高中数学必修二试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页2021-2022学年度高中数学选择性必修二期末模拟试卷（一）一、单选题1．已知数列｛｝的前n项和，第k项满足５＜＜８，则k=A．9 B．8 C．7 D．62．已知等差数列{an}中，a2＝1，a3+a5＝4，则该数列公差为（）A． B．1 C． D．23．等比数列的前项和为，则（）A．-10 B．-16 C．-22 D．-84．关于函数的说法正确的是A．有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值C．没有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值5．已知是公差不为0的等差数列，是与的等比中项，则（）A．－9 B．0 C．9 D．无法确定6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏7．若函数有个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最小值是（）A．2 B． C． D．9．已知是自然对数的底数，设，则（）A． B． C． D．二、多选题10．已知，且，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．11．关于函数，下列说法正确的是（）A．是的极小值点；B．函数有且只有1个零点；C．存在正整数，使得恒成立；D．对任意两个正实数，，且，若，则.三、填空题12．已知，且，，…，，…，则__.13．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a7+a12＝12，则S13＝_____.14．若等差数列的前n项和为，，则___________.15．已知函数，数列的通项公式为，则数列的前项和_________．16．已知数列，满足，，．设数列的前项和为，若存在使得对任意的都成立，则正整数的最小值为_________．17．已知，函数，，若存在一条直线与曲线和均相切，则使不等式恒成立的最小整数的值是__________．四、解答题18．已知函数.（1）求函数的极值；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.19．已知函数．（Ⅰ）求函数的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为的切线，且切点的纵坐标．20．已知函数，其中是自然对数的底数（1）若曲线与直线有交点，求a的最小值；（2）①设，问是否存在最大整数k，使得对任意正数x都成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；②若曲线与直线有两个不同的交点，求证：.21．设函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）令（），其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当，时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．22．已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得任意的成立，则称数列具有性质.（1）分别判断下列数列是否具有性质；(直接写出结论)①②（2）若数列满足，求证:“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件；（3）已知数列中且.若数列具有性质，求数列的通项公式.23．已知函数．（1）若的极小值为，求实数的值；（2）若，求证：．答案第=page1919页，共=sectionpages1515页参考答案1．B解：an∵n＝1时适合an＝2n﹣10，∴an＝2n﹣10．∵5＜ak＜8，∴5＜2k﹣10＜8，∴k＜9，又∵k∈N+，∴k＝8，故选B．2．A【详解】∵等差数列{an}中，a2＝1，a3+a5＝4，∴，解得，∴该数列公差为.故选：A.3．A根据题意，等比数列中，若，则，由，则，得，解得，又由，则有，解得，所以，有.故选：A4．C当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得最大值，没有最小值.故选：C5．B设的公差为d，因为是与的等比中项，所以，即，可得，所以.故选：B.6．B【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选B．7．D函数的定义域为，则，令，则，所以，函数在上为增函数，且.①当时，即当时，对任意的恒成立，所以函数为上的增函数，则函数在上至多只有一个零点，不合乎题意；②当时，即当时，则存在使得，当时，，此时，则函数在上单调递减，当时，，此时，则函数在上单调递增，由于函数有两个零点，当时，；当时，.可得，可得，解得.故选：D.8．D由函数的定义域为，且，所以函数为奇函数．考虑函数在上的单调性，由于，当时，，可得；当时，，，所以，即当时，总有，故函数在上单调递增，而函数为奇函数，即函数在R上递增，令，作出函数的图象，如图所示：由图以及题意可知，仅在上有一解，即，由，解得，即有，设，可得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递减增，所以.故选：D.9．A设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，时，，即，设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立，即，令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即，得：，那么，即，即，综上可知.故选：A10．BC对于A选项，取，，则，但不成立，A选项错误；对于B选项，由可得，即，构造函数，其中，.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，①若，则函数在上单调递增，由可得，且，故；②若，则.综上，，B选项正确；先证明对任意的、且，，不妨设，即证，令，即证，令，则，故函数在上为增函数，当时，，所以，对任意的、且，，因为，则，所以，，可得，C选项正确.对于D选项，取，，则，但，D选项不正确.11．ABD对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数，∴时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，∴是的极小值点，故A正确；对于B选项，，∴，∴函数在上单调递减，又∵，，∴函数有且只有1个零点，故B正确；对于C选项，若，可得，令，则，令，则，∴在上，，函数单调递增，上，，函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得成立，故C错误；对于D选项，由，结合A选项可知，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以，即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确.故选：ABD.12．0，，以此类推，可得出，，，所以所以故答案为：0.13．设等差数列{an}的公差为，则，即，所以.故答案为：.14．2021在等差数列中，，所以，解得，所以，所以，故答案为：202115．因为，所以，，则，，，故答案为：.16．∵，∴，又∵，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，即，又，则，又，又，∴时，，即数列是递增数列，∴当时，取最小值且最小值为，要使对任意的都成立，只需，由此得，∴正整数的最小值为．故答案为：.17．3【详解】分析：求导，表述出公切线，从而会得到的一个表达式，构造函数，求导分析整理即可.详解：，设公切线在上的切点为，在上的切点为，，，在上的切点为，切线方程为，把点代入切线方程：，化简可得，构造函数，则，令即，则在上单调递增，在上单调递减，又，，，故，即，又则使不等式恒成立的最小整数的值是3.故答案为3.18．（1）的极小值为，无极大值；（2）.（1）则，所以当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以的极小值为，无极大值；（2），函数有两个零点，相当于曲线与直线有两个交点.，当时，在单调递减，当时，在单调递增，时，取得极小值，又时，；时，，.19．（Ⅰ）零点为,减区间为，递增区间为；（Ⅱ）证明见解析.【详解】试题分析：（Ⅰ）运用导数与函数的单调性的关系求解；（Ⅱ）借助题设条件构造函数运用导数进行推证.试题解析:（Ⅰ）函数的定义域为．令，得，故的零点为．（）．令，解得．当变化时，，的变化情况如下表：所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）令，则．因为，，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以存在唯一的，使得．当时，．所以曲线存在以为切点，斜率为的切线．由得：．所以．因为，所以，．所以．20．（1）；（2）①存在，；②证明见解析.（1）求出函数的导函数，得出其单调区间，求出的最小值，得到答案.

（2）①当时,，原不等式恒成立．当时,设，即，再设，求出导数分析其单调性，得到其最值，然后再分析的符号，讨论得出的单调性和最值，从而得到答案.

②设，，．由（1）可知,所以，,由①可得，从而可证.【详解】解：（1）由己知得，．由于，所以可得可得得当x变化时，与的变化情况如下表所示：x1－0＋↘极小值↗当时，，所以当时，有最小值因此，当曲线与直线有交点时，．（2）①由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，又，则，原不等式恒成立．．当时，令，则．设，得，故当x变化时，与的变化情况如下表所示：x－0＋↘极小值↗这样，当时，，此时当x变化时，与的变化情况如下表所示：x1－0＋↘极小值↗得，即原不等式恒成立．当时，得，，则在内有唯一零点．此时x变化时，与的变化情况如下表所示：x1＋0－0＋↗极大值↘极小值↗得，即原不等式不恒成立．综上所述，存在最大整数，使得原不等式恒成立．②证明：设，，．由（1）可知所以，由①可得即所以都满足不等式，即，故区间为不等式解集的子集，得21．（Ⅰ）函数的单调增区间，函数的单调减区间．（Ⅱ）；（Ⅲ），或【详解】（Ⅰ）依题意，知的定义域为当时，令，解得．当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以函数的单调增区间，函数的单调减区间．（Ⅱ），，所以，在上恒成立，所以，当时，取得最大值．所以（Ⅲ）当，时，，因为方程在区间内有唯一实数解，所以有唯一实数解．，设，则令，得；，得，在区间上是增函数，在区间上是减函数，，，，所以，或．22．（1）①时，数列具有性质；②时，数列不具有性质.（2）证明见解析（3）.（1）①时，数列具有性质.②时，数列不具有性质.（2），，等号成立，当且仅当，因为数列具有性质，即，所以数列为常数列.必要性：因为数列为常数列，所以，成立，即数列具有性质.（3）数列具有性质，，，.若，矛盾；若则矛盾.所以，所以猜想.证明如下：假设命题不成立，设（），考虑数列，当时具有性质，此时，即或，矛盾，.23．（1）；（2）证明见解析.（1）求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调性与极值，列出方程，即可求解；（2）当时，