教案：体验数学建模-以红绿灯管理为例

课题：体验数学建模——以红绿灯管理为例执教人：郭子瑜一、 教学目标分析1、 能够在熟悉的生活情境中，发现问题并转化为数学问题，了解数学问题的价值与作用。2、 借助已学的数学知识，选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题，建立模型，求解模型；并能根据问题的实际意义检验结果，完善模型，解决问题。3、 在小组活动的建模过程中，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的关联。能够提高团队合作、实践的能力，提高数学建模核心素养，增强创新意识和科学精神。二、 重点与难点1、 重点：将实际问题转化为数学问题，合理建立数学模型。2、 难点：确定主要影响问题的因素、数学模型的选择以及如何改进模型以解决问题。三、 教学过程1、情景与问题徐汇区的百色路——龙川北路路口是地理位置非常重要的交叉路口，东有上海市植物园、西有上海市上海中学，是许多老师、学生上班上学的必经之路，然而该路口经常出现堵车现象。另外，在这个交叉路口的西北方，徐汇区南部医疗中心作为徐汇区“十二五”期间重要推进的公共项目之一，正在实施建设中。可以想象，不久的将来对道路交通的要求必然会提高。红绿灯作为交通的指挥棒，在城市交通中发挥着重要的作用，那么作为上海中学的学生，我们能否判断该路口的红绿灯设置是否合理呢？又该如何解决这一问题呢？下表为郭老师近期在早高峰时段收集到的数据：方向东西方向南北方向红灯持续时间（秒）5957绿灯持续时间（秒）5759表1——路口红绿灯时间东西方向车流量20辆／分钟南北方向车流量49辆／分钟表2——路口车流量情况2、构建模型路口信号灯的变换通常是周期性的。在一个周期内，先是东西方向绿灯，东西方向车辆可以行驶，而南北方向开红灯，车辆必须等待。然后，信号灯转换，东西方向开红灯，车辆等待，而南北方向开绿灯，车辆通行。考察交通路口的红绿灯设置问题，首先要明确如何确定一个合理的设置目标呢？【模型一】设置目标：所有车辆在交叉路口的滞留时间的总和最短时，各方向红灯持续时间的比率。（1） 确定影响滞留时间的因素有哪些？例如：车流量、行人及非机动车的影响、车辆启动时间……（2） 模型该如何假设？（简化问题）假设1:不允许超车、两辆车并排同向行驶，车辆不能转弯；假设2:不考虑路口行人和非机动车辆的影响；假设3:忽略黄灯的影响；假设4:两个方向的车流量是均匀、稳定的；假设5:将交通信号灯转换的最小周期取作单位时间1。（3） 建立模型由前面的分析，一个周期内的通过该路口的车辆的总滞留时间记为�，则：�t东西方向车辆等待时间+南北方向车辆等待时间+等候车辆的启动时间下面进行参数假设：记单位时间内从东西方向到达十字路口的车辆数为��，从南北方向到达十字路口的车辆数为��。在一个周期内，假设东西方向开红灯、南北方向开绿灯的时间为��，那么在该时间段内，东西方向开绿灯、南北方向开红灯的时间为�ꥰ��。假设车辆的启动时间为��个单位时间。则，在一个周期内东西方向行驶的车辆的等待时间为：��������t�������h南北方向行驶的车辆的等待时间为：����ꥰ����ꥰ���t���ꥰ��� ���h在此周期内的所有车辆的总启动时间为： �������������ꥰ�����h

由（1）（2）（3）式得，在此周期内所有过此路口的车辆的总滞留时间为：�t�����

�����ꥰ��� ���������������ꥰ���t�����

����ꥰ������ꥰ�����������������h这样，该数学模型即为：求��，使得（4）式定义的总滞留时间�达到最小。（4） 计算求解由（4）式，�是关于��的一元二次函数，对其配方得：�t����� ����ꥰ������ꥰ��������������������������ꥰ����� ������������th由（5）式得：当

��t������ꥰ��������� ��h时，�达到最小值����t��������������ꥰ�����������������th（5）检验模型由统计数据，取一个周期，即���秒为单位时间，��tt�秒，��t�h����

�h��t，��t������

�h���，启动时间估计为�秒，即��t�

����h动h�t�.则代入（6）式可得：��t����动h�t�ꥰ�t�h动h�t��h动t�（时间单位）�t����t�动�t秒，所以南北方向开绿灯时间最佳为t�动�t秒，东西方向开绿灯最佳为��动tt秒。 这里的��是建立在������ꥰ�����h的前提下取得的，在实际中是合理的假设，比如在适当长的单位时间内，启动时间��为比较小的数。特别地，如果忽略启动时间��，那么最佳方案为�t����ꥰ�t��������������也就是说，两个方向的开绿灯时间之比，等于两个方向车流量之比，这与我们日常的生活经验完全一致的。因此，我们在建立模型时所作的简化假设是合理的。【思考】如果考虑一个周期内的平均车辆的滞留时间（�）呢？由模型一，不难发现：�t����������ꥰ��t�����������ꥰ���������ꥰ�������������t����������������������h� �

�������h������������������此时，�是关于��的耐克函数，则�的最小值为：�ht������������ꥰ��������此时东西方向开红灯、南北方向开绿灯的时间为：���t���������ꥰ����h�����由统计数据，一个周期（���秒）内，��tt�秒，��t�h����

�h��t，��t������

�h���，启动时间估计为�秒，即��t����h动h�t�.则代入（*）式可得：����h动tt（时间单位）t�h动tt秒，所以南北方向开绿灯时间最佳为�h动tt秒，东西方向开绿灯最佳为�t动�t秒。【模型二】设置目标：东西方向、南北方向绿灯时间内的通行车辆数不少于车流量，即求出绿灯持续时间内可通行的最大车流量。（1） 模型假设a) 设�轴表示车辆行驶的道路，原点�表示交通灯的位置，�轴正方向是汽车行驶的方向，以绿灯开始亮为起始的时刻。b) 假设汽车由绿灯开始亮到�时刻为一个先作匀加速直线运动，再作匀速直线运动的过程，并设�为汽车的加速度，��为城市道路行驶车辆的最高速度。c) 假设每辆车的长度、相邻两车的间距均一致，分别记为��、��。d) 假设车辆的启动时间为��。（2） 模型建立设����h为红灯前等待的第�辆车在启动后�时刻位于�轴的位置，设第�辆车于�轴的初始位置为��h，则 ��htꥰ��ꥰ�h������h�th

��汽车由启动到速度达到��的时间为�，此时行驶的路程为：��加速t�����t������t�������h此后匀速直线运动的行驶路程为： ��匀速t�����ꥰ���ꥰ������hh所以：���t��h���加速���匀速 tꥰ�ꥰ������������������ꥰ���ꥰ����经调查：��t��，��t��，��tt�⹻�，�t��⹻��，��t��.则：���tꥰ��ꥰ����动�t�t��ꥰ�动tꥰ��h，

设���th，即第�辆车通过红绿灯路口时，得�tt�ꥰt动�t

�t���h由于南北方向为双车道，那么南北方向绿灯持续的t�秒内，可通过车辆数约为�t��t�t�ꥰt动�t����t辆。东西方向绿灯持续的tt秒内，可通过车辆数约为�tt�ttꥰt动�t���辆。而实际情况，t�秒内，南北�t方向车流量为�t辆；tt秒内，东西方向车流量为��辆。那么南北方向绿灯时间内通行车辆数少于车流量，因此，红绿灯设置不合理。四、 教学反思通过本节课，我们聚焦生活中常见的交通信号灯，利用所学知识，从不同角度发现并说明龙川北路—百色路路口的红绿灯设置不合理，并且给出了时间分配方案。在这个案例中，我们在模型