期冲激串七⑺的周期，并画出x3(Q)的频谱图。x(^^Ahw^A^h^2)cos12it x(t)图4k三、(25分)有一LTI系统如图5所示，其中子系统H2(5)=-~1，子系统H(s)满足条件.当子系统H(s)的输入为x(t)=2e-3tu(t)时，对应H(s)的输出为y(t),即: 1 1 ， 1 1 ，y(t)=f[x(t)]，并且f[dx(t)]=-3y(t)+e-、u(t)成立。1 1 dt1 1(10分)求子系统H1(s)的单位冲激响应h()；(5分)求整个系统的H(s)；(5分)若要使整个系统稳定，确定k的取值范围；(5分)当k—5时，若整个系统的输入为x(t)=e3t,—8<f<8，求整个系统的输出y(t)。图5四、(20分)某系统单位抽样响应h[n]和它的乙变换H(z)符合下列条件:h[n]是实因果序列；H(z)有两个极点；H(z)有两个零点位于坐标原点;H(z)的一个极点是z=3*：；H⑴=9求：(1)(10分)H(z)及其收敛域；(5分)写出对应的差分方程；(5分)画出系统直接II型结构框图。五、 关于DFT和FFT(15分)设有两个有限长序列x(n),-N0<n<N1-1和y(n),0<n<N2-1,其中N0、吐和也均为大于零的正整数，如果要求用基-2FFT计算x(n)和y(n)的线性卷积，试给出相应的快速卷积法的算法步骤(10分)，并分析算法的复数乘法次数(5分)。(注：必要时可借助图形表示)(15分)推导按频率抽取(DIF)基-2FFT算法的蝶形运算公式(8分)，并画出N=8时对应的FFT算法流图(7分)。六、 (20分)设理想数字高通滤波器的幅频响应为13兀/4<|创<兀H(ej^)=<011闽<3兀/4要求用频率取样法设计相应的N=15时的线性相位因果FIR数字高通滤波器:(10分)确定H(k),0<k<N-1，并画出其幅值的图形；(5分)确定滤波器的系统函数H(Z)；(5分)画出滤波器的任意一种结构图。北京理工大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题简答题(10*5=50分)设有一信号x(t)=8(t)-35(t-4)，画出x(1-2t)的信号波形。一个理想延迟系统y(t)=x(t-1)，其中x(t)为输入，y(t)为输出，写出其单d位冲激相应和频率响应。n 一一个累加器系统y(n)=Z x(k),x(n)为输入，y(n)为输出，写出该系k=—8统的差分方程，并画出模拟框图。设一实序列x(n)=anu(n)，(其中lal<1)，写出其离散时间傅立叶变化X(e川)，并证明其满足共轭对称性。对于一个具有如下频率响应的理想滤波器，写出其单位脉冲响应h(n)，并指出它是什么类型的滤波器。H(ew)=f—Jwnd，Wc<|讪5

0,lwl<wc已知一线性时不变系统，当其输入为图1(a)时，其输出如图1(b)，求其单位冲激响应h(t)。x(t) y(t)(a) (b)一个离散时间LTI全通系统(全通系统的频率响应的膜为常数)，设其单位脉冲响应为h(n)，简要说明如下两个系统也是全通系统。

h(n)*h(n)(-1)nh(n)x(t)是已录制在磁带上的声音信号，x(t)—X(Q)，分别指出X(Q/2),X(2Q)是以何种速度播放。已知一离散时间系统y(n)=nx(n)+1，x(n)为系统输入，y(n)为输出。试判断该系统是否是线性的、时不变、因果的和稳定的。实连续时间信号x(t)是由频率为30Hz和80Hz两个正弦信号组成，用采样频率f=100Hz对其采样，试问采样后的信号在0〜50Hz的范围内的频谱中由哪些频率分量。(20分)一个如图2所示的因果连续时间系统。确定k值的范围，使闭环系统是一稳定系统；对于某特定的k值，闭环系统具有两个实极点，其中一个极点为s=-1，确定另一极点及相应的k值，并求闭环系统的单位阶跃响应。在(2)的条件下，系统初始值y0(0)=1,yy)=0，若使系统的全响应y(t)=0，求系统的输入。s2—s2—2s+1y(t)(20分)信号x(t)作用于一个连续时间LTI系统，其输出y(t)的卷积形式给出如下：y(t)T—t、.产x(T)w( )y(t)a(1)写出系统的单位冲激响应h(t)和频率响应H(Q)的表达式(设w(t)的傅立叶变换为W(Q))；sm兀t(2)当w(t)=~nr~C°Snt，求出傅立叶变换w(Q)和H(Q)，画出二者

的频域图形并注明主要频率参数；指明系统是何种滤波器？写出在H(Q)〜Q图形中，通带宽度、通带中心频率以及二者之比的表达式；讨论参数a变化时，三者的变化情况。四、(20分)(10分)一个稳定LTI系统，其输入x0(n)，输出y0(n)如图3(a)所示。(1)求该系统的单位脉冲响应h(n)，画出h(n)的图形；(2)当对系统施加如图3(b)所示的输入气(n)时，求系统响应y(n)。x(x(n)2—I 1 ►ni=^>-101 n炊)2一2-1o I 12 n-2(a)x(a)x(n)(b)图3(10分)画出基-2按时间抽取的8点FFT流图；写出利用N点基-2FFT算法计算2N点实序列FFT的步骤。五(20分)用脉冲响应不变法设计巴特渥斯(Butterworth)数字低通滤波器。其技术指标为：0.7079<1H(ejw)|<1,0<1w1<0.15兀IH(ejw)|<0.3162,0.5兀<1w1<兀设抽样间隔T=1。(1)设计模拟巴特渥斯低通滤波器，给出其零极点图及系统函数";(1)(2)求出数字低通滤波器的系统函数(2)求出数字低通滤波器的系统函数H(Z，画出零极图;(3)(4)给出数字低通滤波器的差分方程及结构图。简述脉冲响应不变法和双线性变换法的优缺点。(3)(4)给出数字低通滤波器的差分方程及结构图。简述脉冲响应不变法和双线性变换法的优缺点。设计公式：(i)巴特渥斯模拟滤波器的极点为..2k—1、S^=Qej(2F),k=12・・.NS平面到Z平面的映射为4nAks—s 1—eskTz—ik k(iii)(iv)所有小数取小数点后3位。巴特渥斯模拟滤波器的阶数lOg(10-0.1a—1)N=,_g10 min2log10(Qs/Q),amin为阻带最小衰减，其值为对应于阻带指标0.3162的分贝数；Qc,Qs分别为通带边界频率和阻带边界频率。(ii)六、(20分)一个离散时间LTI系统，输入x(n)，输出为y(n)。已知下列情况:a.若对全部n，x(n)=(-2)n；则对全部n，有y(n)=°；a.b.若对全部n，x(n)=(1/2)nu(n)；则对全部n，有y(n)=5(n)+q(1/4)nu(n)，其中a为一常数。求常数a的值；画出系统并联结构图；当输入为Xn)=(1/3)nu(n)时，求系统的响应y(n)北京理工大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题

注：o数字频率，Q为模拟频率一，(50分)简答题(本题包含10道小题，每题5分)已知连续时间信号x(t)=25(t-1)+u(t-2)+u(t-3)-2u(t-4),画出x(t)和x(1-2t)的信号波形。已知系统输入x(t)和输出y(t)的关系：y(t)=sin[x(t)]，试推断该系统是否为时不变系统。利用DFT对一连续信号x(t)进行频谱分析，抽样间隔T=0.1x10-3秒，要求频率分辨率不大于10HZ。确定所允许处s理信号x(t)的最高频率，最少取样点数(必须是2的整数次方)和最短记录时间各是多少？一个实系数差分方程描述的线性相位FIR系统，已知中的3个零点分别为1,0.6,0.5+j0.5。试问该系统的阶数至少是多少？已知一个理想低通数字滤波器的单位脉冲响应为h(n)，频率响应为H(ejw)，其中0,^<^<KF试问：«(n=(—Dnh(n)是低通，高通，带通还是带阻滤波器？画出它的幅频特性IH1(ejw)1的图形。已知一个LTI系统的输入x(t)和输出y(t)的关系：1 〃 .y(t)= 』t+t2x(t对T+Tt-T 其中是T，T非负实1 2 1 1 2数，利用特征函数的概念求该系统的单位冲激响应h(t)，并画出其波形。已知连续时间实信号x(t)的傅里叶变换为x(Q)，证明：|X(Q)|=|X(—Q)|和argX(Q)=—argX(—Q)已知某LTI系统的频率响应为：H(jQ)=1—]Q，判断该系统1+jQ是否为无失真传输系统，说明其原因。计算离散时间序列x(n)=2nu(—n+1)的离散时间傅里叶变换X(e加)。已知某系统的单位冲激响应h(t)=e?u()，输入为x(t)=f(t)[u(t)—u(t—2)]+P5(t—2)其中f(t)为t的任意函数。求t>2时系统的输出y(t)；若要求系统在t>2的输出为零，试确定"勺值。二，(20分)解答如下问题:求如下连续时间信号的傅里叶系数七kx(t)二sin(2兀ft),-8<t<+8,f0=40OHZ；画出如下连续时间信号的幅度谱，并注明相关参数[sin。ft) 0<t<t""=|。0其它'其中)=5xlg秒-f0=400HZ若对(1)中的信号x1(t)均匀抽样，抽样时间间隔为T=10-3秒，由此得到的离散时间序歹IJ:气⑴=s例nTn)=s小河(判断该序列是否为周期序列，若是，求其离散傅里叶系数X](k)，画出频谱若对(2)中的信号x2(t)均匀抽样，抽样间隔为T=10-3秒，由此得到有限长离散时间序列