2022-2023学年福建省三明市将乐县第四中学高二数学理期末试题含解析

2022-2023学年福建省三明市将乐县第四中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是

（

）A．

B．或

C．

D.或参考答案：D2.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知，则的最大值是A.3

B.

C.0 D.参考答案：A略4.设直线l：y=kx+m（k，m∈Z）与椭圆+=1交于不同两点B、D，与双曲线﹣=1交于不同两点E、F，则满足|BE|=|DF|的直线l共有（）A．5条；B．4条C．3条D．2条参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆、双曲线具有公共的顶点，同时是中心对称图形，由于直线l：y=kx+m（k、m∈Z），结合图形可解【解答】解：由于椭圆、双曲线具有公共的顶点，同时是中心对称图形，双曲线的渐近线方程为y=±x，利用图形可知，使得DF|=|BE|的直线l为：y=±1，y=±x，故选：B．5.函数f(x)=lnx–的零点所在的大致区间是(

)A．(1,2)

B．(2,3)

C．(1,)和(3,4)

D．(e,+∞)参考答案：B6.“x=1”是“”的

（

） A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C．充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略7.设＞1，则，，的大小关系是

（） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜

D．＜＜参考答案：C8.设，，，则a，b，c大小关系是(

)A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据三个数的特征，构造函数，求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可以判断出的大小关系.【详解】解:考查函数，则，在上单调递增，，，即，，故选A.【点睛】本题考查了通过构造函数，利用函数的单调性判断三个数大小问题，根据三个数的特征构造函数是解题的关键.9.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若在直线（其中）上存在点P，使线段PF1的垂直平分线经过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：C分析】由题意得，，设点，由中点公式可得线段的中点，可得线段的斜率与的斜率之积等于，可得，可得e的范围.【详解】解：由题意得，，设点，则由中点公式可得线段的中点，线段的斜率与的斜率之积等于，即，，，，，或舍去，．又椭圆的离心率

，故，故选：C．【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的相关问题，根据题意列出不等式是解题的关键.10.一组样本数据，容量为150，按从小到大的顺序分成5个组，其频数如下表：组号12345频数28322832x那么，第5组的频率为（）A．120 B．30 C．0.8 D．0.2参考答案：D【考点】频率分布表．【分析】根据频率分布表，求出频数与频率即可．【解答】解：根据频率分布表，得；第5组的频数为150﹣28﹣32﹣28﹣32=30∴第5组的频率为=0.2．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如右图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是

.参考答案：255012.直线与直线之间的距离为_____。参考答案：略13.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为________．参考答案：略14.命题“，”的否定是

▲

．参考答案：略15.在数列{an}中，an﹣1=2an，若a5=4，则a4a5a6=

．参考答案：64【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：由an﹣1=2an，a5=4知，数列{an}是等比数列，故a4a5a6=a53=64．故答案为：64．16.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为．参考答案：【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此再求出这组数据的方差．【解答】解：∵数据4，6，5，8，7，6的平均数为=（4+6+5+8+7+6）=6，∴这组数据的方差为S2=×[（4﹣6）2+2×（6﹣6）2+（5﹣6）2+（8﹣6）2+（7﹣6）2]=．故答案为：．17.在如图所示的棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是_________；截得的平面图形中，面积最大的值是________。参考答案：2；3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数有三个极值点。（I）证明：；（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。参考答案：解：（I）因为函数有三个极值点,所以有三个互异的实根.……1分

设则

当时，

在上为增函数;

当时，

在上为减函数;

当时，

在上为增函数;

所以函数在时取极大值,在时取极小值.……3分

当或时,最多只有两个不同实根.

因为有三个不同实根,所以且.

即,且,解得且故.……5分

（II）由（I）的证明可知，当时,有三个极值点.

不妨设为（），则

所以的单调递减区间是,

若在区间上单调递减，则,或,……6分

若,则.由（I）知，,于是

若,则且.由（I）知，

又当时，;…………8分

当时，.

因此,当时，所以且即故或反之,当或时，总可找到使函数在区间上单调递减.……11分综上所述,的取值范围是.………12分19.（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用离心率公式和联立直线方程和椭圆方程，求得A的坐标，解方程可得a，b；（2）求出椭圆方程，求得A，B的坐标，①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设出直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4），联立直线方程求出M，N的坐标，可得直线MN的斜率；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，同理求得M，N的坐标，可得直线MN的斜率．【解答】解：（1）因为e==，即c2=a2，即a2﹣b2=a2，则a2=2b2；故椭圆方程为+=1．由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=4，所以OA=2，即b2+b2=20，解得b2=12；故a=2，b=2；（2）证明：由（1）知，椭圆E的方程为，从而A（4，2），B（﹣4，﹣2）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；，所以kCB=﹣；同理kDB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4）；∴，从而点N的坐标为；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为；∴，即直线MN的斜率为定值﹣1；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（4，﹣2）；仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣；此时CA：x=4，DB：y+2=﹣=﹣（x+4），它们交点M（4，）；BC：y=﹣2，AD：y﹣2=k2（x﹣4），它们交点N（，﹣2），从而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求出交点，考查分类讨论的思想方法，注意直线的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于难题．20.（本小题满分13分）已知二次函数，其导函数的图象如图，（I）求函数；（II）若函数上是单调函数，求实数的取值范围．

参考答案：（I）；（II）（I）由已知，，其图象为直线，且过两点，

，…………………2分

，…………………4分

.……………………6分

（II），…………………7分

,所以,,变化如下:（0，1）1（1，3）3+0－0+↗

↘

↗的单调递增区间为（0，1）和，递减区间为（1，3）.………11分要使函数在区间上是单调函数，则，解得.………………13分

21.(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆过点（1）

求椭圆C的方程；（2）

若PQ是椭圆C的弦，O是原点，且点P的坐标为求点Q的坐标。参考答案：解：(1)的焦点为的焦点为

的方程为（2）设又Q在椭圆上，解之得：或22.（本题满分13分）已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）求过点的圆的切线方程；（Ⅲ）已知，点在圆上运动，求以,为一组邻边的平行四边形的另一个顶点轨迹方程．参考答案：（Ⅰ）因为